Transcript: Paralelipipedul dreptunghic (formule)

În această secvență vom vedea care sunt formulele uzuale pentru paralelipipedul dreptunghic.
Știm deja că acest corp geometric este un caz particular de prismă dreaptă și să trecem și dimensiunile,
avem aici lungimea care se regăsește și aici, și aici, și aici, și avem aici lățimea care se regăsește și aici,
evident că am scris-o, și aici, și aici, și aici, și avem și aici înălțimea. Bun.
Mai întâi vom începe cu găsirea ariei laterale unui paralelipiped dreptunghic.
Aria laterală reprezintă suma ariilor fețelor laterale, cu alte cuvinte.
Avem aici un dreptunghi care este congruent cu cel din spate, are aceleași dimensiuni,
și acest dreptunghi este congruent cu acesta din stânga.
Prin urmare, avem două perechi de dreptunghiuri congruente,
deci vom avea aria acestui dreptunghi este lungime ori înălțime,
deci avem doi ori lungime ori înălțime,
adunat cu de două ori aria acestui dreptunghi, adică lățime ori înălțime.
Sau, putem să rescriem această formulă astfel.
Putem să dăm factor comun pe h,
sigur, putem să dăm și pe 2, însă o să vedeți de ce nu-l dăm.
Deci avem h pe lângă 2 ori l, adunat cu 2 ori l mic.
Din această scriere, ce obținem aici în paranteză?
Păi de două ori lungimea, iată, adunată cu de două ori lățimea,
obținem de fapt perimetrul bazei,
deci putem să notăm că aria laterală, formula, se scrie perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea.
Iată că vorbim de fapt de aceeași formulă pe care am regăsit-o
pentru aria laterală și la prisma triunghiulară regulată.
Formula pentru aria totală
este suma ariilor tuturor fețelor prismei,
adică în cazul nostru apare ale lipipedului dreptunghi,
toate fețele sunt dreptunghiuri,
deci avem aria laterală adunată cu de două ori aria bazelor.
Cât este aria unei baze?
Aria bazei este egală cu, avem un dreptunghi, lungime ori lățime.
Formula volumului pentru un paralel lipiped dreptunghic este aceeași cu formula pe care am folosit-o
la prisma triunghiulară regulată și anume aria bazei ori înălțimea.
De fapt, pentru orice prismă dreaptă,
volumul se calculează înmulțind aria bazei cu înălțimea.
Și mai putem să scriem această formulă astfel,
o particularizăm pentru acest corp geometric și anume,
aria bazei este lungime ori lățime înmulțită cu înălțimea.
Practic, ca să determinăm volumul unui paralel lipiped dreptunghic,
vom înmulți cele trei dimensiuni.
Și acum haide să încadrăm câteva formule.
Am încadrat formula pentru aria laterală,
formula pentru aria totală este aceasta și formula volumului.
Formulele pe care le-am încadrat sunt valabile, atenție, pentru orice prismă dreaptă,
fie că vorbim de prismă triunghiulară regulată sau de paralel lipiped dreptunghic.
Să determinăm acum lungimea diagonalei unui paralel lipiped dreptunghic.
Acest corp geometric are patru diagonale congruente
și vom alege una dintre ele, de exemplu A'C
și o voi nota cu d mic de la diagonală și vrem să determinăm lungimea acestei diagonale.
Ce fel de triunghi este triunghiul A'AC?
Pentru că folosindu-ne de acest triunghi vom determina lungimea diagonalei.
Iată, avem aici A'A perpendiculară pe planul bazei ABCD.
AC este inclusă în acest plan, înseamnă că A'A e perpendiculară și pe AC.
Deci putem să trecem că avem aici un unghi de 90 de grade.
Să notăm ce am zis.
A'A perpendiculară pe planul bazei ABC.
AC este inclusă în planul ABC, de unde rezultă că A'A e perpendiculară pe AC.
Cu alte cuvinte, avem triunghiul A'AC care are măsura unghiului A de 90 de grade.
Diagonala, adică segmentul A'C este ipotenuză în triunghiul A'AC.
Deci aplicăm teorema lui Pitagora, rezultă din teorema lui Pitagora
că lungimea segmentului A'C la pătrat este egală cu A'A la pătrat adunată cu AC la pătrat.
Și acum trebuie să găsim lungimile acestor catete.
A'A este egală cu H, AC cu cât este egală.
Iată că în triunghiul ABC avem că măsura unghiului B este de 90 de grade.
Asta înseamnă că putem să aplicăm în acest triunghi teorema lui Pitagora.
Prin urmare, în triunghiul ABC cu măsura unghiului B de 90 de grade rezultă tot din teorema lui Pitagora
că AC la pătrat este egală cu AB la pătrat plus BC la pătrat, adică cu L mare la pătrat adunat cu L mic la pătrat.
Ce facem acum? Vom înlocui aici.
Deci A'C, am notat-o cu D la pătrat, este egală cu A'A, adică H la pătrat adunat cu AC la pătrat.
Iată, este egală cu această sumă, adică L mare la a doua plus L mic la a doua.
Și iată că am găsit și formula diagonalei unui paralelipipet dreptunghic.
Lungimea diagonalei ridicate la pătrat este egală cu L mare la a doua plus L mic la a doua plus H la a doua.
Sau, dacă vreți, putem să scriem că diagonala este egală cu, trecem totul subradical
și vom avea așa, L mare la pătrat adunat cu L mic la pătrat plus H mic la pătrat, totul subradical.
Aceasta este formula pentru determinarea diagonalei unui paralelipipet dreptunghic.