Transcript: Piramida triunghiulară regulată (aplicații)

Să rezolvăm acum o aplicație cu piramida triangulară regulată și avem această problemă.
Într-o piramidă triangulară regulată se dă înălțimea de 4 centimetri, deci VO are 4 centimetri și măsura diedrului format de o față laterală cu planul bazei este de 30 de grade.
Să aflăm area laterală, area totală și volumul.
Ce este acela diedru? Pentru că se spune măsura diedrului format de o față laterală cu planul bazei.
Păi să ne amintim că un unghi diedru este un unghi format de două plane și planele care sunt date aici sunt o față laterală, de exemplu VAB, acest plan, și planul bazei, deci ABC.
Care este unghiul făcut de planele VAB și ABC?
Pentru aceasta trebuie să construim un unghi plan al diedrului, adică pe muchea comună acelor două plane, adică muchea diedrului, care aici este AB, AB este dreapta cuprinsă inclusă și în planul VAB și în planul ABC,
pe această muchea diedrului trebuie să alegem un punct, iar în punctul respectiv vom duce o perpendiculară pe dreapta AB, acea dreaptă va fi inclusă în planul VAB și același lucru îl vom face și pentru planul ABC,
vom duce o dreaptă perpendiculară pe AB și inclusă în acest plan ABC.
Și de vreme ce vorbim de o piramidă triangulară regulată, adică triunghiul bazei este echilateral, triunghiul VAB este isoscel, atunci cel mai simplu este să alegem mijlocul segmentului AB, deci trec aici M,
mijlocul segmentului AB, atunci ce reprezintă VM? Păi VM este mediană în triunghiul VAB, dar pentru că triunghiul este isoscel de bază AB, înseamnă că VM este chiar înălțime în acest triunghi, deci avem aici un unghi de 90 de grade.
Bun, ce reprezintă CM? Păi CM este mediană în triunghiul ABC, cum triunghiul e echilateral, înseamnă că CM este și înălțime.
Păi ce am obținut? Am construit acele perpendiculare incluse în cele două plane, perpendicularele sunt pe dreapta AB în același punct, înseamnă că unghiul plan al diedrului este unghiul VMC.
Și atunci, haideți să notăm, ca să facem o rezolvare riguloasă, deci triunghiul VAB, sau mai bine zis, să începem așa, cu construcția noastră, deci construim punctul M astfel încât AM, segmentul AM este congruent cu segmentul MB,
nu e neapărat să trecem congruență de segmente, putem să trecem și egalitate de lungimii de segmente, construim punctul M astfel încât M se află la mijlocul distanței dintre A și B.
Acum, triunghiul VAB este un triunghi soscel cu baza BC, pardon, cu baza AB, știm că VM este mediană, ce rezultă că VM este și înălțime, VM perpendiculară pe AB.
Bun, triunghiul ABC, același lucru vom nota și pentru triunghiul ABC care, atenție, este un triunghi echilateral, CM este mediană, atunci ce o să rezulte?
Ca CM este și înălțime, deci CM este perpendiculară tot pe AB. Și acum am obținut VM și CM perpendiculare pe AB, putem să notăm că planele VAB și ABC se intersectează după dreapta AB.
Dacă vrem să fim chiar riguroși, scriem și că VM este inclusă în planul VAB și CM este inclusă în planul bazei, adică ABC.
Din toate aceste, câte sunt, câte relații avem? 1, 2, 3, 4, 5, din toate aceste 5 relații, ce rezultă? O să scriu aici.
Rezultă că măsura unghiului format de planele VAB, deci acest plan, planul VAB, cu planul ABC, este de fapt egal cu măsura unghiului făcut de dreptele VM și CM.
Cu alte cuvinte, ce unghi avem? Ce obținem? Avem unghiul, măsura unghiului, iată VMC, adică acest unghi, sau dacă vreți unghiul VMO, pentru că punctele CO și M sunt coliniare, deci acest unghi.
Avem VMC, care este același cu unghiul VMO.
Cu alte cuvinte, putem să scriem că avem aici 30 de grade.
Toate datele sunt trecute pe figură.
Haideți atunci să ștergem tot ce am notat aici.
Și atunci să găsim acum area laterală.
Care e formula? Area laterală este egală cu produsul dintre perimetru bazei ori apotema piramidei supra 2.
Deci avem nevoie de perimetru bazei, adică lungimea muchei bazei și de apotema piramidei, care iată este reprezentat aici de VM.
Păi ce putem să aflăm foarte simplu?
Putem să aflăm apotema piramidei, pentru că triunghiul VOM, ce fel de triunghi este?
Este un triunghi dreptunghic în O. Avem aici 90 de grade.
Și atunci haideți să notăm. Triunghiul VOM este dreptunghic în O.
Triunghiul VOM, măsura unghiului O are 90 de grade.
Și ce putem să facem ca să determinăm lungimea ipotenuzei VM?
Păi fie aplicăm formula sinusului, care este cateta opusă, adică VO pe care o cunoaștem, supra ipotenuză.
Sau dacă vreți putem să aplicăm teorema unghiului de 30 de grade.
Haideți să aplicăm teorema unghiului de 30 de grade, care ne spune că, într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de 30 de grade are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
Deci VO este egală cu lungimea ipotenuzei VM supra 2.
De unde rezultă că VO care este 4, egal cu VM supra 2, înseamnă că obținem că VM, chiar să facem în așa fel încât să ne încadrăm într-un singur rând.
Deci vom obține că VM are 4 x 2, 8 centimetri.
Și atunci vom șterge aici și deja scriem că avem 8 centimetri.
Bun, cum determinăm acum lungimea muchei bazei, adică AB de exemplu?
Păi ca să determinăm lungimea muchei bazei, vom găsi mai întâi cât este apotema bazei, OM.
După ce am găsit cât este OM, îl găsim foarte ușor pe CM și CM este înălțime în triunghiul ABC și știm că există o formulă care leagă înălțimea într-un triunghi echilateral de latura triunghiului echilateral.
Deci mai întâi vrem să aflăm cât este OM.
Foarte simplu, fie aplicăm Pitagora în triunghiul VOM sau putem să aplicăm formula cosinusului, cosinus de M.
Haideți să facem astfel, să aplicăm formula cosinusului.
Deci în același triunghi, cosinus de unghiul M este egal cu ce vom obține.
Trecem raportul, cateta alăturată unghiului M, adică OM, supraipotenuză VM.
Rezultă că cosinus de 30 de grade va fi egal cu OM pe care vrem să-l aflăm supra VEM care are 8 centimetri.
Cât este cosinus de 30 de grade?
Avem radical din 3 supra 2 egal cu OM supra 8.
Cât ne rezultă atunci că este OM?
Trecem aici, OM este egal cu, avem 8 radical din 3 supra 2, deci obținem 4 radical din 3.
Nu știu dacă o să reușim să scriem aici, deci 4, să trecem cu alb, 4 ori radical din 3.
Atât este OM.
Acum, dacă știm pe de rost formula care leagă apotema bazei într-o asemenea piramidă de muchea bazei,
fie dacă nu ne bazăm pe o asemenea formulă, atunci o deducem.
Personal prefer să deduc ca să nu fiu nevoită să rețin prea multe formule, așa că știm că apotema bazei, adică OM, are 4 radical din 3 centimetri.
Ce legătură este între OM și CM?
Păi, O este centrul de greutate al triunghiului ABC, CM este mediană, asta înseamnă că OM, acest segment,
are lungimea egală cu o treime din lungimea medianei, adică CM supra 3.
Și rezultă de aici că CM cu cât este egală? Cu 3 ori OM, 3 înmulțit cu OM, adică avem 3 înmulțit cu OM, este 4 radical din 3,
deci obținem 12 radical din 3 centimetri.
Atât este CM, însă CM mai este înălțime, iată, în triunghiul ABC.
CM, înălțime în triunghiul ABC, care ce fel de triunghi este? Este un triunghi echilateral, o să scriu așa aliniuță, echilateral.
Atunci rezultă că noi știm deja formula pentru înălțimea într-un triunghi echilateral și anume, deci avem aici M,
dacă trecem, dacă notăm latura triunghiului ABC cu L mic, avem L mic radical din 3 supra 2,
deci vom obține din aceste două relații, iată,
pe de o parte știm că CM este 12 radical din 3 centimetri și pe de altă parte CM este L radical din 3 pe 2,
deci rezultă că L mic radical din 3 supra 2, ce avem aici este egală cu 12 radical din 3.
Simplificăm pe radical din 3 cu radical din 3, ca și cum am împărțit această egalitate la radical din 3,
deci rezultă că L supra 2 ne dă 12, adică L este egal cu 24 de centimetri.
Venim aici și putem să ștergem, trecem direct, că avem 24 de centimetri.
În acest moment avem tot ce ne trebuie ca să calculăm area laterală, totală și volumul,
deci o să ștergem tot ce am notat aici, în afară de formula pentru area laterală și venim și calculăm.
Area laterală este egală cu perimetrul bazei, păi avem 24 ori 3 înmulțit cu apotema piramidei, care este 8 supra 2
și avem, aici putem să simplificăm prin 2 ne rămâne 1 și 4, 4 ori 3, 12 ori 24 ne dă 288
centimetri pătrați. Area totală este egală cu area laterală plus area bazei, area totală atunci este egală cu,
avem 288 plus area bazei, latura este de 24, avem așa 24 sau chiar o să scriu aici area bazei ne dă 24 la a doua radical din 3 supra 4
de unde vom obține aici, dacă simplificăm un 24 cu 4 o să ne rămână 6 ori 24 ori radical din 3,
deci 144 radical din 3 centimetri pătrați și adunăm aici plus 144 radical din 3,
de fapt putem să dăm factor comun aici pe 144 pe lângă 2 plus radical din 3, putem să trecem așa într-o paranteză pătrată ca să scrim aici centimetri pătrați,
volumul este egal cu area bazei ori înălțimea supra 3, deci rezultă că volumul ne va da, avem area bazei 144 ori radical din 3 înmulțit cu înălțimea care este 4 supra 3,
simplificăm aici pe 144 cu 3, vom obține 1, 144 împărțit la 3, 48 și vom avea 48 ori 4, 192 radical din 3 centimetri cubi.