Transcript: Numere complexe (noțiuni introductive)

În această lecție ne vom opri asupra numerelor complexe. Astfel, prin introducerea numerilor reale, se pot exprima rezultatele oricăror măsurători, dar problema soluțiilor de orice tip cu coeficienți reali nu este rezolvat.
Afirmația de mai sus este fundamentată pe situații clar întâlnite, situații în care rezolvarea unor ecuații simple nu au avut soluții determinate, deoarece întâlneam situația, nu avem soluții reale.
Cel mai bun exemplu sunt ecuațiile de gradul al doilea, ecuații la care, în momentul în care ne propuneam să determinăm soluții și găseam delta negativ, afirmam într-adevăr că soluțiile nu sunt reale.
În această situație se pune problema necesității extinderii noțiunii de număr, extindere ce presupune un număr care nu este doar un număr real, ci el poate să fie exprimat într-o altă manieră, o să vedeți, mai largă, mai vastă, aceea de număr complex.
Așa, după cum am acceptat ideea apartenenței numelor reale la mulțimea numelor reale, vom accepta, în continuare, ideea apartenenței numelor complexe la mulțimea numelor complexe.
Este important, înainte de toate, să înțelegem că numele complexe nu sunt rezultatul unor măsurători, ca în cazul numelor reali.
Acest fapt atrage de la sine o abstractizare, o tratare mai mult formală a teoriei numelor complexe.
În pofida acestui graț de abstractizare a noțiunilor, teoria numelor complexe are un foarte înalt graț de utilitate în aplicațiile practice întâlnite în mecanică, fizică, electrotehnică și altele.
Definirea numelor complexe
Fie produsul cartezian R or R, deci mulțimea numelor reale mulțită produs cartezian cu mulțimea numelor reale, definită de mulțimea perechilor AB cu A, respectiv B, din R.
Deci, practic, primul A este din primul R, B-ul este din al doilea R.
Spunem astfel, mulțimea perechilor ordonate de numere reale.
Este important să precizez că AB, ca și pereche, este egal cu A'B' dacă A egal cu A', respectiv B egal cu B', în aceste condiții câteva exemple.
Dacă vin și spun 2 aparține lui R, 1 aparține lui R, înțeleg că perechea 2-1 aparține lui R or R.
Astfel, în mulțimea numelor reale am axa numelor reale, axă pe care putem să reprezentăm oricare din aceste numere reale.
De pildă, 2-ul, 1-3, 3.
În momentul în care facem produsul cartezian R or R, apare așa numitul sistem de axe X, O, Y.
Astfel, prima axă reală este cea aferentă primului R din produsul cartezian.
Cea de-a doua axă reală este aferentă celui de-a doilea R din produsul cartezian.
Pe prima axă reprezint elemente reale, pe a doua axă, în egală măsură, elemente reale.
Ați auzit cu siguranță de ideea de sistem cartezian X, O, Y.
Astfel, acesta este X-ul pe care îl știm, 0, Y-ul pe care îl știm.
Astfel, minus 3, 3 este un punct din sistemul cartezian X, O, Y
care, în egală măsură, aparține produsului cartezian R or R
și, mai mult decât atât, se reprezintă ca perechea ordonată de numere reale minus 3, 3.
La fel, 2 și 1.
Iar perechea 2, 1 aparține lui R or R.
Respectiv, 1, minus 3.
Perechea ordonată 1, minus 3 aparține produsului cartezian R or R.
În continuare, pe mulțimea erroreri se defineză o operație algeblică.
Adunarea perechilor ordonate de numere reale, respectiv înmulțirea perechilor ordonate de numere reale.
Astfel că, pentru Z egal cu perechea ordonată AB și Z' egal cu perechea ordonată CD
cu Z, respectiv Z' din produsul cartezian R or R,
vom face adunarea Z plus Z' ca fiind AB, perechea ordonată AB, plus perechea ordonată CD
și care are drept rezultat A plus C, deci prima poziție cu prima poziție,
respectiv a doua poziție a perechii rezultat, perechii ordonate rezultat al adunării, B plus D.
Atunci când ne propunem să facem înmulțirea perechilor ordonate de numere reale,
AB, perechea AB înmulțită cu perechea CD, avem drept rezultat AC minus BD,
pe prima poziție, respectiv AD plus BQ.
Pentru o lămurire mai exactă a acestor noțiuni, o să dau câteva exemple.
Astfel, adunarea perechii ordonate 3-2 cu perechea ordonată minus 1-3, am lămurit A plus C,
A este 3, C este minus 1, astfel 3 plus minus 1, respectiv a doua poziție a perechii ordonate,
este 2 plus 3, astfel rezultatul sumei perechilor ordonate 3-2 cu minus 1-3 este 2-5, perechea ordonată 2-5.
Dacă dorim să le înmulțim, formula în față, avem 3 înmulțit cu minus 1,
minus, spune formula, 2 înmulțit cu 3, prima poziție, a doua poziție a perechii ordonate va fi AD,
AD însemnând 3 înmulțit cu 3 plus BQ, adică 2 înmulțit cu minus 1, astfel minus 3 minus 6,
respectiv 9 și minus 2, rezultatul final fiind minus 9, respectiv 7.
Până la treilea exemplu, tot pentru adunare în cazul ăsta, 2 și minus 1, perechea ordonată 2-1,
adunată cu perechea ordonată minus 3-1, 2-3, respectiv minus 1 plus 1, astfel obținem
perechea ordonată minus 1-0. Produsul acestor două pereche ordonate, după formula mai sus menționată,
A2 ori C ori minus 3 minus B minus 1 ori D 1, respectiv 2A ori 1D plus minus 1 ori minus 3, minus 5, 5.
Definiții. Fiecare element al mulțimii R ori R, deci produsului cartezian R or R, pe care
sunt definite operațiile algeplice prezentate mai sus, practic adunarea respectiv înmulțirea,
se numește număr complex. Se notează cu C, va arat, mulțimea numelor complexe și practic
C-ul este produsul cartezian R or R, unde C reprezintă mulțimea elementelor Z în care, sau cu
proprietatea, că Z este perechea ordonată AB cu A, respectiv B, aparținând numelelor reale.
În particular, numerele complexe 00 și 10 sunt, de fapt, numere reale 0, respectiv 1. Astfel, 00 este punctul O,
10 este punctul A. Dacă mi-aș propune, nu știu, 30 este punctul B, respectiv minus 20 este punctul D.
Toate acestea sunt numerele reale aflate pe axa reală, reamintem că asta este o axă reală,
practic OX-ul, deci sunt numere reale de formă 00-0, 10 practic e numărul real 1, 30 numărul real 3,
respectiv minus 20 numărul real minus 2. Astfel, orice element de formă A0 este, de fapt,
numărul real A. Adunarea a două numere reale, dar scrise ca perechi din C, din mulțimea
numelor complexe, se rezumă la a aduna, practic, perechea A0 cu perechea B0, unde A0, am lămurit,
este numărul real A, respectiv B0 este numărul real B, este egală cu A plus B, respectiv 0 plus 0,
practic, A plus B și 0. A plus B, e clar că discutăm despre număr real. În mulțirea,
același principiu, după formula noastră, mai sus comentată, AB ar fi 00 minus, respectiv A0 și B0,
practic AB, AB fiind acel număr real de care comentam. În continuare vom discuta despre
proprietăți importante ale operațiilor algebrice cu numere complexe. Astfel, elementul neutru pentru
adunare este 0, scris ca perechea 00 din numere complexe, mulțimea numelor complexe. Astfel,
pentru CZ din mulțimea numelor complexe, numărul complex AB sau perechea AB cu A și B a
paținului R va fi adunat cu acest 0, element neutru. Z plus 0 este, de fapt, perechea AB plus 0,
care este 00 ca și pereche ordonată, cunoaștem ca A plus 0, B plus 0, respectiv AB, dar AB este chiar Z.
Înțeleg de aici că Z plus 0 este Z, deci element neutru pentru adunare, întrucât adunarea acestuia la
orice număr complex are ca rezultat acel număr complex. Element opus sau opusul, minus Z, minus Z
însemnând minus A minus B pereche ordonate. Astfel, pentru CZ din C de formă Z perechea ordonată AB
cu A și B reale, Z plus minus Z, plus opusul, este egal cu perechea AB plus perechea minus A minus B.
Astfel, A minus A, respectiv B minus B. Practic, rezultatul 00, adică acel 0,
elementul neutru determinat mai sus. Elementul neutru pentru înmulțire este 1. 1 definit ca fiind
perechea ordonată 1, 0. Oricare ar fi Z aparținându-i C cu Z, egal cu AB pereche ordonată cu A și B
aparținându-i R, Z înmulțit, vedeți, de data asta e pentru înmulțire, ca și operația angeblică,
astfel, Z înmulțit cu 1 este perechea AB înmulțită cu 1, adică perechea ordonată 1, 0,
conform formulei mai sus comentate, A înmulțit cu 1, minus B înmulțit cu 0, respectiv A înmulțit cu 0,
plus B înmulțit cu 1. Astfel, rezultatul obținut este AB. AB fiind numărul Z, numărul complex Z,
de la care am plecat. Elementul invers, sau inversul îi spunem, este acela în care Z înmulțit cu Z
minus 1 ar fi egal cu Z la minus 1 ori Z și egal cu 1, 1 fiind elementul neutru pentru înmulțire. Practic,
Z egal cu AB, Z la minus 1 ar fi un XY ca pereche ordonată cu ABX respectiv Y real.
Avem Z ori Z la minus 1 egal cu AB pereche ordonată înmulțită cu XY pereche ordonată,
conform formulei de înmulțire este egal cu AX minus BY respectiv AY plus BX,
cum Z ori Z la minus 1 conform proprietății de element inversabil sau invers, trebuie să aibă rezultat 1,
deci 1, 0. Înțeleg de fapt că AX minus BY ar trebui să fie egal cu 1, deci prima poziție cu prima
poziție, respectiv AY plus BX trebuie să fie egal cu 0. Obținem astfel un sistem, sistem cu două equații
respectiv, două necunoscute, din care se obține valoarea lui X ca fiind A supra A pătrat plus B pătrat.
Prin înlocuirea lui X în cea de-a doua ecuație a sistemului, obținem că Y este egal cu minus B
supra A pătrat plus B pătrat, pur și simplu X-ul se înlocuiește în ecuația 2. Astfel, prin determinarea
lui X, respectiv Y, înțelegem de fapt că am determinat elementul invers sau inversul unui număr complex
de formă AB, pereche ordonate AB. Deci, dacă Z aparține lui C și el este definit ca pereche ordonată
AB, cu Z evident diferit de 0, atunci Z la minus 1 sau inversul lui Z este perechea ordonată A
supra A pătrat plus B pătrat și minus B supra A pătrat plus B pătrat.