Transcript: Ordonarea numerelor raționale

În această lecție o să învățăm să ordonăm numerele raționale.
Numerele raționale pot fi scrise atât sub formă de fracție ordinară, cât și sub formă de fracție decimală.
Mai întâi învățăm să comparăm fracțiile ordinare.
Avem aici un întreg pe care o să îl împarc în patru părți egale.
Dacă voi hașura o parte, voi obține fracția 1 supra 4.
Iar dacă voi hașura două părți din acestea, vom obține fracția 2 supra 4.
Având în vedere că două pătrimi reprezintă o suprafață mai mare decât o pătrime,
vom spune că fracția 2 supra 4 este mai mare decât fracția 1 supra 4.
Să împărțim acum acest întreg în 8 părți egale.
Dacă voi hașura două părți dintre acestea, obținem fracția 2 supra 8.
Să comparăm acum fracția 2 supra 8 cu 2 supra 4.
Ne uităm la porțiunea hașurată cu galben și la cea hașurată cu albastru.
Având în vedere că porțiunea albastră este mai mare decât cea galbenă,
deducem că fracția 2 supra 4 este mai mare decât fracția 2 supra 8.
Putem constata așadar următoarele aspecte.
Dintre două fracții pozitive care au același numitor, va fi mai mare cea cu numărătorul mai mare,
iar dintre două fracții pozitive care au același numărător, este mai mare cea cu numitorul mai mic.
Vom scrie aceste reguli.
Dintre două fracții pozitive care au același numitor, este mai mare cea cu numărătorul mai mare.
Și putem să dăm exemplul pe care l-am văzut mai devreme.
1 supra 4 este mai mică decât fracția 2 supra 4.
Iar dintre două fracții pozitive care au același numărător, este mai mare cea cu numitorul mai mic.
Am văzut că fracția 2 supra 8 este mai mică decât fracția 2 supra 4.
În cazul în care trebuie să comparăm două fracții pozitive care nu au nici același numitor și nici același numărător,
o variantă posibilă ar fi să aducem fracțiile la același numitor și să aplicăm prima regulă,
sau o altă variantă ar fi să înmulțim pe diagonală.
Fracția A supra B va fi mai mică decât fracția C supra D, dacă A or D este mai mic decât B or C.
Să vedem un exemplu.
Dorim să comparăm fracțiile 3 supra 4 și 5 supra 6.
O să înmulțim pe diagonală 3 or 6 și 4 or 5.
3 or 6 este 18, iar 4 or 5 20.
Având în vedere că 18 este mai mic decât 20, vom scrie că fracția 3 supra 4 este mai mică decât fracția 5 supra 6.
Dintre două fracții cu semne diferite, este mai mare fracția pozitivă.
Întotdeauna un număr rațional pozitiv va fi mai mare decât un număr rațional negativ.
De exemplu, 4 supra 9 va fi mai mare decât minus 6 supra 13.
Regula numărul 5.
Dacă avem fracțiile negative A supra B și C supra D, atunci A supra B este mai mică decât C supra D.
Dacă valoarea absolută a fracției A supra B este mai mare decât valoarea absolută a fracției C supra D.
Adică modul de A or D este mai mare decât modul de B or C.
Să luăm un exemplu.
Dorim să comparăm fracțiile negative minus 2 supra 5 și minus 3 supra 8.
Mai întâi vom compara modulele acestor două fracții și anume comparăm fracțiile pozitive 2 supra 5 și 3 supra 8.
După regula amintită mai devreme, înmulțim pe diagonală 2 ori 8 este 16 iar 3 ori 5 este 15.
Având în vedere că 2 ori 8 este mai mare decât 5 ori 3, înseamnă că fracția 2 supra 5 este mai mare decât fracția 3 supra 8.
Dar revenind la fracțiile inițiale care erau numere negative, vom inversa acest semn pentru că fracția minus 2 supra 5 este mai mică decât minus 3 supra 8.
În general, dintre două numere reaționale negative este mai mare cel cu modulul mai mic.
De exemplu, numărul minus 3,6 este mai mare decât minus 4,9 pentru că modulul numărului minus 3,6 este mai mic decât modulul numărului minus 4,9.
Dintre două numere reaționale diferite este mai mare cel care, pe o axă a numerelor, este reprezentat la dreapta celuilalt.
De exemplu, fracția 1 supra 2 este mai mică decât 2,6.
Dacă efectăm împărțirea, observăm că 1 supra 2 se poate transforma în fracție decimală și obținem 0,5.
Reprezentând pe axă numerele reaționale 1 supra 2 și 2,6, observăm că 2,6 este situată la dreapta numărului 1 supra 2.
Așadar, 2,6 este mai mare decât 1 supra 2.
În general, pentru a compara două numere reaționale scrise sub formă diferită, adică un număr scris sub formă de fracție ordinară și celălalt sub formă de fracție decimală,
este bine să le aducem la aceeași formă.
Ori transformăm ambele numere în fracție decimală, ori le transformăm în fracție ordinară.
Să facem acum un exercițiu.
Scrieți în ordine crescătoare numerele "-2,5", "-4,5", "-6", "-5,2", "-5,2", "-42,5", "-15,2".
Avem aici niște numere reaționale scrise atât sub formă de fracție decimală cât și sub formă de fracție ordinară.
Voi transforma ultimele două fracții ordinare în fracții decimale, făcând împărțirea.
42 împărțit la 5, 5 în 42 se cuplinde de 8 ori, 5 ori 8, 40, efectăm scăderea, punem virgulă, adăugăm un 0, 5 în 20 intră de 4 ori, 5 ori 4, 20.
Așadar, 42 supra 5 este egal cu 8,4.
15 împărțit la 2, 2 în 15 se cuplinde de 7 ori, 7 ori 2 este 14.
Punem virgula, adăugăm un 0, 2 în 10 intră de 5 ori, 5 ori 2 este 10.
"-15,2", este egal cu "-7,5".
Și acum să scriem aceste numere în ordine crescătoare.
Numerele negative vor fi mai mici decât cele pozitive, așadar trebuie să începem cu cele negative.
Avem trei numere negative, "-7,5", "-2,5", și "-6".
Dintre acestea, cel mai mic va fi cel cu modulul mai mare, și anume "-7,5".
Deci primul număr în ordine crescătoare este "-15,2".
Următorul număr negativ mai mare decât "-7,5", este "-6".
Urmează apoi "-2,5".
Am terminat cu numerele negative. Urmează cele pozitive.
Avem patru numere pozitive, plus "-4,5", "-5,2", "-5,2", și "-8,4".
Este clar că cel mai mic este "-4,5", și cel mai mare "-8,4".
Să vedem între aceste două numere care va fi cel mai mare.
Să comparăm fracțiile decimale "-5,2", și "-5,2".
"-5,2", este o fracție decimală infinită. Aceasta este egală cu "-5,22", și așa mai departe.
Cifra 2 se repetă la nesfârșit.
Iar "-5,2", înseamnă, de fapt, "-5,20".
Să ne uităm acum la aceste două reacții decimale.
Partea lor întreagă este egală, "-5", este egal cu "-5".
Comparăm acum prima decimală. Observăm că și aceasta coincide, "-2", este egal cu "-2".
Trecem la a doua decimală și observăm că "-2", este mai mare decât "-0".
Și atunci putem trage concluzia că "-5,2", este mai mare decât "-5,2".
Iar acum să revenim la ordinea crescătoare.
Urmează, cum spuneam, "-4,5", apoi "-5,2".
Urmează "-5,2".
Și mai avem "-8,4", adică fracția 42 supra 5.
Aceasta este ordinea crescătoare a numerelor.
În continuare o să discutăm despre partea întreagă și partea fracționară a unui număr rațional.
Prin definiție, partea întreagă a unui număr rațional x notată cu paranteză dreaptă este cel mai mare număr întreg, mai mic sau egal cu x.
De exemplu, partea întreagă a numărului 2,4 este egală cu 2, pentru că 2 este cel mai mare număr întreg, dar mai mic decât 2,4.
Un alt exemplu, partea întreagă a numărului minus 2,4 este minus 3, pentru că minus 3 este cel mai mare număr întreg, dar mai mic decât minus 2,4.
Dacă ne imaginăm aceste numere reprezentate pe o axă, minus 3 este situat la stânga lui minus 2,4, deci minus 3 este mai mic decât minus 2,4.
Acum definim partea fracționară a unui număr rațional x, aceasta se notează cu paranteză acoladă și ea este diferența dintre numărul x și partea sa întreagă.
De exemplu, partea fracționară a numărului 2,4 este diferența dintre numărul 2,4 și partea întreagă a lui 2,4, egal în continuare cu 2,4 minus, partea întreagă este 2 și obținem 0,4.
Partea fracționară a numărului minus 2,4 este egală cu minus 2,4 minus partea întreagă a numărului minus 2,4, egal cu minus 2,4 minus, partea întreagă a lui minus 2,4 este minus 3,
egal cu minus 2,4 plus 3 și egal cu 0,6.