Transcript: Operații cu mulțimi- reuniune, intersecție, diferență

Să vedem acum ce operații putem să facem cu mulțimi, și o să vedeți că vom avea trei tipuri de operații posibile.
Și să începem cu un exemplu simplu, avem mulțimea mare, formată din elementele 2, 1 și 4, și mulțimea B mare, formată din elementele 1, 5, 4 și 8.
Și haideți să facem și diagrama, deci aici vom nota elementele mulțimii A mare, 2, 1 și 4, și aici elementele mulțimii B mare, și avem așa 1,
bun, însă 1 deja l-am trecut, deci 1 trebuie să facă parte și din mulțimea B mare, 5, 4, 4 este și aici, deci nu mai scriem, și 8.
Deci așa asta e ce am în circuit, mulțimea A mare și mulțimea B mare este aceasta.
Bun, prima operație pe care o discutăm este reuniunea a două mulțimii.
Reuniunea se notează cu acest semn, este un, arată ca un U, aici vom scrie prima mulțime, de exemplu mulțimea A mare,
și aici cea de-a doua mulțime, mulțimea B mare și citim A reunit cu B.
Ce înseamnă reuniunea a două mulțimi? Este tot o mulțime care conține toate elementele mulțimii A și toate elementele mulțimii B.
Deci mai întâi, haideți să scriem elementele din mulțimea A, fiind o mulțime trecem acolo și avem 2, 1 și 4.
Am scris elementele mulțimii A și acum trebuie să scriem elementele din mulțimea B și avem 1,
păi e corect să scriem așa? De ce nu este bine?
Pentru că am spus că A reunit cu B este o mulțime și noi știm că într-o mulțime elementele trebuie să fie cum?
Distincte, adică diferite. Deci odată ce l-am pe 1 aici nu îl vom mai trece încă o dată.
5, 4, 4 deja este nu îl mai scriem și 8.
Deci am obținut elementele 2, 1, 4, 5 și 8.
Acum, dacă ne uităm pe diagramă, mulțimea A reunit cu B este de fapt această mulțime pe care o reprezentăm cu galben.
Deci ce am obținut aici este mulțimea A reunit cu B, adică am trecut de fapt toate aceste elemente având grijă să fie scrise fiecare o singură dată.
Dacă trecem B reunit cu A, credeți că este același lucru? Sigur, fie A reunit cu B, fie B reunit cu A ne va da aceeași mulțime.
Următoarea operație este intersecția a două mulțimii.
Intersecția se notează cu un U întors, deci acest semn și trecem aici mulțimea A și mulțimea B.
Ce am obținut? Citim A intersectat cu B și aceasta este tot o mulțime care, atenție, conține doar elementele comune celor două mulțimii.
Elementele comune se pot observa foarte ușor pe diagramă. Care sunt elementele care sunt și în mulțimea A și în mulțimea B?
Chiar acestea sunt cuprinse în ambele diagrame.
Ce avem aici reprezintă intersecția mulțimii A cu mulțimea B, intersecția celor două mulțimi.
Deci venim și notăm, avem elementele 1 și 4.
Nu e neapărat nevoie să facem diagrame când calculăm intersecția sau reuniunea mulțimilor.
Putem să observăm intersecția celor două mulțimi și de aici.
Mulțimea A conține elementul 2. 2 nu îl regăsim aici, însă 1 îl regăsim la fel și pe 4.
Deci singurele elemente comune celor două mulțimi sunt acestea două, 1 și 4.
Dacă facem invers B intersectat cu A, vom obține aceeași mulțime? Sigur, vom avea tot așa elementele 1 și 4.
Acum, să știți că există și mulțimi care nu au elemente comune.
De exemplu, mulțimea C formată din elementele 1 și 2 și mulțimea D formată din elementele 3 și 4.
Dacă ar fi să le reprezentăm cu ajutorul diagramelor, aici avem mulțimea C și aceasta este mulțimea D care are elementele 3 și 4.
Avem elemente comune? Nu.
Însă, aceasta nu ne împiedică să facem intersecția acestor două mulțimi.
C intersectat cu D.
Ce obținem este tot o mulțime, însă ea nu are niciun element pentru că nu există elemente care să fie și în C și în D.
Deci, intersecția lor este mulțimea vidă.
Asemenea, mulțimi care au intersecția mulțimea vidă se numesc mulțimi disjuncte.
Deci, mulțimi a căror intersecție este mulțimea vidă.
Următoarea operație.
Diferența a două mulțimi.
Semnul pe care îl folosim pentru diferență este acesta sau pur și simplu un minus.
Și avem aici A minus B sau această notație A minus B.
Voi folosi prima notație.
Și acum, ce este diferența a două mulțimi?
Obținem tot o mulțime care are doar elementele mulțimii A și nu are elemente din mulțimea B.
Deci, sunt doar acele elemente care sunt în A și nu sunt în B.
E ușor să le găsim pe diagramă.
Toate elementele care sunt în mulțimea A și nu sunt conținute în B.
Avem doar unul singur, numărul 2.
Asta înseamnă că este mulțimea formată din elementul 2.
Dacă facem invers, adică B minus A, vom obține același lucru, adică tot mulțimea formată din elementul 2.
Hai să ne uităm puțin.
Dacă din B scoatem toate elementele care sunt în A, adică toate acestea, ce ne rămân?
Doar elementele 5 și 8.
Asta înseamnă, de fapt, B minus A. Aceasta este mulțimea formată din aceste două elemente.
Haideți să reținem că dacă în cazul reuniunii A reunit cu B este același lucru cu B reunit cu A,
în cazul intersecției A intersectat cu B este același lucru cu B intersectat cu A,
deci putem să schimbăm fără problemă locul mulțimilor,
A minus B în cazul diferenței A minus B este diferit de B minus A.
E clar că obținem mulțimi diferite.
Haideți să facem o recapitulare.
Reuniunea a două mulțimii.
Avem aici exemplul făcut A reunit cu B.
De fapt, la modul general vorbind, când avem două mulțimii oarecare,
le notez tot A și B, dar ele sunt mulțimii oarecare, nu neapărat acestea notate de noi sus,
atunci ce înseamnă A reunit cu B?
Păi este tot o mulțime formată din elementele X cu ce proprietate?
Păi aici ce am avut? Elementele care erau din mulțimea A sau din mulțimea B și le-am pus pe toate la un loc.
Deci este formată din elementele X cu proprietatea că X aparține mulțimii A sau X face parte din mulțimea B, deci aparține mulțimii B.
Intersecția a două mulțimii.
Dacă avem din nou două mulțimii oarecare pe care le notăm tot așa A și B,
A intersectat cu B este tot o mulțime formată din ce elemente?
Elementele X cu ce proprietate?
Păi iată, am avut aici doar elementele comune care erau și în A și în B.
Deci X cu proprietatea că X aparține mulțimii A, atenție și, deci trebuie neapărat să trecem și, X aparține mulțimii B.
Aici am avut sau pentru că elementele erau fie din A fie din B.
Aici trebuie să fie din ambele mulțimi, și din A și din B.
Diferența, dacă avem tot așa două mulțimii,
A minus B este o mulțime care conține acele elemente X cu ce proprietate?
Cu proprietatea că, iată, X aparține doar mulțimii A, dar nu aparține și mulțimii B.
Deci, X face parte din A și X în același timp nu trebuie să facă parte din mulțimea B.
Și acum, haideți să facem un exercițiu, să facem toate aceste operații.
Și avem mulțimea A mare, reprezentată de acele elemente X, cu proprietatea că X este număr par și X este mai mic sau egal cu 8.
Și avem și mulțimea B, care este formată din elementele X, cu proprietatea că X este număr natural.
Deci, notăm că X aparține mulțimii numerelor naturale și 2 este mai mic sau egal cu X și strict mai mic decât 6.
Acum, pentru a face operațiile învățate cu aceste două mulțimii, mai întâi trebuie să enumerăm elementele fiecarei mulțimii în parte.
Ne ocupăm de mulțimea A.
Care sunt acele numere, pare, mai mici sau egale cu 8?
Începem de la 0, urmează 2, 4, 6, îl trecem și pe 8, pentru că avem aici mai mic sau egal, și 8, acesta e ultimul.
Pentru mulțimea B.
Căutăm numerele naturale, care sunt cum?
Vedem că X este mai mare sau egal cu 2 și este strict mai mic decât 6.
Deci, pornim de la 2, pentru că avem mai mare sau egal, urmează 3, 4, numărul 5 verifică și el această relație și îl mai trecem și pe 6?
Nu, pentru că avem X este strict mai mic decât 6, deci mergem până la 5.
Și acum, haideți să facem reuniunea acestor două mulțimii.
A reunit cu B.
Ce vom obține? O nouă mulțime care conține, atenție, elementele mulțimii A și ale mulțimii B puse la un loc.
Și trebuie să avem grijă ca fiecare element să fie scris o singură dată.
Asta înseamnă mulțime.
Descriem elementele din mulțimea A și avem 0, 2, 4, 6 și 8.
Tot ce am avut aici a fost în mulțimea A.
Urmează apoi să trecem elementele din mulțimea B.
2, însă nu îl mai trecem pentru că deja îl avem.
3, observăm că 3 nu este, deci îl trecem.
4 este deja și 5.
Și ce am obținut aici, această mulțime, este reuniunea mulțimilor A și B.
Intersecția lor. A intersectat cu B.
Vom alege acum doar elementele comune celor două mulțime.
Deci doar acele elemente care sunt și în A și în B.
Păi haideți să vedem.
0 este în A, dar nu este în B.
2 este în A, este și în B.
4, la fel și atât.
Deci vom avea 2 și 4.
Deci doar aceste două elemente.
Diferența. Facem mai întâi diferența A minus B.
Căutăm, prin urmare, acele elemente care sunt în mulțimea A și, atenție, nu sunt în mulțimea B.
0 este în A, este și în B? Nu. Deci putem să îl trecem. 0.
2 este în mulțimea A, este și în B. Nu e bun.
4, la fel, este și în B. Nu e bun nici el.
6 este în A și nu este în B.
8 este în această mulțime și nu este în B.
Deci îl trecem și pe 8.
B minus A.
Vom căuta acum acele elemente care sunt în mulțimea B și nu sunt în mulțimea A.
2 este și în A. Avem 3 și 5.
Doar acestea două sunt în B și nu în A.
3 și 5.
Și atunci am încheiat. Am făcut și reuniunea, și intersecția, și diferența acestor mulțimi.