Transcript: Piramida hexagonală regulată (formule)

În diferite manuale sau culegeri puteți să întâlniți și probleme legate de piramida hexagonală regulată, așa că haideți să discutăm puțin despre o asemenea piramidă.
Dacă ea se numește hexagonală regulată, înseamnă că baza este un hexagon regulat și muchile laterale sunt congruente.
Deci, avem îndeplinite aceste două lucruri când vorbim de o piramidă hexagonală regulată.
Dacă muchile laterale sunt congruente, înseamnă că fețele laterale ce reprezintă?
Ele sunt niște triunghiuri și ele sunt de fapt triunghiuri isoscele congruente, deci VA, BV, BC și așa mai departe sunt toate triunghiuri isoscele congruente.
Baza este hexagon regulat, să ne amintim ce înțelegem prin hexagon regulat.
Avem un poligon care are șase laturi, laturile sunt congruente, la fel și unghiurile sunt congruente, deci și măsura unghiului A egală cu măsura unghiului B, cu măsura unghiului C și așa mai departe.
Fiecare unghi are măsura de 120 de grade.
Înălțimea într-o piramidă hexagonală regulată este segmentul care unește vârful piramidei cu centru cercului circumscris bazei.
Centrul acestui cerc se află la intersecția diagonalelor hexagonului regulat care se află la bază.
Acestea fiind spuse, să găsim acum formulele pentru o piramidă hexagonală regulată.
În primul rând, area laterală este suma arilor fețelor laterale.
Ca fețe laterale avem șase triunghiuri isoscele congruente.
Deci, vom nota șase înmulțit cu area unui triunghi.
De exemplu, area triunghiului pe care să-l alegem VCD.
Cum exprimăm area triunghiului VCD?
Și dacă ducem înălțimea corespunzătoare laturii CD, ca să facem acest lucru putem să construim mișlocul segmentului CD, să-l notăm cu M.
VM este mediană în triunghiul isoscel VCD.
Cum VC este congruent cu VD, înseamnă că avem aici un unghi de 90 de grade, adică VM este perpendiculară pe CD.
Cu alte cuvinte, area triunghiului VCD este egală cu CD înmulțit cu VM, care, atenție, reprezintă apotema piramidei.
Deci, ori apotema piramidei, supra 2.
Și acum înlocuim.
Deci, avem această relație.
Chiar, o să le trec pe amândouă către stânga.
Rezultă, area laterală este egală cu 6 înmulțit cu, în loc de area acestui triunghi, notăm acest raport, adică avem CD înmulțit cu apotema piramidei, supra 2.
Nu vom face acum această simplificare 6 și 2 prin 2, ci o să înmulțim pe 6 cu lungimea segmentului CD.
Știm că baza este un hexagon regulat, deci toate laturile au lungimea egală cu lungimea segmentului CD.
Asta înseamnă că dacă adunăm de 6 ori această lungime, vom obține chiar perimetrul bazei.
Deci, rezultă că area laterală are următoarea formulă, perimetru bazei înmulțit cu apotema piramidei, supra 2.
Cred că deja v-ați învățat cu această formulă.
E aceeași ca la piramida triunghiulară și patrulateră regulată.
Area totală este suma dintre area laterală și area bazei.
Cât este area bazei?
Cu alte cuvinte, vrem să notăm area unui hexagon regulat.
Știm deja că hexagonul regulat este alcătuit din 6 triunghiuri echilaterale congruente.
F, O, A. Acest triunghi este un triunghi echilateral și este congruent cu AOB, BOC, COD, DOE și EOF.
Deci, e destul de simplu să găsim area unui hexagon regulat.
Avem 6 triunghiuri echilaterale congruente.
Deci, notăm 6 înmulțit cu area unui triunghi echilateral.
Dacă trecem aici, notăm cu L mic latura triunghiului echilateral,
vom avea așa 6 înmulțit cu, trecem area triunghiului echilateral, L la a doua radical din 3 supra 4.
Sigur, putem aici să facem următoarea simplificare.
6 și 4 simplificăm prin 2 și vom obține 3 ori L la a doua radical din 3 supra 2.
Dacă vrem, putem să reținem această formulă.
Dacă nu, putem oricând să o deducem pentru că știm avem de 6 ori area unui triunghi echilateral.
Formula pentru volum este aceeași ca la celelalte piramide.
Area bazei ori înălțimea supra 3, unde înălțimea este reprezentată de segmentul VO.
Tot ca exercițiu, să găsim acum și apotema bazei.
Cu alte cuvinte, apotema hexagonului regulat, adică OM.
Segmentul OM este perpendicular pe CD, deci putem să trecem aici, ca avem un unghi de 90 de grade.
Nu știu cât de bine o să se înțeleagă.
OM este de fapt înălțimea în triunghi echilateral COD.
Cu alte cuvinte, apotema bazei, adică OM, este egală cu, știm deja formula pentru înălțimea unui triunghi echilateral,
latură radical din 3 supra 2.
Acestea au fost formulele pentru piramida hexagonală regulată.
E foarte ușor să observăm că area laterală, iată, are aceeași formulă pe care am întâlnit-o și la piramida triunghiulară regulată și la cea patrulateră regulată.
La fel și formula pentru area totală.
Formula pentru volum.
Cu alte cuvinte, toate aceste formule sunt destul de ușor de reținut.