Transcript: Numărul e - noțiuni introductive

În acest videoclip voi vorbi despre numărul e, una dintre cele mai importante constante matematice.
Constanta matematică este o cantitate care apare în mod natural în matematică și nu se modifică.
Spre deosebire de constantele fizice, cele matematice sunt definite independent de orice măsură fizică.
Constantele matematice sunt cele mai importante dintre constante, iar între constantele matematice cele mai cunoscute, alături de pi și raportul de aur, este e.
E este un număr irrațional, adică este un număr real care nu se poate scrie ca raport de numere întregi, transcendent, adică nu poate fi o soluție a unei ecuații algebrice cu coeficienți raționali.
Numerele transcendente bine cunoscute sunt pi și e.
Deoarece e este un număr transcendent, irrațional, valoarea sa nu poate fi dată cu un număr finit de decimale, nici măcar cu perioadă.
O valoare aproximativă cu 20 de decimale exacte este 2,71828182845904523536
și urmează o infinitate de cifre care nu se repetă după un anumit tipar.
Dacă celelalte constante matematice importante sunt definite cu ajutorul geometriei,
de exemplu pi este raportul dintre lungimea cercului și diametru,
și în general aceste constante matematice definite cu ajutorul geometriei se cunosc încă de pe vremea grecilor antici,
e este o constantă diferită.
E nu are de-a face cu geometria, nu se bazează pe forme geometrice.
Ea este o constantă matematică care are legătură cu procesele de creștere și cu rata schimbării.
De ce spun asta?
Să ne uităm la problema în care E a apărut pentru prima oară.
Călătorim în timp până în secolul al XVII-lea, când Iacob Bernuli era interesat de dobânda compusă,
adică de banii câștigați din dobândi.
Să ne imaginăm că am un leu la bancă
și că banca mea este atât de generoasă încât oferă o dobândă de 100% pe an.
La finalul primului an aș avea doi lei, leul pe care îl aveam inițial în bancă și dobânda de 100%, adică încă un leu.
Dar oare aș câștiga mai mult dacă banca ar da 50% dobândă la șase luni
și dobânda ar fi cu capitalizare, adică aș avea dobândă compusă?
După șase luni suma din bancă ar fi leul inițial plus 50% dintr-un leu,
adică 1 plus 1 supra 2, care este 1,50 lei.
Și după încă șase luni aș avea 1,50 lei plus 50% din 1,50,
adică 1,50 plus 1 supra 2 ori 1,50,
adică 1,50 plus 0,75,
deci în acest caz aș câștiga 25 de bani pentru că la finalul primului an aș avea în bancă 2,25 lei.
Am să rescriu acum acest calcul pe care l-am făcut pentru determinarea sumei la finalul anului,
pentru ca să vedem dacă găsim o regulă de scriere a sumei obținută dacă se dă dobândă compusă.
1,50 lei provine din 1 plus 50 pe 100 ori 1,
ceea ce înseamnă 1 plus 1 supra 2,
la care adaug 0,75,
care de fapt este 50 pe 100 din 1,50,
adică 1 plus 1 supra 2 ori 1 supra 2.
Îl dau factor pe 1 plus 1 supra 2
și atunci de aici ne rămâne 1 și din celălalt termen al sumei 1 supra 2,
adică voi avea pe lângă 1 plus 1 supra 2
și este egal cu 1 plus 1 supra 2 la a doua.
Adică dacă depun la bancă 1 leu și împart anul în două părți egale,
atunci suma de la finalul anului este 1 plus 1 supra 2
la puterea a doua, adică 2,25,
dacă dobânda anuală este 100% și se capitalizează dobânda.
Dar dacă capitalizez dobânda la finalul fiecărei luni,
adică eu depun tot 1 leu și fiindcă sunt 12 luni pe an,
banca oferă o 12-ime din dobândă în fiecare lună și dobânda se capitalizează,
adică primesc dobândă din dobândă, câștig mai mult.
Să ne gândim, la finalul primei luni voi avea leul inițial plus dobânda 1 pe 12 ori suma inițială, adică 1 leu,
ceea ce înseamnă suma inițială ori 1 plus 1 pe 12.
La finalul celei de-a doua luni,
voi avea suma de la începutul lunii a doua, adică cea de la finalul primei luni,
care este 1 plus 1 supra 12,
pe care va trebui să o înmulțesc tot cu acest factor 1 plus 1 pe 12,
pentru că este suma plus dobânda aplicată la sumă,
adică va fi 1 plus 1 pe 12 la pătrat.
La finalul celei de-a treia luni,
voi avea 1 plus 1 pe 12 la a treia,
la finalul celei de-a patra luni,
voi avea 1 plus 1 pe 12 la a patra,
și tot așa până la finalul ultimei luni din an,
când suma din bancă va fi 1 plus 1 pe 12 la puterea a 12-a.
Și după ce fac calculul, obțin că la finalul anului am în bancă 2,61 lei.
Deci câștig mai mult.
De fapt, dacă deciz să capitalizez dobânda de mai multe ori pe an, câștigul este mai mare.
Dacă depun un leu la bancă și capitalizez dobânda în fiecare săptămână,
de data aceasta dobânda va fi de 1 supra 52 pe săptămână,
pentru că într-un an avem 52 de săptămâni,
și la finalul anului voi avea în bancă 1 plus 1 pe 52 la puterea 52,
adică 2,69 lei.
Dacă calculez suma din bancă în condițiile în care capitalizez dobânda zilnic,
atunci la finalul anului voi avea 1 plus 1 supra 365 la puterea 365,
adică 2,71 lei.
Adică cu 2 bani mai mult decât dacă am capitalizat-o săptămânal.
Se observă o regulă.
Dacă eu am un leu în bancă și împart anul în N părți egale,
atunci suma din bancă de la finalul anului va fi 1 plus 1 supra N la puterea N.
Dacă tot am observat această regulă,
aș putea calcula cu ușurință care este suma pe care aș avea o bancă
dacă aș capitaliza dobânda la fiecare minut sau la fiecare secundă sau la fiecare nanosecundă.
Nu ar trebui decât să știu câte minute, secunde sau nanosecunde sunt într-un an.
Dar dacă aș putea capitaliza dobânda continuu, adică în fiecare clipă aș câștiga dobândă la dobândă,
asta ar însemna că numărul de părți în care ar trebui să împart anul ar fi o infinitate.
Și atunci, pentru a ști ce sumă aș avea la finalul anului în bancă,
ar trebui să calculez limita când întind de la infinit din 1 plus 1 pe N la puterea N.
Ce valoare are limita asta?
Bernoulli nu a reușit să o calculeze și a dat seama că este o valoare între 2 și 3,
dar nu a reușit să o determine.
50 de ani mai târziu, Euler a aflat valoarea limitei.
Și anume, limita acestui șir este 2,71828182845904523536 și așa mai departe.
Euler a numit acest număr E.
Nu se cunosc exact motivele care au stat în spatele alegerii literei E pentru acest număr.
Ar putea fi că este prima literă a cuvântului exponențial.
O altă posibilitate ar fi că Euler a folosit-o pentru că era prima vocală după A pe care o folosise deja la un alt număr.
Motivul pentru care folosea vocale în notații nu este cunoscut.
Nu se crede că Euler ar fi ales litera E pentru că este inițiala numelui său,
deoarece el era un om modest care avea grijă să acorde credit muncii altora.
Numele matematicianului elvețian Leonard Euler, născut în 15 aprilie 1707 și decedat în 18 septembrie 1783, este foarte legat de numărul E.
Euler a calculat valoarea lui E, determinând primele 18 cifre de după virgulă,
folosind formula E egal cu 1 plus 1 supra 1 factorial plus 1 supra 2 factorial plus 1 supra 3 factorial plus puncte puncte puncte plus 1 supra n factorial plus puncte puncte puncte.
Euler a demonstrat că E este un număr iracional, scriindu-l ca o fracție infinită.
Euler a descoperit una din cele mai frumoase identități matematice, E la i pi plus 1 egal cu 0, identitate care se mai numește și identitatea lui Euler.
Cu această identitate, Euler a stabilit o relație între 5 din cele mai importante numere ale matematicii, E, I, pi, 1 și 0.
Nu este de mirare că numărul E este deseor numit numărul lui Euler.