Transcript: Pozițiile relative a două drepte în spațiu

Să enumerăm acum pozițiile relative a două drepte în spațiu, cu alte cuvinte să vedem ce fel de drepte putem întâlni în spațiu.
Și începem cu dreptele paralele, A paralel cu B, drepte concurente, dreapta C și dreapta D se intersectează într-un singur punct, de aceea le numim drepte concurente.
Mai avem și drepte suprapuse, dreapta D1 coincide cu dreapta D2, le putem numi și drepte confundate, și toate aceste poziții ale dreptelor le-am întâlnit și în plan, însă în spațiu putem întâlni și drepte necoplanare.
Și le reprezentăm astfel, o dreaptă o reprezentăm cu o linie continuă și cealaltă cu o linie întreruptă.
De ce facem această reprezentare? Pentru că dreptele nu au niciun punct în comun, deci A' intersectat cu B' este mulțimea vită și în același timp ele nu sunt drepte paralele, A' nu este paralel cu B', dreptele care nu sunt paralele și nu au niciun punct în comun se numesc drepte necoplanare, deci A' și B' sunt asemenea drepte.
Toate celelalte drepte, cele paralele, concurente și suprapuse, sunt drepte coplanare. Ce înseamnă drepte coplanare? Haideți să ne amintim!
Două drepte se numesc drepte coplanare dacă ele sunt incluse în același plan. Cu alte cuvinte, dacă există vreun plan care să conțină ambele drepte.
Dreptele necoplanare sunt dreptele care nu îndeprinesc această condiție. Cu alte cuvinte, două drepte se numesc drepte necoplanare dacă nu există niciun plan care să conțină ambele drepte.
Și haideți să facem acum acest exercițiu.
Mi se dă cubul ABC de A'B'C'D' și vrem să stabilim poziția relativă a unor drepte date și să justificăm. Vom face câteva justificări pe scurt.
Să vedem cum sunt dreptele A'B și D'C.
Dreapta A'B și D'C.
Păi, e ușor să ne dăm seama pentru că având aici un cub înseamnă că ABCD este pătrat, prin urmare A'B este paralel cu D'C.
Deci, haideți să notăm.
A'B'C'D pătrat.
Rezultă că A'B, dreapta A'B este paralelă cu dreapta D'C.
Următoarea întrebare.
A'B și D'C'C'
Deci, A'B, această dreaptă și D'C'C' Bun.
Cum sunt aceste două drepte?
Păi, haideți să ne uităm în acest patru lateri.
Iată, unim aici pe D'A și aici pe C'B.
Ce este patru lateriul A, B, C'D'?
Păi, el este un paralelogram.
De fapt, putem să arătăm că el e chiar dreptunghi, însă este suficient să arătăm că e paralelogram pentru a stabili poziția dreptelor A, B și D'C'.
Cum arătăm că este paralelogram?
Păi, e foarte simplu.
A'B este congruent cu D'C' pentru că avem aici un cub, deci toate muchile sunt congruente.
Haideți să notăm.
A'B este congruent sau putem să spunem egal, ne referim la lungimile lor, egal cu D'C'. Bun.
Cum sunt B'C', acest segment B'C' și A'D'?
Păi, fie putem să ne gândim în felul următor.
Avem aici triunghiul C'CB și triunghiul D'D'A.
Avem aici un ung de 90 de grade, la fel și aici.
Deci avem două triunghiuri dreptunghice.
Cum toate muchile sunt congruente, înseamnă că C'C este congruent cu D'D și C'B este congruent cu A'D.
Prin urmare, cele două triunghiuri, acesta și acesta, sunt triunghiuri congruente.
Deci, haideți să notăm triunghiul.
D'D'A este congruent cu triunghiul C'CB.
Și haideți să scriem aici.
Ce rezultă?
Că B'C' este egal cu A'D'.
Păi, din aceste două relații, cum avem acest segment congruent cu acesta,
acesta este congruent cu acesta.
Uite, chiar o să și notez.
Acesta este congruent cu acesta.
Atunci, rezultă din proprietățile paralelogramului că AB'C'D' este un paralelogram.
Dacă el este paralelogram, atunci e ușor să ne dăm seama că AB este paralel cu D'C'.
Deci, rezultă AB paralel cu D'C'.
Ca să arătăm congruența B'C congruent cu A'D, putem să ne gândim și în felul următor.
Avem aici pătratul B'C'B, care este congruent cu pătratul A'D'A.
Din urmare, fiind pătrate congruente, cum B'C' și A'D sunt diagonale în aceste pătrate,
înseamnă că și ele sunt congruente.
Deci, putem să facem și astfel.
Următoarea întrebare.
Să vedem cum sunt dreptele B'C' și AB.
Haideți să ștergem aici, ca să vedem despre ce drepte discutăm.
Deci, B'C' și AB.
Cum sunt aceste drepte?
Păi, ele se intersectează în punctul B.
Deci, putem să notăm că B'C' intersectează dreapta AB în punctul B.
Sunt două drepte cu un singur punct de intersectie, înseamnă că vorbim de drepte concurente.
Cum sunt dreptele DO și OB?
Unde O este punctul de intersectie al dreptelor AC și DB.
Deci, AC intersectat cu DB, iată, avem aici punctul O.
Cum sunt dreptele DO și BO?
Păi, de fapt, sunt drepte suprapuse, avem una și aceeași dreaptă.
Deci, putem să notăm aici că DO este egal cu OB, avem drepte confundate.
Cum sunt acum dreptele AB și B'C'?
Deci, avem așa, să ștergem ce am trasat.
AB și B'C'.
Iată, acestea două.
Păi, observăm că dreptele nu se intersectează și ele nu sunt nici paralele.
De fapt, avem drepte necoplanare.
Cum arătăm, însă, că aceste două drepte sunt necoplanare?
Păi, folosim metoda reducerii la absurd.
Presupunem că ele ar fi coplanare.
Presupunem, prin absurd, că există un plan.
Deci, există alfa, plan, care conține, în același timp, și dreapta AB.
Deci, astfel încât AB este inclus în alfa și B'C', această dreaptă, este și ea inclusă în alfa.
Și vrem să ajungem la o contradictie, la o relație matematică falsă.
Și atunci, înseamnă că presupunerea noastră este și ea falsă.
Deci, nu există un plan alfa care să conțină, simultan, dreptele AB și B'C'.
Bun. Deci, am presupus că există un plan care conține dreapta AB și dreapta AB'C'.
Ce rezultă de aici?
Păi, înseamnă că aceste puncte, AB, deci notăm, AB, B' și C', ce e cu ele?
Fac parte din planul alfa, deci aparțin toate planului alfa.
Însă, cum sunt cele patru puncte?
Sunt necoliniare.
De fapt, oricare trei dintre aceste patru puncte sunt necoliniare.
Ce știm noi despre trei puncte necoliniare?
Că ele determină un plan unic.
Deci, haideți să alegem trei din aceste puncte, oricare trei dorim, pentru că oricare trei sunt necoliniare.
De exemplu, alegem pe primele trei, AB și B' sunt necoliniare.
Și ce rezultă?
Păi, din axioma planului, voi scrie așa, axioma planului, trei puncte necoliniare determină un plan unic.
Dar, în același timp, aceste trei puncte aparțin și planului alfa.
Ce înseamnă asta?
Înseamnă că alfa e planul determinat de aceste trei puncte.
Deci, e egal cu planul ABB'
Bun, ce mai știm noi despre planul alfa?
Că el conține și punctul C'
Asta înseamnă că punctul C' aparține acestui plan.
Deci, din aceste două relații, din această relație și din aceasta, înseamnă că C' aparține planului ABB'
Păi, haideți să ne uităm pe figură.
Planul ABB' e, de fapt, planul ABB'A'
Bun, și am obținut că C' aparține acestui plan.
Păi, e imposibil, pentru că noi avem aici un cub.
Deci, iată că am obținut o contradicție, facem acest semn de săbii încrucișate.
Prin urmare, presupunerea noastră este falsă.
Deci, nu există, am tăiat acest semn,
nu există alfa plan, astfel încât alfa să conțină simultan și dreapta AB și dreapta B' C'.
Prin urmare, cele două drepte, AB și B' C', ce fel de drepte sunt?
Sunt drepte necoplanare.
Și am făcut, iată, și demonstrația.