Transcript: Piramida patrulateră regulată (formule)

Să vedem ce formule avem pentru piramida patrulateră regulată.
Și avem aici o asemenea piramidă, reamintim că baza este pătrat, deci A, B, C, D este pătrat,
munchiile laterale sunt congruente, V, A, V, B, V, C și V, D sunt congruente,
asta înseamnă că fețele laterale ce sunt?
Sunt triunghiuri isoscele congruente și avem patru asemenea triunghiuri, iată V, A, B, V, B, C, V, D, C și V, D, A.
Reamintim că într-o piramidă patrulateră regulată, înălțimea este segmentul care unește vârful piramidei cu centrul cercului circumscris bazei
și centrul cercului circumscris bazei se află într-un pătrat la intersecția diagonalelor.
Și acum să vedem care este formula pentru aria laterală.
Știm că trebuie să adunăm ariile fețelor laterale.
Cum fețele laterale sunt patru triunghiuri isoscele,
vom nota că aria laterală este patru înmulțit cu aria unui triunghi isoscel, toate sunt congruente, deci, de exemplu, aria triunghiului V, B, C.
Acum, putem să aflăm aria acestui triunghi ducând înălțimea din V pe B, C și să alegem altă culoare,
construim mai întâi mijlocul segmentului B, C, V, M, ce va reprezenta?
Este mediană în triunghiul V, B, C, însă cum vorbim de un triunghi isoscel de bază B, C, înseamnă că V, M este și înălțime, deci avem aici 90 de grade.
Cu alte cuvinte, aria triunghiului V, B, C cu cât este egală?
Avem lungimea bazei B, C înmulțită cu lungimea înălțimii corespunzătoare lui B, C, deci ori V, M, care atenție este apotema piramidei,
deci putem să trecem aici că avem apotema piramidei, deci ori apotema piramidei supra 2.
Și acum putem să înlocuim, în loc de aria triunghiului V, B, C de aici vom trece acest raport și rezultă că aria laterală este egală cu 4 înmulțit cu linie de fracție B, C ori apotema piramidei supra 2.
Deci absolut același lucru l-am făcut și când am găsit formula pentru aria laterală a piramidei triunghiulare regulate.
Acum, dacă înmulțim pe 4 cu B, C, ce vom obține?
Păi B, C este lungimea laturii pătratului, dacă înmulțim de 4 ori, dacă adunăm de fapt de 4 ori această lungime, ce obținem?
Vom obține perimetrul bazei, deci notăm că aria laterală este egală cu, avem aici perimetrul bazei ori apotema piramidei supra 2.
Și iată că am găsit prima formulă. Aria totală, deja însigură că știți, aria laterală adunată cu aria bazei, cât este aria bazei?
Păi e foarte simplu, pentru că baza este un pătrat, deci dacă notăm cu L latura pătratului, atunci aria bazei este egală cu L la pătrat și volumul piramidei, deja îl știm, avem aria bazei ori înălțimea supra 3,
deci să nu treceți supra 2, supra 3, înălțimea este reprezentată de VO, deci avem aici, trecem H.
Ca un exercițiu foarte simplu, haideți să determinăm acum și lungimea apotemei bazei, sau mai bine zis, să exprimăm apotema bazei în funcție de ce avem deja pe figură.
În primul rând, care este apotema bazei? Este distanța de la centrul cercului circumscris bazei la o muche a bazei, de exemplu, dacă ducem perpendicularea din O pe BC, ce vom obține?
Păi obținem chiar acest segment OM și reamintim pe scurt de ce obținem acest segment OM, adică de ce OM este apotema bazei, pentru că iată, punctul M este mijlocul segmentului BC, punctul O este mijlocul segmentului AC, atunci ce reprezintă OM în triunghiul ACB?
Păi OM este linie mijlocie, asta înseamnă că OM este paralelă cu AB, de vreme ce AB este perpendiculară pe BC, înseamnă că și OM este perpendiculară pe BC, deci putem să trecem aici că apotema bazei este OM.
Care este lungimea segmentului OM? Păi de vreme ce am spus că OM este linie mijlocie în triunghiul ACB, înseamnă că lungimea segmentului OM este egală cu jumătate din lungimea segmentului AB, deci avem aici egal cu AB supra 2, adică egal cu L pe 2.
Și din aceste două relații putem să trecem aici că rezultă apotema bazei, adică OM este egală cu L pe 2, deci apotema bazei este egală cu jumătate din lungimea muchei bazei.
Acestea sunt formulele pentru piramida patrulateră regulată, avem aici formula pentru area laterală, formula pentru area totală, o formulă foarte ușor de reținut și formula pentru determinarea volumului.
De fapt, toate aceste trei formule pe care le-am încadrat sunt identice cu formulele pe care le-am dedus pentru piramida triunghiulară regulată.