Transcript: Pozițiile relative ale unei drepte față de un plan

Să vorbim acum despre pozițiile relative ale unei drepte față de un plan și putem să întâlnim dreaptă inclusă în plan,
deci dreapta D conținută în planul alfa și noi știm că dacă o dreaptă are două puncte comune cu un plan, atunci este conținută în întregime,
în planul respectiv, deci are toate punctele în acel plan sau putem să avem dreaptă secantă unui plan,
asta înseamnă că dreapta și planul au un singur punct în comun, deci notăm aici dreapta D intersectată cu planul alfa,
obținem punctul A, avem un singur punct în comun sau mai spunem că dreapta înțeapă planul,
e o denumire foarte sugestivă pentru această situație și mai avem în final dreaptă paralelă cu planul,
sau cu alte cuvinte dreapta și planul nu au niciun punct în comun, deci dreapta D intersectată cu planul alfa este mulțimea vidă.
Ce observăm? Ca să stabilim poziția unei drepte față de un plan, ne ghidăm de fapt după numărul de puncte pe care dreapta respectivă le are în comun cu planul,
iată, dacă dreapta și planul nu au niciun punct în comun, înseamnă că vorbim de dreaptă paralelă cu planul,
dacă dreapta și planul au un singur punct în comun, înseamnă că avem dreaptă secantă unui plan,
iar dacă dreapta și planul au două puncte în comun, înseamnă că toate punctele acelei drepte aparțin planului respectiv,
deci vorbim de dreaptă inclusă în plan.
Dăm în continuare o teoremă foarte importantă de paralelism și anume, o dreaptă neinclusă într-un plan este paralelă cu planul,
dacă și numai dacă este paralelă cu o dreaptă din acel plan, deci dreapta D este paralelă cu planul alfa,
dacă și numai dacă, ce se spune aici, este paralelă cu o dreaptă din plan, deci dacă și numai dacă există o altă dreaptă în acel plan,
să-i spunem D prim, deci dacă și numai dacă există D prim dreaptă inclusă în planul alfa, astfel încât dreapta D este paralelă cu dreapta D prim.
Pe scurt, ca să demonstrăm că o dreaptă este paralelă cu un plan, trebuie să găsim în acel plan o dreaptă,
astfel încât dreapta din plan să fie paralelă cu dreapta noastră și atunci putem să spunem că dreapta este paralelă cu planul.
Să facem acum o aplicație și avem dreptunghiul ABCD și triunghiul ABP situate în plane diferite ca în figură și M și N sunt mijloacele laturilor AP și BP.
Să arătăm că, haideți să vedem și cerința, MN este paralelă cu planul DBC, deci haideți să ne uităm la figură.
Avem dreptunghiul ABCD și triunghiul ABP situate în plane diferite. Despre triunghiul ABP nu se spune nimic, deci considerăm că este un triunghiu arecare.
M și N sunt mijloacele laturilor AP, haideți să trecem, deci M este mijlocul laturii AP, AM este congruent atunci cu MP și N este mijlocul laturii BP, deci BN este congruent cu NP.
Să arătăm că MN, deci această dreaptă, este paralelă cu planul DBC. Care este acest plan? Deci avem DBC, vorbim de acest plan.
Înainte să rezolvăm cerința, vreau să lămurim un lucru și anume, planul DCB sau planul DBC, cum vreți să-i spunem, este unul și același cu planul ABCD, deci planul DBC este egal de fapt cu planul ABCD.
Iată că un plan îl putem descrie folosind și 4 puncte. De ce are loc această relație? Păi, dreapta AB este paralelă cu dreapta DC, haideți să notăm aici, AB paralelă cu DC.
Dacă avem două drepte paralele, ce știm că se obține? Se obține un plan unic, deci rezultă că există alfa plan astfel încât și dreapta AB și dreapta DC sunt conținute în planul alfa, deci astfel încât toate punctele AB, D și C aparțin planului alfa.
Însă, oricare trei din aceste patru puncte sunt necoliniare, deci punctele D, C și B. Punctele D, C și B fiind necoliniare, ce determină? Păi, din axioma planului, trecem aici axioma planului, înseamnă că ele determine un plan unic,
deci planul determinat de ele, numit D, B, C este un plan unic. Bun, dar aceste trei puncte D, B și C, iată, D, B și C sunt și în planul alfa. Cu alte cuvinte, ce obținem? Că planul alfa este egal, de fapt, cu planul D, B, C.
Bun, dar punctul A aparține planului alfa, prin urmare, punctul A aparține acestui plan D, B, C. Păi, dacă punctul A aparține planului D, B, C, înseamnă că planul determinat, planul din care fac parte punctele A, B, C, D este unul și același cu planul D, B, C.
Deci rezultă că planul D, B, C este egal, de fapt, cu planul A, B, C, D. Și acum, vom șterge aici.
Cum avem plane egale, înseamnă că noi ce avem de arătat? Noi avem, de fapt, de arătat că MN, dreapta MN, este paralelă cu planul A, B, C, D. Am făcut această observație pentru că, poate, ne-i mai ușor să arătăm acest lucru decât să ne încurcăm cu planul D, B, C.
Cum arătăm că o dreaptă este paralelă cu un plan? Păi, conform în teoremii de paralelism pe care, tocmai, am enunțat-o, trebuie să arătăm că dreapta respectivă este paralelă cu o dreaptă din plan.
Păi, haideți să ne uităm la figură. Ce avem aici? M este mijlocul acestui segment, N este mijlocul acestui segment. Păi, ce înseamnă asta? Înseamnă că MN este linia mijlocie în triunghiul A, P, B.
Haideți să trecem rapid. Voi șterge și ce am notat aici. Deja cred că s-a înțeles. AM este egal cu MP, BN este egal cu NP. Ce înseamnă asta?
Înseamnă că MN este, cum am spus, linie mijlocie în triunghiul A, P, B. Ce obținem? Înseamnă că MN este paralelă cu AB.
Păi, am obținut acest paralelism, iar dreapta AB unde este conținută? În planul ABCD. Deci, AB este inclusă în planul ABCD, care este unul și același cu planul DBC.
Putem să trecem D, B, C, exact cum apare aici în enunți. Prin urmare, rezultă că, chiar o să facem un rezultă mai mare, ce rezultă din teorema de paralelism?
Ce vom obține? Cum avem o dreaptă paralelă cu o altă dreaptă care face parte dintr-un plan, înseamnă că dreapta e paralelă cu planul. Deci, rezultă că MN este paralelă cu planul DBC, exact ce aveam de demonstrat.
Următoarea cerință este aceasta. Trebuie să arătăm că dreapta CP este paralelă cu planul MNO, unde intersecția segmentelor AC și BD este punctul O.
Trebuie să arătăm că dreapta CP este paralelă cu planul MNO, unde AC intersectat cu DB este punctul B.
Planul MNO, să-l trasăm și pe el, M-O-N. Acesta e planul dat.
Să arătăm că CP este paralelă cu acest plan.
Cum arătăm că o dreaptă e paralelă cu un plan? Trebuie să găsim în acel plan o dreaptă care să fie paralelă cu dreapta CP.
Eu deja am indicat despre ce dreaptă e vorba, trebuie să arătăm că CP este paralelă cu M-O.
Cum facem acest lucru?
Nu e greu deloc, pentru că știm că M este mijlocul segmentului AP, iar punctul de intersecție al diagonalelor unui dreptunghi înjumătățește diagonalele.
Asta înseamnă că AO este congruent cu OC.
Prin urmare, obținem că în triunghiul CAP avem M-O, linie mijlocie.
Deci, AO este egal cu OC, AM este egal cu MP.
Prin urmare, obținem că M-O este linie mijlocie în C-triunghi, în triunghiul CAP.
Ce rezultă de aici?
Rezultă că M-O este paralelă cu CP.
Bun, dar dreapta M-O este inclusă în planul M-O-N.
Deci, trecem aici că M-O este inclusă în acest plan M-N-O.
Și ce obținem?
Păi, dreapta CP este paralelă cu o dreaptă din acest plan.
Conform teoremei de paralelism, voi scrie aici doar TH de la teoremă, înseamnă că CP este paralelă cu planul M-N-O.
Ultima întrebare.
Să arătăm acum că dreapta DN este inclusă în planul C-M-N.
Deci, dreapta DN, aceasta, să arătăm că este inclusă în planul C-M-N, adică în acest plan.
Cum vom face acest lucru?
Vă las puțin timp să vă gândiți.
Păi, de vreme, ce?
Când punctul N aparține acestui plan, e evident, ca să arătăm că această dreaptă este inclusă în plan, trebuie să arătăm că și un alt punct al dreptei DN face parte din acest plan.
Poate reușim chiar să arătăm că punctul D aparține planului C-M-N.
Și atunci, cum două puncte sunt într-un plan, înseamnă că dreapta determinată de ele este inclusă în plan.
De fapt, e același lucru cu a arăta că planul C-M-N este, de fapt, egal cu ce plan.
Iată, C-M-N e unul și același cu planul D-C-N-M.
Deci, D-C-N-M.
Și chiar o să trasez aici și acest plan.
Cum arătăm că punctul D face parte din planul C-M-N?
Sau, altfel spus, cum arătăm această egalitate?
Păi, în primul rând, M-N este paralelă cu D-C.
Și știm acest lucru pentru că noi am arătat mai întâi că M-N este paralelă cu A-B.
Am arătat acest lucru la prima cerință, deci știm asta.
Iar A-B este paralelă cu D-C.
Pentru că A-B-C-D este dreptunghi, deci aceste două drepte sunt paralele.
Ce rezultă de aici?
Păi, M-N paralel cu A-B, A-B paralelă cu D-C.
Din transitivitatea relației de paralelism, înseamnă că M-N e paralelă cu D-C.
M-N paralelă cu D-C.
Prin urmare, avem două drepte paralele, deci ele determină ceanume, un plan unic.
Deci, rezultă că există alfa plan, astfel încât cele două drepte M-N și D-C să fie incluse în acel plan.
Deci, punctele M-N, D și C aparțin planului alfa.
Bun, însă punctele C, M și N, cum sunt?
C, M și N sunt puncte necoliniare.
Ce rezultă din axioma planului?
Că ele determină un plan unic.
Deci, acest plan determinat de ele, care se numește C, M, N, este unic.
Păi, ele determină un plan unic, dar în același timp punctele C, M și N se află și în planul alfa.
Deci, rezultă că planul alfa e chiar planul determinat de cele trei puncte C, M și N.
Bun, dar iată că punctul D, iată aici, aparține planului alfa, dar planul alfa este egal cu acest plan.
Deci, rezultă că punctul D aparține planului C, M, N.
Și, haideți să subliniem această informație.
Am obținut că D aparține acestui plan hașurat.
Știm că N aparține și el planului C, M, N.
Asta e evident.
Păi, dacă avem două puncte care aparțin unui plan, înseamnă că dreapta determinată de ele e inclusă în plan.
Cu alte cuvinte, D, N inclusă în planul C, M, N.
Deci, exact ce aveam de demonstrat.