Transcript: Piramida patrulateră regulată (aplicații)

Să facem acum o aplicație cu piramida patrulateră regulată și ni se dă această piramidă notată VABCD cu muchea bazei de 8 centimetri,
deci putem să trecem aici 8 centimetri și măsura unghiului format de muchea laterală cu planul bazei este de 60 de grade.
Asta află maria totală și volumul piramidei.
Ce înțelegem prin, iată, măsura unghiului format de muchea laterală cu planul bazei este de 60 de grade.
Atenție, toate muchiile laterale, acestea patru, formează cu planul bazei unghiuri care au aceeași măsură, deci nu contează ce muche laterală alegem.
Atunci, haideți să alegem, de exemplu, muchea VA.
VA face cu planul bazei ABCD un unghi cu măsura de 60 de grade.
Păi, măsura unghiului făcut de VA cu planul ABCD este egală cu măsura cărui unghi.
De fapt, ce unghi face VA cu acest plan?
Păi, avem unghiul făcut de o dreaptă cu un plan, adică unghiul făcut de o dreaptă cu proiecția ei pe plan.
Care e proiecția dreptei VA pe planul ABCD?
Foarte simplu, punctul A deja aparține planului, înseamnă că proiecția punctului A este chiar A.
VO e perpendiculară pe acest plan, înseamnă că proiecția punctului V este O.
Și, cu alte cuvinte, proiecția dreptei VA pe planul ABCD este AO.
Deci, vorbim de unghiul format de dreptele VA și AO.
Adică, ce unghi?
Avem aici unghiul VAO.
Și, haideți să-l vedem mai bine.
Deci, acest unghi.
Care are 60 de grade.
Venim aici și trecem măsura unghiului VAO.
Bun, vrem să determinăm area totală și volumul piramidei.
Acum, area laterală.
Avem mai întâi nevoie de area laterală ca să găsim area totală.
Area laterală este egală cu perimetrul bazei ori apotema piramidei supra 2.
Perimetrul bazei îl putem calcula foarte ușor, avem deja unghia bazei.
Avem nevoie de apotema piramidei.
Dacă am găsit area laterală, determinăm foarte ușor și area totală.
Volumul piramidei este egal cu area bazei ori înălțimea supra 3.
Deci, avem nevoie și de lungimea segmentului VO.
Cu alte cuvinte, trebuie să găsim și apotema piramidei și înălțimea atâtași timp cât.
Știm că AB are 8 centimetri și măsura acestui unghi VAO este de 60 de grade.
Ce putem să aflăm destul de ușor?
Păi putem să aflăm lungimea înălțimii piramidei, adică VO.
Pentru că, iată, avem aici un unghi de 90 de grade pentru că VO e perpendiculară pe plan,
deci e perpendiculară și pe AO.
Și având măsura unghiului A înseamnă că putem să aplicăm o funcție trigonometrică.
Însă, avem nevoie ori de lungimea ipotenuzei VA, ori de lungimea catetei AO.
Păi putem să găsim foarte ușor cât este AO.
De ce?
Avem aici pătratul ABCD.
AC este diagonală, asta înseamnă că AC are lungimea AB radical din 2.
Deci avem 8 radical din 2.
Cât este AO?
Este jumătate din lungimea diagonalei.
Deci trecem aici, că AO este egal cu AC supra 2.
Deci vom avea 8 radical din 2 supra 2, adică 4 radical din 2 centimetri.
Și venim aici și trecem 4 ori radical din 2.
Acum, am spus că pentru a determina înălțimea VO, vom aplica o funcție trigonometrică în triunghiul VOA.
De vreme ce știm măsura acestui unghi și lungimea catetei alăturate unghiului, aplicăm fie tangentă, fie cotangentă.
Deci să notăm că în triunghiul VOA, cu măsura unghiului O de 90 de grade, putem să aplicăm, de exemplu, tangentă de unghiul A.
Și trecem aici raportul, avem lungimea catetei care se opune unghiului, deci VO, supra lungimea catetei alăturate unghiului A, adică AO.
Și acum înlocuim, tangentă de 60 de grade, egal cu linie de fracție VO, supra AO, care este 4 radical din 2.
De unde rezultă că tangentă de 60 de grade ne dă radical din 3, egal cu VO, supra 4 ori radical din 2.
De unde obținem că VO ne va da 4 radical din 2 ori radical din 3, adică 4 radical din 6 centimetri și să trecem și aici centimetri.
Venim și trecem pe figură 4 radical din 6.
Acum, vrem să mai avem nevoie să determinăm apotema piramidei.
Sigur, putem să construim înălțimea în triunghiul AVB și vom obține apotema piramidei, sau ca să se vadă mai bine, o voi construi aici în triunghiul VBC.
Deci, ducem mijlocul segmentului BC, îl notez cu M, VM este mediană în triunghiul VBC, care este isoscel, deci VM este și înălțime.
Asta înseamnă că avem aici apotema piramidei.
Cum să determinăm lungimea apotemei piramidei?
Putem să luăm triunghiul VOM, îl unesc și pe O cu M, și iată, OM este apotema bazei și într-o piramidă patluateră regulată o putem determina foarte ușor și avem aici un unghi de 90 de grade.
Deci, haideți să notăm că OM este apotema bazei, care este egală cu jumătate din lungimea muchei bazei, adică avem AB supra 2, adică 8 supra 2, deci 4 centimetri.
Bun, și acum în triunghiul VOM, deci trec și aici 4 centimetri sau mai jos să se vadă, în triunghiul VOM cu măsura unghiului O de 90 de grade, ce vom face?
Vom aplica binecunoscuta teorema lui Pitagora.
Și ce o să rezulte?
Avem așa, VM la pătrat este egală cu VO la pătrat adunat cu OM la pătrat.
De unde vom obține că VM la pătrat este egal cu VO, e 4 radical din 6, totul la pătrat, adică 4 la a doua, o radical din 6 la a doua adunat cu OM, care este 4 la a doua.
Păi acum putem să dăm factor comun pe 4 la a doua, ca să nu fim nevoiți să calculăm apoi prea mult și avem în paranteză 6 adunat cu 1.
Deci obținem 4 la a doua ori 7, de unde rezultă că dacă trecem radical peste VM și implicit și peste acest produs, vom obține 4 radical din 7 centimetri.
Deci cel mai bine ar fi să trecem aici, voi șterge ce am scris apotemă și o să scriem cât am obținut, avem 4 radical din 7.
Acum putem să ștergem tot ce este scris aici, în afară de cele două formule și acum să determinăm mai întâi area laterală, care este egală cu, am scris sus, perimetrul bazei ori apotema supra 2.
Deci perimetrul bazei, baza este un pătrat cu lungimea laturii de 8 centimetri, deci avem 4 ori 8 înmulțit cu apotema piramidei, care este 4 radical din 7, iată aici, supra 2.
Putem să simplificăm pe 2 și 8 prin 2, ne rămâne aici 1 și aici 4 și vom avea, nu mai e nevoie să zicem linie de fracție, avem 16 ori 4, 64 radical din 7 centimetri.
Area totală este egală cu area laterală plus area bazei. Area bazei cât este? Haideți să o scriem aici, area bazei este egală cu latură la a doua, deci avem 8 la a doua, adică 64 de centimetri pătrați,
pardon și aici trebuie să scriem centimetri pătrați pentru că vorbim de o arie. Area totală este egală cu area laterală 64 radical din 7 plus area bazei 64, adică 64 pe lângă radical din 7 plus 1, putem să trecem și o paranteză pătrată ca să trecem aici unitatea de măsură centimetrii pătrați.
Și în final avem de calculat volumul, iată o să-l scriu aici, avem area bazei care este 64 ori înălțimea care este 4 radical din 6 supra 3 și vom avea linie de fracție 64 ori 4, 256 radical din 6 supra 3 centimetri.
Cubic. Și s-a încheiat!