Transcript: Operații cu rapoarte algebrice

Să facem acum câteva operații cu rapoarte algebrice și ni se dă această sumă, avem 3 supra x minus 2 adunat cu x supra x pătrat minus 4.
Când aveam o sumă de rapoarte numerice, ce trebuia să facem? Să aducem rapoartele la același numitor și apoi calculăm suma respectivă.
Același lucru vom face și aici, însă ca să vedem care este numitorul comun, mai întâi trebuie să descompunem în factor fiecare numitor în parte.
Aici deja este descompus în factor, deci nu mai avem ce face, însă putem să descompunem aici x pătrat minus 4.
Haideți să copiem primul raport, el rămâne neschimbat adunat cu, la al doilea avem linie de fracție x supra, x pătrat minus 4-ul putem scrie x pătrat minus 2 la a doua.
Cum desfacem aici în factor?
Păi avem x minus 2 înmulțit cu x plus 2. Și acum e ușor de văzut cu cât trebuie să amplificăm primul raport.
x minus 2 ne apare și aici, însă aici îl mai avem și pe x plus 2, deci vom amplifica primul raport cu x plus 2 și vom obține egal cu,
Haideți să scriem linia de fracție, numitorul comun va fi acest produs x minus 2 înmulțit cu x plus 2, iar la numărător vom avea așa 3 pe lângă, 3 pe lângă x plus 2 adunat cu x.
Și vom avea linie de fracție, nu ne rămâne decât să desfacem paranteza aici, numitorul x minus 2 pe lângă x plus 2, iar la numărător vom avea 3 ori x plus 3 ori 2 ne dă 6 adunat cu x.
Păi de fapt vom obține 3x cu x înseamnă 4x plus 6. Bun, care sunt valorile pe care le poate lua x? Păi unde ne uităm? Ne uităm la această formă a sumei pentru că aici ambii numitori sunt descompuși în factor și nu am făcut până în acest moment nicio simplificare.
Dacă ne uităm la ultima formă a raportului și stabilim pe baza acestei forme mulțimea de valori pe care o poate lua x, atunci și uneori ne putem păcăli pentru că dacă cumva am făcut vreo simplificare, atunci nu o să obținem mulțimea corectă.
De aceea cel mai bine este să ne uităm aici și observăm că x aparține mulțimii numerelor reale din care scoatem ce valori. Păi el nu poate să fie 2, dar observăm că de aici nu poate să fie nici minus 2, deci plus minus 2.
Acum să facem și o diferență 8x supra x pătrat minus 1 minus 5 supra 2 pe lângă x plus 1. Tot așa mai întâi trebuie să descompunem un factor numitorii. Primul numitor avem 8 ori x supra, avem aici minus 1 la pătrat, deci x minus 1 înmulțit cu x plus 1.
Minus al doilea numitor, putem să-l copiem, avem 5 supra 2 pe lângă x plus 1. Ce observăm la acești numitori? Păi x plus 1 apare și aici și aici.
La acest raport algebric nu avem x minus 1, atunci haideți să amplificăm aici cu x minus 1, deci amplificăm. Dacă amplificăm vom obține numitorul 2 x plus 1 ori x minus 1. Aici avem doar acest produs fără a avea factorul 2, deci amplificăm aici cu 2 și vom obține egal mai departe cu,
haideți chiar să șterg aici aceste linii să nu apară o notație prea încărcată, numitorul comun este 2 pe lângă x plus 1 ori x minus 1. Și la numărător avem 8 ori 2, 16 x minus 5 pe lângă x minus 1.
Egal cu, haideți să copiem numitorul, el rămâne evident neschimbat, cât obținem la numărător? Păi vom avea 16 x minus 5 x, aici minus 5 ori minus 1 ne va da plus 5.
Facem această diferență și vom obține 11 x, deci chiar o să ștergem și scriem direct 11 x plus 5, deci 11 înmulțit cu x adunat cu 5.
Care e mulțimea în care x ia valori? x aparține, să o scriem aici, mulțimii numerelor reale din care scoatem ce numere, unde? Ne uităm, iată aici, avem numitorii descompuși în factori, x nu poate să fie 1 sau minus 1, aici x nu poate fi minus 1, deci diferit de plus minus 1.
Ca să înmulțim două sau mai multe rapoarte algebrice, înmulțim numărători între ei și numitori între ei și avem 5 ori x la a patra supra x plus 3 înmulțit cu x pătrat minus 9 supra 2 ori x.
Înainte să trecem la înmulțire, putem să facem și simplificări? Păi, ca să vedem dacă avem simplificări de făcut, cel mai bine este să descompunem în factor fiecare numărător și numitor în parte și avem 5 ori x la a patra, aici numitorul x plus 3, nu mai avem ce descompuneri să facem.
Deci, acest raport îl vom copia, însă aici avem x pătrat minus 9, pe 9-ul putem scrie cum? 3 la a doua și aici vom face următoarea descompunere x minus 3 înmulțit cu x plus 3, iar numitorul este 2 ori x.
Să vedem ce simplificări putem face, acest numitor cu acest produs prin x plus 3, deci x plus 3 împărțit la x plus 3 o să ne dea 1, acest produs împărțit la x plus 3 o să dispară acest factor și x la a patra cu x putem să îl simplificăm prin x, pentru că aici, iată, avem să notăm x la întâia.
Bun, x la a patra împărțit la x la întâia ne dă x la a treia, deci ștergem și o să tăiem aici x la a patra, scriem că ne rămâne x la a treia.
X la a întâia împărțit la x la a întâia, e clar, ne dă 1 și vom obține linie de fracție 5 ori x la a treia înmulțit cu x minus 3, iar numitorul este 2.
Care sunt valorile pe care le poate lua x? Păi x aparține următoarei mulțimi numerele reale din care scoatem minus 3, pentru că numitorul acesta nu poate fi 0, deci x nu poate fi minus 3 și nu poate să fie nici 0, că avem aici 2 ori x.
Să facem acum și o împărțire, 2 ori x plus 1 supra x minus 5 împărțit la 3 ori x supra x minus 5 la pătrat.
Păi când împărțim două rapoarte trebuie de fapt să înmulțim primul raport pe care haide să-l copiem cu inversul celui de-al doilea.
Deci la al doilea raport inversăm numărătorul cu numitorul, avem x minus 5 la pătrat supra 3 ori x.
Și aici putem face simplificări, x minus 5 și x minus 5 la pătrat simplificăm prin x minus 5, aici o să ne rămână 1 și aici o să ne rămână exponentul 1.
Deci rezultatul care va fi, numitorul este 3 ori x, iar la numărător avem această sumă înmulțită cu x minus 5, deci pe lângă x minus 5.
Unde ia x valori? x aparține mulțimii numerelor reale și iată că trebuie să ne uităm aici, x nu poate să fie 5, deci să-l trecem din care scădem numărul 5, x minus 5 la pătrat să fie diferit de 0.
Păi ce obținem aici? x minus 5 totul la pătrat să fie nenul. Păi când pătratul unui număr este diferit de 0? Păi când baza este diferită de 0.
Deci e echivalent cu a spune că x minus 5 este diferit de 0, pentru că singura situație în care pătratul unui număr este 0 este aceea în care baza este 0.
Dacă x minus 5 este diferit de 0 înseamnă că x este diferit de 5, însă deja am trecut această situație și am încheiat nu, pentru că iată acest numărător a devenit numitor, că avem aici împărțire și nu putem să împărțim la un număr egal cu 0,
deci și numărătorul și numitorul aici trebuie să fie diferit de 0, asta înseamnă că x nu poate lua valoarea 0, deci x trebuie să fie diferit de 5 și de 0.
Ce avem aici este o expresie algebrică și o expresie algebrică poate fi notată cu diferite litere mari, noi am trecut aici edx.
Edx este egală cu 1 supra x plus 6 înmulțit cu paranteza pătrată 2 ori x la a doua supra x la a doua minus 6 x plus 9 înmulțit cu x minus 3 la a doua supra x la a treia minus 1 supra x plus 3.
Și vrem să o aducem la o formă mai simplă, cu alte cuvinte vrem să obținem un raport care nu se mai poate simplifica.
Mai întâi vom începe cu calculul din paranteza pătrată și să vedem dacă putem face vreo simplificare în cadrul acestui produs.
Avem aici x la a doua minus 6x plus 9.
De fapt aici putem scrie x minus 3 totul la pătrat și restul vom copia.
Deci voi șterge aici și vom obține.
Iată, am copiat restul în afară de ce am notat aici cu x minus 3 la pătrat.
Și acum deja putem face simplificări pentru că simplificăm acest numitor și acest numărător prin x minus 3 la pătrat.
Ne rămâne aici 1, la fel și aici 1.
Aici avem x la a doua și x la a treia. Simplificăm prin x la a doua.
Ne rămâne 1 și aici o să ne rămână exponentul 1.
Deci e suficient să tăiem. Aici ne rămâne x la a întâia.
Cu alte cuvinte, e de x cu cât este egal?
Expresia noastră e egală cu...
Avem aici 1 supra x plus 6 înmulțit cu...
Nu mai avem nevoie de paranteză pătrată, ea este acum paranteză rotundă.
Avem 2, ori 1, ori 1.
Cu alte cuvinte, la numărător avem 2 iar la numitor avem x.
Deci 2 supra x, din care scădem 1 supra x plus 3.
Aici trebuie să amplificăm. E ușor de văzut că amplificăm cu x plus 3 aici,
iar aici vom amplifica cu x.
Cât avem? E de x este egal cu...
Haideți să se vadă mai clar.
Primul raport îl vom copia, 1 supra x plus 6 înmulțit cu...
Aici haideți să facem calculul.
Numitorul este x ori x plus 3, deci x pe lângă x plus 3,
iar la numărător vom avea așa 2 ori x adunat cu 2 ori 3, deci 6, minus x.
Bun, însă 2 ori x minus x ne dă x.
Deci chiar putem... Haideți să ștergem.
Și aici vom scrie x, da?
Deci ne-a rămas x adunat cu 6.
Păi nu ne rămâne de făcut decât acest produs și iată că putem face din nou simplificări.
Simplificăm acest numitor și acest numărător prin x plus 6.
Ne rămâne 1, la fel și aici.
Cu alte cuvinte, E de x este egal cu...
La numărător avem 1, iar la numitor x pe lângă x plus 3.
Ajungând la un raport algebric care nu se mai poate simplifica,
spunem că expresia dată inițial a fost adusă la forma cea mai simplă.
Care e mulțimea în care x ia valori?
Cu alte cuvinte, pentru ce valori, numere reale, această expresie algebrică este bine definită.
Pentru că aici deja am făcut niște simplificări,
înseamnă că trebuie să ne uităm la prima formă a expresiei noastre.
Și e clar de aici că numitorul acesta nu poate fi 0,
deci x nu poate să fie minus 6.
Trecem condiția.
x diferit de minus 6.
Aici avem x minus 3 totul la pătrat.
Păi asta înseamnă că x minus 3 nu poate să fie 0.
Deci x este diferit de 3.
Aici x la 3-a e diferit de 0, deci x e diferit de 0.
Și x plus 3 să fie nenul, deci x să fie diferit de minus 3.
Nu avem împărțire nici aici, nici aici,
deci nu e nevoie să punem condiția ca vreun numărător să fie diferit de 0.
Cu alte cuvinte, am obținut că x aparține mulțimii numerelor reale
din care scoatem valorile minus 6, 0 și avem plus minus 3.
Iată că e nevoie să stabilim acest lucru înainte să facem vreo simplificare,
pentru că dacă ne-am luat după rezultatul final,
iată am obține că x trebuie să fie diferit doar de 0 și de minus 3,
ceea ce este fals.
x poate aparține, trebuie să aparțină acestei mulțimii.