Transcript: Operaţii cu numere întregi: adunarea şi scăderea

În această lecție o să învățăm adunarea și scăderea numerelor întregi.
O să începem cu adunarea numerelor cu același semn.
Am reprezentat pe o axă câteva numere întregi pentru a ne ușura calculele.
Am fixat sensul pozitiv și negativ indicat de aceste două săgeți.
Dacă avem numere întregi pozitive, ne deplasăm de la origine spre dreapta,
iar pentru numerele negative ne deplasăm de la origine spre stânga.
Și începem cu acest exemplu.
Plus 2 plus plus 5.
Ca să reprezentăm pe axă numărul plus 2, ne-am deplasat de la origine două unități în sens pozitiv.
Iată, această săgeată roșie indică numărul plus 2.
Apoi, în continuare a săgeții roșii, trebuie să mergem 5 unități de măsură, tot în sens pozitiv.
Iată, capătul săgeții albastre indică și rezultatul acestui exercițiu.
Așadar, plus 2 adunat cu plus 5 ne dă plus 7.
Un alt exemplu.
Să adunăm plus 3 plus plus 3.
Ca să reprezentăm numărul plus 3, mergem de la 0 în sens pozitiv 3 unități de măsură.
Iată, aici este numărul plus 3.
Apoi, în continuare a săgeții roșii, mergem încă 3 unități de măsură, tot în sens pozitiv.
Iar finalul săgeții albastre indică și rezultatul acestui exercițiu.
Prin urmare, rezultatul calculului este plus 6.
Acum să vedem cum adunăm două numere negative.
Și avem acest exemplu, minus 2 plus minus 4.
Ca să reprezentăm numărul minus 2 pe axă, trebuie să ne deplasăm de la origine în sens negativ 2 unități de măsură.
Iată, aici avem numărul minus 2.
Apoi, în continuare a săgeții roșii, trebuie să mergem 4 unități de măsură, tot în sens negativ.
Iată, rezultatul la care ajungem este minus 6.
Și încă un exemplu, minus 1 adunat cu minus 6.
Minus 1, de la 0 mergem spre stânga, o unitate de măsură.
Apoi, în continuare a săgeții roșii, trebuie să mergem 6 unități de măsură, tot spre stânga, pentru că avem minus 6.
Iată, ajungem la numărul întreg, minus 7, iar acesta va fi și rezultatul exercițiului.
Acum să ne uităm puțin la aceste sume și să încercăm să deducem o regulă generală de calcul.
Observăm mai întâi că semnul rezultatului este semnul comun al celor doi termeni.
Iată, aici am avut două numere pozitive, rezultatul a fost număr pozitiv.
Aici am avut două numere negative, iar rezultatul este negativ.
Acum putem să observăm că modulul sumei este suma modulelor celor doi termeni.
Dacă adunăm modulele acestor numere, avem 2 plus 5, egal cu 7.
La fel și aici, dacă adunăm modulele, avem 2 plus 4, egal 6.
Prin urmare, să reținem această regulă pentru adunarea numerelor care au același semn.
Iată, pentru a aduna două numere întregi cu același semn, se adună modulele lor, iar rezultatul are semnul comun.
Haideți acum să vedem cum adunăm numerele întregi cu semne diferite.
Am reprezentat iarăși pe o axă câteva numere întregi ca să ne ușurăm calculele și pornim de la acest exemplu, plus 5 plus minus 2.
Trebuie să adunăm așadar un număr pozitiv cu un număr negativ.
Ca să ajungem la numărul plus 5, ne deplasăm de la 0 în sens pozitiv 5 unități de măsură.
Iată, aici este plus 5.
Acum, pornind de la acest număr, trebuie să mergem în sens opus, adică în sens negativ, două unități de măsură.
Capătul săgeții albastre indică și rezultatul calculului, așadar plus 5 adunat cu minus 2 ne dă plus 3.
Un alt exemplu, minus 6 adunat cu plus 4.
Ca să reprezentăm numărul minus 6, mergem de la 0, 6 unități în sens negativ.
Iată, aici avem minus 6.
Ca să adunăm acum la acest număr, numărul plus 4, pornim din acest punct.
Trebuie să ne deplasăm 4 unități de măsură, dar în sens pozitiv.
Iată, numărul la care am ajuns este minus 2.
Acesta va fi și rezultatul calculului.
Acum să ne uităm la aceste sume și să încercăm să deducem iarăși o regulă generală de calcul pentru adunarea numerelor cu semne diferite.
Referitor la semnul rezultatului, putem observa că suma are semnul numărului cu modulul mai mare.
Dintre numerele plus 5 și minus 2, cel cu modulul mai mare este plus 5, așadar semnul rezultatului va fi semnul acestui număr, deci plus.
La fel și aici, dintre numerele minus 6 și plus 4, cel cu modulul mai mare este minus 6, așadar rezultatul va avea semnul minus.
Acum să vedem cum se calculează modulul rezultatului.
Observăm că modulul acestei sume este diferența modulelor celor doi termeni, pentru că 5 minus 2 ne dă 3.
La fel și aici, 6 minus 4 ne dă 2.
În concluzie, putem preciza următoarea regulă.
Pentru a aduna două numere întregi cu semne diferite, se scad modulele lor, iar suma va avea semnul numărului cu modulul mai mare.
Trecem în continuare la scăderea numerelor întregi.
Să presupunem că avem acest exercițiu 5 minus 3 și nu cunoaștem rezultatul acestuia.
Să notăm rezultatul cu x.
Scăderea este operația inversă a adunării, așadar x adunat cu 3 trebuie să ne dea 5.
Care este numărul care adunat cu 3 ne dă 5?
Evident, acesta este 2.
Acum să luăm un alt exemplu, dacă avem minus 7 minus plus 3.
Nu știm încă să efectuăm scăderea numerelor întregi, așa că notăm rezultatul acestui calcul cu x.
Dar x adunat cu numărul plus 3 trebuie să ne dea minus 7, după modelul anterior.
Noi știm să adunăm numerele întregi, așa că ne putem gândi care este numărul care adunat cu plus 3 să ne dea minus 7.
Acesta este minus 10, pentru că minus 10 plus plus 3 ne dă minus 7.
Așadar, iată, x este egal cu minus 10.
Deci rezultatul acestei scăderi, minus 7 minus plus 3, este egal cu minus 10.
Însă, minus 7 plus minus 3 ne dă tot minus 10, pentru că se adună modulele lor, iar rezultatul are semnul comun.
Și atunci, din aceste două relații, putem trage concluzia că minus 7 minus plus 3 este același lucru cu minus 7 adunat cu minus 3.
Dar numerele plus 3 și minus 3 sunt numere întregi opuse, așadar putem spune că scăderea unui număr întreg este echivalentă cu adunarea opusului acelui număr.
Și atunci să mai vedem câteva exemple.
Dacă avem plus 8 minus minus 6.
Trebuie să adunăm la descăzut opusul scăzătorului.
Deci o să avem plus 8 adunat cu opusul numărului minus 6, deci cu 6.
Plus 8 și cu plus 6 este plus 14.
Un alt exemplu, plus 9 minus minus 3.
Procedăm la fel, la descăzut, adică la numărul 9 adunăm opusul scăzătorului.
9 plus 3 este egal cu 12.
Minus 6 minus plus 2.
La descăzut adunăm opusul numărului plus 2, deci adunăm minus 2.
Minus 6 adunat cu minus 2 ne dă minus 8.
Așadar să reținem că scăderea unui număr întreg este echivalentă cu adunarea opusului acelui număr.
O mică observație ar vrea să mai facem.
Dacă ne uităm aici, observăm că minus minus s-a transformat în plus.
Așadar într-un exercițiu, dacă vedem semnul minus de două ori, putem să scriem direct plus.
În continuare vom face un exercițiu.
Avem acest exercițiu pentru care o să redactez rezolvarea în două moduri.
Plus 5 minus plus 7 plus minus 11 minus minus 9 plus plus 3.
Scăderea numărului plus 7 înseamnă adunarea opusului acestui număr.
Așadar la numărul plus 5 trebuie să adunăm opusul numărului plus 7, minus 7.
Îl copiem pe minus 11.
Aici avem minus minus, putem să scriem direct plus 9 și plus 3, egal.
Adunarea numerelor întregi ca și adunarea numerelor naturale este asociativă, comutativă, iar zero este element neutru.
Din moment ce adunarea este asociativă, putem să adunăm primii doi termeni, următorii doi termeni și la final să-l adunăm pe 3.
Plus 5 adunat cu minus 7 este minus 2, plus.
Minus 11 adunat cu 9 este minus 2 și mai trebuie să-l adunăm pe 3, egal.
Paranteza rotundă este obligatorie atunci când avem două semne alăturate.
Din acest motiv l-am pus pe minus 2 într-o paranteză pentru că aici aveam un plus în fața acestuia,
pe când în cazul primului termen minus 2 nu aveam alt semn în fața lui, de aceea în această situație nu este obligatorie paranteza.
Deci rețineți că folosim paranteze rotunde atunci când avem două semne alăturate, ca să nu confundăm semnul operației cu semnul numărului întreg.
Acum minus 2 adunat cu minus 2 ne dă minus 4, plus 3 și obținem rezultatul minus 1.
Și acum o altă variantă de a redacta rezolvarea acestui exercițiu.
Pentru a simplifica scrierea nu vom mai pune semnul plus în fața numerelor întregi.
Și avem 5, minus 7, minus 11, putem să renunțăm și la acest plus, minus minus 9 este plus 9 și plus 3, egal.
Acum avem 5, minus 7. Noi trebuie să știm că 5, minus 7 înseamnă de fapt 5 adunat cu minus 7, pentru că scăderea este echivalentă cu adunarea opusului.
Deci 5 adunat cu minus 7 ne dă minus 2.
Apoi îl copiem pe minus 11 și aici putem să facem 9 plus 3 ne dă 12, egal.
Minus 2, minus 11 înseamnă minus 2 adunat cu minus 11, iar rezultatul este minus 13, plus 12.
Acum adunăm două numere cu semne diferite, scădem modulele lor, iar rezultatul are semnul numărului cu modulul mai mare, deci minus.