Transcript: Numărul e - Limita șirului E(n)

În primul videoclip din cadrul acestei lecții spuneam că Euler a arătat că e este egal cu sumă infinită 1 plus 1 supra 1 factorial plus 1 supra 2 factorial plus puncte puncte puncte plus 1 supra n factorial plus puncte puncte puncte.
El a și calculat primele 18 cifre după virgulă ale lui E folosindu-se de această definiție a numărului E.
În cadrul acestui videoclip voi demonstra că șirul EN egal cu 1 plus 1 supra 1 factorial plus 1 supra 2 factorial plus puncte puncte puncte plus 1 supra n factorial are limita E.
Pentru aceasta vom începe prin a demonstra convergența șirului E mare N, demonstrând că șirul este monoton crescător și mărginit superior.
Pentru a demonstra monotonia șirului vom efectua diferența dintre doi termeni consecutivi adică EN plus 1 minus EN.
EN plus 1 este 1 plus 1 supra 1 factorial plus 1 supra 2 factorial plus puncte puncte puncte plus 1 supra n factorial plus 1 supra n plus 1 factorial.
Deci mergem cu suma acestor termeni până la 1 supra n plus 1 factorial și apoi scădem EN adică minus 1 minus 1 supra 1 factorial minus 1 supra 2 factorial minus puncte puncte puncte minus 1 supra n factorial.
1 și cu minus 1 se reduc, 1 supra 1 factorial cu minus 1 supra 1 factorial se reduc și așa mai departe.
Și constatăm că de fapt diferența aceasta este egală cu 1 supra n plus 1 factorial, care este mai mare ca 0.
Rezulta că EN plus 1 minus EN este mai mare decât 0 pentru orice n din n-stelat, adică EN plus 1 este mai mare decât EN pentru orice n din n-stelat.
Adică șirul EN este un șir strict crescător.
Pentru a demonstra faptul că EN este un șir mărginit superior, mă voi folosi de una din relațiile de inegalitate pe care am folosit-o și în a arăta mărginirea șirului 1 plus 1 pe n la puterea n,
și anume n factorial mai mare sau egal cu 2 la n minus 1 pentru orice n din n-stelat. Această inegalitate se poate demonstra cu ajutorul inducției matematice.
Pentru că n factorial este mai mare sau egal cu 2 la n minus 1 pentru orice n din n-stelat, rezultă că 1 supra n factorial este mai mic sau egal decât 1 supra 2 la n minus 1 pentru orice n natural mai mare sau egal cu 1.
Voi folosi această relație de inegalitate pentru toți termenii începând de la al treilea, adică 1 plus 1 supra 1 factorial plus 1 supra 2 factorial plus puncte puncte puncte plus 1 supra n factorial va fi mai mic sau egal cu
pe primul 1 îl copiez, 1 supra 1 factorial este tot 1, dar de la termenul 1 supra 2 factorial mă folosesc de inegalitate, de aceea am pus aici mai mic sau egal, 1 supra 2 factorial va fi mai mic sau egal decât 1 supra 2 la puterea 2 minus 1, adică 1 pe 2.
Și așa mai departe, 1 supra n factorial este mai mic sau egal cu 1 supra 2 la puterea n minus 1.
În cadrul acestei sume, începând de la al doilea termen, avem suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice de rație 1 pe 2 și cu primul termen egal cu 1, deci b1 este 1, q este egal cu 1 pe 2
și avem n termeni în această sumă.
Ne folosim de formula sumei primilor n termeni ai unei progresii geometrice, am scris-o aici, SN egal cu b1 pe lângă 1 minus q la puterea n supra 1 minus q, înseamnă că 1 plus 1 pe 2 plus puncte puncte puncte plus 1 supra 2 la n minus 1 este egal cu 1 pe lângă 1 minus 1 pe 2 la puterea n.
Totul supra 1 minus 1 pe 2.
Cum numitorul acestei fracții este 1 pe 2, dacă facem calculele, obținem 1 plus 2 ori 1 minus 1 supra 2 la puterea n.
Înmulțim 2 cu fiecare termen din paranteză și obținem 1 plus 2 minus 1 supra 2 la puterea n minus 1, care este egal cu 3 minus 1 supra 2 la n minus 1 și pentru că 1 supra 2 la n minus 1 este mai mare decât 0, 3 minus 1 supra 2 la puterea n minus 1 este mai mic decât 3.
Am arătat de fapt că EN este mai mic sau egal cu 3 pentru orice n din n stelat.
Adică am arătat că EN este un șir mărginit superior.
Am arătat că EN este un șir stric crescător și mărginit superior, deci pe baza proprietății lui Weierstrass rezultă că EN este un șir convergent.
Să vedem acum cum putem determina limita acestui șir.
Pentru a determina limita șirului EN mă folosesc de un rezultat pe care l-am demonstrat atunci când am demonstrat teorema lui Daniel Bernoulli, adică teorema care ne spunea că șirul 1 plus 1 pe n la puterea n este un șir convergent.
Această demonstrație o găsiți în cadrul celui de-al doilea videoclip din cadrul acestei lecții.
Atunci când am demonstrat că șirul 1 plus 1 pe n la puterea n este un șir convergent, am arătat că 1 plus 1 pe n la puterea n este egal cu suma de la k egal cu 0 până la n din 1 supra k factorial
de lângă 1 minus k minus 1 pe n ori 1 minus k minus 2 supra n ori puncte puncte puncte 1 minus 1 pe n
și că această sumă este mai mică decât 1 plus 1 supra 1 factorial plus 1 supra 2 factorial plus puncte puncte puncte plus 1 supra n factorial care este tocmai e mare indice n.
Trecem în egalitatea 1 plus 1 pe n la puterea n mai mic decât e mare indice n pentru orice n din n stelat la limita
și vom obține că limită când entind de la infinit din 1 plus 1 pe n la puterea n este mai mică decât limită când entind de la infinit din e mare indice n
și cum această limită este egală cu e, atunci obținem că e este mai mic decât limită când entind de la infinit din e mare indice n.
Voi nota această relație de inegalitate cu 1.
În continuare voi pleca tot de la această egalitate demonstrată atunci când am demonstrat teorema lui Daniel Bernoulli și voi scrie termenii acestei sume.
Pentru k egal cu 0 obținem 1, dacă avem k egal cu 1 vom obține doar 1 supra 1 factorial pentru că 1 minus 1 este 0.
Dacă avem k egal cu 2 vom obține 1 supra 2 factorial ori 1 minus 1 supra n pentru k egal cu 2 această fracție este egală cu 1 supra n,
deci singurul factor care rămâne din toate aceste paranteze este doar 1 minus 1 pe n.
Pentru k egal cu 3 vom avea 1 supra 3 factorial ori 1 minus 1 supra n ori ultima paranteza trebuie să fie 1 minus 3 minus 1 adică 2 supra n.
Deci vom avea doar parantezele 1 minus 1 supra n și 1 minus 2 supra n.
Scriu și termenul general, în acest termen am schimbat ordinea parantezelor, am început cu 1 minus 1 supra n până la 1 minus k minus 1 supra n,
deci este același termen doar că ordinea parantezelor este schimbată.
Și am mai scris ultimul termen din cadrul sumei, când k este egal cu n vom avea 1 supra n factorial ori 1 minus 1 supra n ori 1 minus 2 supra n până la 1 minus n minus 1 supra n.
Această egalitate este adevărată pentru orice n aparținându-i n stelat.
Dacă din această sumă voi lua doar primii k plus 1 termeni, adică doar până la termenul general inclusiv,
înseamnă că 1 plus 1 supra n la puterea n este mai mare decât 1 plus 1 supra 1 factorial plus 1 supra 2 factorial ori 1 minus 1 supra n plus puncte puncte puncte plus 1 supra k factorial ori 1 minus 1 supra n ori puncte puncte puncte ori 1 minus k minus 1 supra n.
Ceea ce am făcut e că am ignorat toți termenii de aici începând și până la final, termeni care sunt toți pozitivi.
Și acum în această inegalitate voi trece la limita când n tinde la infinit, adică voi obține limita când n tinde la infinit din 1 plus 1 supra n la puterea n, care este e, este mai mare decât limita din această sumă.
Conform operațiilor cu limite, limita trece la fiecare termen al sumei, limita din 1 este 1, limita din 1 supra 1 factorial e tot 1 supra 1 factorial, limita din 1 supra 2 factorial ori 1 minus 1 supra n va fi egală cu 1 supra 2 factorial ori 1, adică va fi 1 supra 2 factorial.
Și așa mai departe, la ultimul termen din sumă, fiecare fracție de aici din paranteze va tinde la 0 și voi obține 1 supra k factorial ori 1 înmulțit cu el însuși de k minus 1 ori, pentru că sunt k minus 1 paranteze, adică va fi 1 supra k factorial.
Dar 1 plus 1 supra 1 factorial plus 1 supra 2 factorial plus puncte puncte puncte plus 1 supra k factorial este e indice k, din moment ce am notat cu e indice n această sumă.
Deci obținem că e este mai mare decât e indice k pentru orice k mai mare sau egal cu 1.
Și atunci vom trece această inegalitate la limită după k și vom obține limita când k tinde la infinit din e, adică este limita dintr-un șir constant, această limită va fi egală cu e, este mai mare decât limita când k tinde la infinit din e indice k.
Voi nota această relație de inegalitate cu 2.
Rescriu cele două inegalități pe care le-am demonstrat, adică inegalitatea 1 e mai mic decât limita când n tinde la infinit din e indice n și inegalitatea 2 e mai mare decât limita când k tinde la infinit din e indice k.
Evident că limita când k tinde la plus infinit din e indice k e tot una cu limita când n tinde la infinit din e indice n.
Înseamnă că limita șirului e mare indice n este între e și e.
Șirul e mare n este un șir convergent, înseamnă că limita lui este egală cu e.
Și cu asta am demonstrat că, de fapt, șirul e mare n are limita e.