Transcript: Noţiuni de trigonometrie

În această lecție o să învățăm câteva noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic.
Cuvântul trigonometrie provine din limba greacă, trigonos înseamnă triunghi și metron înseamnă măsură.
Astfel, trigonometria este o ramură a matematicii care studiază relațiile dintre laturile și unghiurile unui triunghi.
Presupunem că avem o stradă, iar nivelul acesteia crește la fiecare 200 de metri cu 3 metri.
Atunci raportul dintre înălțimea străzii și drumul parcurs poate fi considerat o măsură a unghiului pe care drumul îl face cu orizontala.
Și o să vedem că acest raport este constant.
Notăm vârful acestui unghi cu A, iar aici o să mai fixez două puncte B și C.
În triunghiul dreptunghic ABC vom calcula raportul dintre înălțimea drumului și lungimea parcursă.
Observăm că înălțimea drumului este o catetă în triunghiul ABC, mai exact cateta opusă unghiului A,
iar drumul parcurs, adică distanța AB, este ipotenuză.
Calculăm așadar în triunghiul ABC raportul dintre cateta opusă unghiului A, adică BC, supra ipotenuză AB.
Acest raport este 3 supra 200.
O să mai fixez aici alte două puncte M și N.
Acum ne uităm în triunghiul AMN și acesta este un triunghi dreptunghic în N
și calculăm din nou raportul dintre înălțimea drumului și distanța parcursă de mașină până în punctul M.
În triunghiul AMN, raportul dintre cateta opusă unghiului A și ipotenuză este MN supra AM, egal cu 9 supra.
Distanța parcursă de mașină până în punctul M este de 600 de metri.
Putem să simplificăm această fracție cu 3 și obținem 3 supra 200.
Observăm că am obținut aceeași valoare a raportului dintre înălțimea străzii și drumul parcurs de mașină.
Acest raport dintre cateta opusă unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic și ipotenuză este tot timpul constant.
El nu depinde de laturile triunghiului în care încadrăm unghiul, ci doar de măsura unghiului respectiv.
Această constantă se va numi sinusul unghiului A și se notează cu sin de A.
Prin definiție, sinusul unghiului A va fi raportul dintre cateta opusă unghiului A și ipotenuză.
Acest raport este constant pentru un unghi A având o măsură dată.
Observăm astfel că prin măsurarea unghiurilor nu înțelegem doar măsurarea acestora cu raportorul.
Măsura unui unghi este dată și de relația dintre laturile triunghiului dreptunghic din care provine unghiul respectiv.
Putem defini în continuare și alte rapoarte constante într-un triungh dreptunghic.
Aceste rapoarte se mai numesc și funcții trigonometrice.
Avem un triungh dreptunghic și am notat laturile acestuia cu literele mici A, B și C, iar aici avem un unghi ascuțit pe care l-am notat cu X.
După cum am văzut anterior, sinus de X se definește ca fiind raportul dintre cateta opusă unghiului X și ipotenuză, în acest caz B supra C.
Un alt raport constant sau funcție trigonometrică este funcția cosinus.
Cosinus de X este cateta alăturată supra ipotenuză, adică A supra C.
Tangenta unghiului X va fi cateta opusă supra cateta alăturată unghiului X, adică B supra A.
Iar cotangenta unghiului X va fi raportul dintre cateta alăturată supra cateta opusă și egal cu A supra B.
Vom face în continuare un exemplu concret în care vom calcula aceste funcții trigonometrice.
Se dă triunghiul dreptunghic ABC, având laturile cu lungimile de 3, 4 și 5 centimetri.
Calculăm mai întâi funcțiile trigonometrice pentru unghiul B.
Sinus de B este cateta opusă unghiului B, adică AC supra ipotenuză BC, egal cu 4 supra 5.
Cosinus de B este cateta alăturată supra ipotenuză, adică AB supra BC și egal cu 3 supra 5.
Tangenta unghiului B este cateta opusă, AC, supra cateta alăturată, AB, egal cu 4 supra 3.
Și cotangenta unghiului B este cateta alăturată, AB, supra cateta opusă, AC și egal cu 3 supra 4.
Acum o să calculăm funcțiile trigonometrice pentru unghiul C.
Sinusul unghiului C este cateta opusă, adică AB supra ipotenuză, supra BC, egal cu 3 supra 5.
Cosinusul unghiului C este cateta alăturată, supra ipotenuză, AC, supra BC, egal cu 4 supra 5.
Tangenta unghiului C este cateta opusă, AB supra AC, egal cu 3 supra 4.
Și cotangenta unghiului C este cateta alăturată, AC, supra cateta opusă, AB, egal cu 4 supra 3.
Putem observa că sinus de B este egal cu cosinus de C.
Sinus de C este egal cu cosinus de B.
Tangenta unghiului B este egală cu cotangenta unghiului C.
Și tangenta unghiului C este egală cu cotangenta unghiului B.