Transcript: Operaţii cu şiruri convergente

În acest videoclip voi prezenta și discuta despre operațiile cu șiruri convergente.
Șirurile sunt funcții, de exemplu, dacă avem șirul AN, atunci acesta este definit ca o funcție definită pe n-stea cu valori în R,
cu legea de corespondență FDN egal cu AN.
În consecință, operațiile cu șiruri se definesc având în vedere operațiile algebrice cu funcții.
Dacă XN și YN sunt două șiruri de numere reale, termenii șirului XN sunt X1, X2, X3 și așa mai departe,
termenii șirului YN sunt Y1, Y2, Y3 și așa mai departe,
cu aceste două șiruri putem efectua următoarele operații.
Suma celor două șiruri, șirul XN plus șirul YN va fi șirul XN plus YN, șirul sumă va avea termenii X1 plus Y1, X2 plus Y2, X3 plus Y3 și așa mai departe.
Diferența celor două șiruri, șirul XN minus șirul YN este șirul XN minus YN, termenii șirului diferență vor fi X1 minus Y1, X2 minus Y2, X3 minus Y3 și așa mai departe.
Produsul celor două șiruri va fi șirul produsului, adică șirul XN ori șirul YN este șirul XN ori YN, termenii șirului produs vor fi X1 minus Y1, X2 minus Y2, X3 minus Y3 și așa mai departe.
Putem înmulți un șir cu o constantă, aici am înmulțit șirul XN cu numărul real C, rezultatul este șirul CXN, termenii acestui șir vor fi CX1, CX2, CX3 și așa mai departe.
Și ultima operație, câtul celor două șiruri, șirul XN supra șirul YN este șirul XN supra YN, în situația în care efectuăm această operație, șirul YN trebuie să aibă toți termenii diferiți de 0
și termenii șirului XN supra YN vor fi X1 supra Y1, X2 supra Y2, X3 supra Y3 și așa mai departe.
Efectuând operații algebrice cu șiruri convergente, se obțin de asemenea șiruri convergente.
Avem următoarele teoreme.
Teorema 1. Dacă XN și YN sunt două șiruri convergente, XN are limita X, X fiind un număr real și YN are limita Y, Y fiind un număr real și C este un număr real oarecare, atunci au loc următoarele rezultate.
A. Șirul XN plus YN este convergent și limita șirului XN plus YN este egală cu suma dintre limita șirului XN și limita șirului YN, adică limita sumei este egală cu suma limitelor.
A. Șirul CXN unde C este un număr real oarecare este convergent și limita șirului CXN este egală cu C ori limita șirului XN, cu alte cuvinte, constanta trece în fața limitei.
A. Șirul XN ori YN este un șir convergent și limita șirului XN ori YN este egală cu limita șirului XN înmulțită cu limita șirului YN, adică limita produsului este egală cu produsul limitelor.
Această teoremă este de fapt trei în unu. Observăm că cele trei subpunkte se referă la trei operații diferite cu șiruri.
A. Teorema 2. Dacă XN și YN sunt două șiruri convergente, XN are limita X, X fiind un număr real, YN are limita Y, Y fiind un număr real diferit de zero,
și în plus termenii șirului YN sunt diferiți de zero, atunci șirul XN supra YN este un șir convergent și limita șirului XN supra YN este egală cu raportul dintre limita șirului XN și limita șirului YN.
Acest rezultat se poate formula astfel. Limita șirului XN este egală cu câtul limitelor.
A. Teorema 3. Dacă șirul XN este un număr real diferit de zero, limita șirului XN trebuie să fie nenulă,
iar YN este un șir de numere reale convergent către Y, Y cu număr real oarecare, atunci șirul XN la puterea YN este un șir convergent
și limita șirului XN la puterea YN este egală cu limita șirului XN la puterea limita șirului YN, adică limita unei puteri se distribuie și bazei și exponentului.
Nu am definit la început operația XN la puterea YN, dar șirul XN la puterea YN este un șir care va avea următorii termeni
X1 la puterea Y1, X2 la puterea Y2, X3 la puterea Y3 și așa mai departe.
Cele trei teoreme se demonstrează folosind criteriul de convergență cu epsilon. Voi demonstra sub punctul A al teoremei 1 într-o altă înregistrare video.
În continuare voi prezenta câteva consecințe și observații referitoare la rezultatele prezentate în cele trei teoreme.
În primul rând, putem extinde sub punctul A la o sumă finită de șiruri convergente. Adică, în loc să adunăm doar două șiruri convergente, adunăm un număr finit de șiruri convergente
și atunci suma finită de șiruri convergente este un șir convergent și limita sumei este egală cu suma limitelor.
Putem extinde și sub punctul C la un produs finit de șiruri convergente și vom obține următorul rezultat. Un produs finit de șiruri convergente este un șir convergent și limita produsului este egală cu produsul limitelor.
Vă rog să rețineți că este extrem de important ca suma să fie finită sau produsul să fie finit. În momentul în care discutăm de sumă infinită sau produs infinit de șiruri convergente, atunci aceste două rezultate nu mai sunt adevărate.
Și a treia consecință, dacă avem șirurile XN și YN convergente, XN are limită afinită X iar YN are limită afinită Y, atunci și șirul minus XN este convergent și limita șirului minus XN va fi egală cu minus X.
Acesta este un caz particular al punctului B în care C este egal cu minus 1.
Diferența celor două șiruri va fi un șir convergent și limita șirului XN minus YN va fi egală cu diferența limitelor, adică X minus Y.
Acest rezultat se obține combinând sub punctele A și B din teorema șirul minus YN este convergent și atunci avem suma șirurilor XN și minus YN.
Dacă P este un număr întreg și XN este un șir cu toți termenii N, atunci șirul XN la puterea P este convergent și limita șirului XN la P este egală cu X la P.
Acest rezultat provine din consecința 2. Pentru P, un număr pozitiv oarecare, efectuăm produsul lui XN cu el însuși de P ori.
Și nu în ultimul rând, alfa XN plus beta YN este un șir convergent și limita șirului alfa XN plus beta YN este alfa X plus beta Y, unde alfa și beta sunt numere reale.
Și acest rezultat provine din punerea împreună a rezultatelor de la sub punctele A și B din teorema șirul minus XN.
Referitor la teorema 2, voi face câteva observații.
Prima observație. Reciproca teoremei 2 nu este adevărată. Adică, dacă XN supra YN este convergent, atunci nu este obligatoriu ca șirurile XN respectiv YN să fie convergente.
De exemplu, dacă luăm șirul XN egal cu minus 1 la puterea N și YN egal cu minus 2 la puterea N, șirul XN supra YN este egal cu minus 1 la puterea N supra minus 2 la puterea N, care este egal cu minus 1 supra minus 2 la puterea N, adică 1 pe 2 la N,
acest șir este convergent către 0, cu toate că șirul XN este un șir divergent, ne amintim că termenii acestui șir sunt minus 1, 1, minus 1, 1, minus 1, 1 și așa mai departe,
și YN este la rândul său un șir divergent, termenii lui fiind minus 2, 2, minus 2, 2, minus 2, 2 și așa mai departe.
Observația a doua. Condiția ca Y să fie diferit de 0 este extrem de importantă. În cazul în care Y este egal cu 0, avem două situații. X este diferit de 0 și X este egal cu 0.
Dacă X este diferit de 0, atunci șirul XN supra YN va fi un șir nemărginit. De exemplu, dacă XN este șirul 2N supra N plus 1, acest șir are limita 2 și YN este șirul 1 supra N plus 1, acest șir este convergent către 0.
Șirul XN supra YN va fi egal cu 2N supra N plus 1 totul supra 1 supra N plus 1, adică va fi egal cu 2N, iar acest șir, șirul 2N, este un șir nemărginit care are limita plus infinit.
Deci, dacă X este diferit de 0 și Y este egal cu 0, șirul XN supra YN nu este convergent.
Dacă X este egal cu 0 și Y este egal cu 0, atunci nu se poate afirma nimic în privința șirului XN supra YN.
Am considerat aici patru cazuri. Primul caz, șirul XN egal cu 1 pe N are limita 0, YN egal cu 1 supra N pătrat are limita 0, șirul XN supra YN, după ce efectuăm calculele, este egal cu N și va avea limita plus infinit, deci este un șir nemărginit.
În al doilea exemplu, am considerat XN egal cu 2 supra N are limita 0, YN este 1 supra N are tot limita 0, iar șirul XN supra YN va fi egal cu 2, un șir constant care va avea limita 2.
Situația a treia, XN este egal cu 1 supra N pătrat, YN este egal cu 1 supra N. În acest caz, XN supra YN, după ce efectuăm calculele, este egal cu 1 supra N, deci este un șir convergent către 0.
Situația a patru, XN este egal cu minus 1 la puterea N supra N are limita 0, YN este egal cu 1 supra N are limita 0, șirul XN supra YN, după efectuarea calculelor, este egal cu minus 1 la puterea N, care este un șir divergent.
Am dat patru exemple în care șirurile XN și YN sunt convergente către 0 și am obținut rezultate foarte diferite referitoare la limita șirului XN supra YN.
În consecință, nu putem preciza nimic în privința existenței limitei șirului XN supra YN, iar în cazul în care limita există, nu putem preciza nimic referitor la valoarea acesteia.
În acest caz, se spune că există o nedeterminare. Nedeterminarea din acest caz se notează cu 0 supra 0.
Și acum câteva observații referitoare la teorema 3.
1. Este extrem de importantă condiția ca X să fie diferit de 0. Dacă X este egal cu 0 și Y este egal cu 0, ajungem în cazul de nedeterminare 0 la puterea 0.
2. Dacă YN este șirul constant 1 supra P, unde P este un număr natural, mai mare sau egal cu 2, atunci limita din XN la YN va fi egală cu limita din XN la 1 supra P,
adică limita din radical de ordin P din XN, adică radical de ordin P din limita din XN. Cu alte cuvinte, limita trece sub radical.
3. Dacă XN este un șir constant A, unde A este un număr real pozitiv, nenul, și YN este șirul 1 supra N, atunci limita când întinde la plus infinit din XN la YN va fi egală cu limita din A la 1 pe N,
limita trece la exponent, adică va fi A la limita din 1 pe N, care este egală cu A la 0 și este egală cu 1.