Transcript: Mulțimi mărginite - noțiuni introductive

În această înregistrare vom discuta despre mulțime mărginite.
Ați mai întâlnit noțiunea de mulțime mărginită?
Opriți un pic înregistrarea și încercați să vă amintiți contextul în care ați întâlnit această noțiune.
Probabil că v-ați amintit că ați discutat despre intervale mărginite
și aveați, de exemplu, intervalul
minus 2 deschis, 4 închis,
un interval mărginit.
Și ați mai discutat despre șiruri mărginite,
șirurile a căror elemente pot fi încadrate
între două numere reale.
Dacă toate elementele unui șir erau mai mari decât un număr real
și mai mici decât un alt număr real,
atunci spuneam că șirul este mărginit.
Pentru a defini rigoros noțiunea de mulțime mărginită,
avem nevoie de două noțiuni ajutătoare.
Vom defini aceste două noțiuni.
Considerăm mulțimea A, o mulțime de numere reale,
nevidă,
m mic, un număr real,
este minorant al mulțimii A,
dacă m mic este mai mic sau egal cu x
pentru orice x din A.
Cu alte cuvinte, m este minorant al mulțimii A,
dacă este mai mic sau egal cu orice element al mulțimii A.
M mare, tot un număr real,
se numește majorant al mulțimii A,
dacă N mare este mai mare sau egal cu orice element al mulțimii A.
Să punem aici și semnul de orice,
ca să știm că este vorba de oricare dintre elementele mulțimii A.
Să dăm un exemplu.
Vom considera mulțimea A, intervalul
deschis minus 2, închis 1,
și să încercăm să identificăm
un minorant sau mai mulți, un majorant sau mai mulți al acestei mulțimi.
Reprezentăm mulțimea pe o axă.
Conform definiției, un minorant este orice număr mai mic decât toate elementele mulțimii A.
Cu alte cuvinte, dacă noi l-am luat pe minus 3,
minus 3 este un minorant pentru mulțimea A.
Dacă l-am luat pe minus 2,5,
și acest ar fi un minorant pentru mulțimea A,
pentru că este mai mic decât toate elementele din A,
sau decât fiecare element din A, ca să fie mai corect.
Cu alte cuvinte, toate numerele reale mai mici decât minus 2,
vor fi minoranți pentru mulțimea A.
Să vedem ce se întâmplă cu minus 2.
Dacă îl luăm în considerare pe minus 2,
și minus 2 este mai mic sau egal decât orice element din A,
cu alte cuvinte, și minus 2 va fi minorant pentru mulțimea A,
Constatăm că, de fapt, mulțimea A are o infinitate de minoranți.
Vom nota mulțimea minoranților cu N indice 1
și ea va fi egală cu interval minus infinit minus 2 închis.
Să vedem cine ar putea să fie mulțimea majoranților mulțimii A.
Dacă luăm, de exemplu, numărul real 2,
2 este mai mare decât fiecare element al mulțimii A
și 1,1 este mai mare decât fiecare element al mulțimii A.
Deci, de fapt, toate numerele mai mari decât 1 vor fi majoranți pentru mulțimea A.
Să vedem ce se întâmplă în 1.
1 este mai mare sau egal decât orice element din mulțimea A.
Este chiar egal cu 1 pentru că 1 face parte din mulțime,
dar asta nu deranjează pentru că noi, în definiție, avem mai mare sau egal.
Cu alte cuvinte, mulțimea majoranților mulțimii A, o notăm cu N2,
va fi intervalul închis 1 plus infinit.
Constatăm că mulțimea A are, de fapt, o infinitate de minoranți și o infinitate de majoranți.
Având aceste două definiții, putem defini mulțimile mărginite.
Pentru aceasta vom considera mulțimea A o mulțime de numere reale nevidă.
A este minorată sau mărginită inferior dacă are cel puțin un minorant.
A este majorată sau mărginită superior dacă are cel puțin un majorant.
Și spunem că A este mărginită dacă este mărginită atât superior cât și inferior.
Este foarte important acest și, dacă o mulțime este mărginită doar superior,
respectiv doar inferior, ea nu este mărginită.
De exemplu, mulțimea numerelor naturale este mărginită inferior.
Mulțimea minoranților acestei mulțimi, deci dacă ar fi să notăm tot cu M1 mulțimea minoranților,
atunci ea ar fi egală cu intervalul minus infinit zero inclusiv zero.
Pentru că toate numerele din acest interval sunt mai mici sau egale cu oricare din numerele naturale.
Dar această mulțime nu are niciun majorant pentru că nu există niciun număr real care să fie mai mare decât oricare număr natural.
Dacă vrem să demonstrăm acest lucru, putem să o facem prin reducere la absurd.
Să presupunem că există M mare, un majorant al acestei mulțimi.
Aceasta înseamnă că M mare este mai mare sau egal decât N pentru orice N natural.
Și atunci notăm cu N indice zero partea întreagă a lui N.
Pentru că N indice zero este partea întreagă a lui N, înseamnă că N indice zero este un număr natural.
Una dintre proprietățile părții întregi ne spune că orice număr este cuprins între partea sa întreagă și partea sa întreagă plus 1,
adică M va fi cuprins între N0 și N0 plus 1.
N0 plus 1 este număr natural pentru că N0 era număr natural.
Și cu aceasta am arătat că presupunerea pe care am făcut-o, anume că M este un majorant pentru mulțimea numerelor naturale, este falsă,
pentru că am găsit numărul natural N0 plus 1, care este mai mare decât M.
Deci de aici ne rezultă că M nu este majorant,
adică mulțimea numerelor naturale nu are niciun majorant,
în consecință nu este mărginită superior și nu va fi nici mărginită.
Există o teoremă care ne dă o condiție necesară și suficientă pentru ca o mulțime să fie mărginită.
A o submulțime a numerelor reale este mărginită dacă și numai dacă există un număr real pozitiv, l-am notat aici cu M,
cu proprietatea că modul din x este mai mic sau egal cu M pentru orice x din mulțime.
Într-o teoremă în care ne apare existența unui număr, pentru a fi demonstrată și utilizată,
ar fi bine să știm cum anume am putea determina acest număr.
Cine va fi M?
Dacă știm că A este mărginită, atunci ne știm că A are cel puțin un majorant și un minorant.
Dacă A este un minorant al mulțimea mare, și o să notăm acest minorant cu a mic,
atunci A este mai mic sau egal decât x pentru orice x dină mare
și dacă notăm cu b mic un majorant al mulțimea mare,
atunci avem că majorantul acesta b trebuie să fie mai mare sau egal decât x
și asta pentru orice x din A mare.
Pentru ca să putem găsi acest M,
vom considera că M este egal cu maximumul dintre modul de A și modul de B.
Din modul în care l-am definit pe M, știm sigur că M este pozitiv
pentru că este cea mai mare valoare dintre două module.
Iar dacă x este mai mare sau egal cu A și mai mic sau egal cu B,
cu siguranță că x va fi mai mare sau egal cu minus M și mai mic sau egal cu M.
Cu alte cuvinte, minus M este la rândul său un minorant pentru mulțimea A
și M este un majorant pentru mulțimea A.
De la proprietățile modulelor știm că
aceste două inegalități înseamnă de fapt că modul din x este mai mic sau egal decât M.
Acest lucru se întâmplă pentru orice x,
deci și aici avem orice x din A
și și din coace avem orice x din A.
Aceasta este și ideea demonstrației, doar că la demonstrație trebuie să aveți în vădăre
că în această teoremă avem o dublă implicație,
adică prima dată ar trebui să arătăm că dacă A este mărginită,
atunci există M pozitiv cu proprietatea că modul din x este mai mic sau egal decât M
pentru orice x din A
și după aceea ar trebui demonstrată și implicația inversă,
adică dacă știm că există un M pozitiv cu proprietatea că modul din x este mai mic sau egal decât M
pentru orice x din A,
atunci A este mărginită.
Să facem un exemplu,
vom considera mulțimea A egală cu intervalul deschis minus în ochii străi,
reunit cu elementele 4 și 5.
Un minorant pentru această mulțime este, de exemplu, minus 2,
un majorant pentru această mulțime este, de exemplu, 5
și atunci, pentru a determina un M,
vom lua maximumul dintre modul din minus 2
și modul de 5
Maximumul dintre 2 și 5, cu alte cuvinte, este 5.
Deci noi putem afirma că acest M pozitiv care există este egal cu 5.
După câte vedeți, din modul în care am rezolvat acest exercițiu,
M nu este unic determinat.
Dacă noi am ales un minorant minus 2 și un majorant 5,
atunci M în alegerea pe care am făcut-o este 5.
Dacă am fi luat alt minorant, alt majorant, am fi putut obține un alt M.