Transcript: Mulțimea valorilor unei funcții

Să vedem ce înțelegem prin mulțimea valorilor unei funcții și avem aici f definită pe mulțimea formată din elementele 4, 6, 12 cu valori în mulțimea formată din elementele 2, 3, 6 și 8, f de x egal cu x supra 2.
Ce avem aici? Este o funcție.
Păi, ni se dă un domeniu de definiție.
Avem și o lege de corespondență care este scrisă corect.
Avem aici x supra 2.
Ca să vedem dacă într-adevăr este o funcție, ce ne mai rămâne de verificat?
Păi, trebuie să vedem dacă fiecare element din această mulțime are un unic corespondent în această mulțime.
Cu alte cuvinte, trebuie să calculăm f decât f de 4, apoi f de 6, f de 12, să vedem dacă valorile respective se regăsesc în această mulțime.
F de 4, f de x este x pe 2, deci f de 4 va fi 4 supra 2.
Deci notăm aici 4 supra 2, adică 2.
Mai departe, f de 6, la fel, avem aici 6 împărțit la 2, adică 3, și în final f de 12, ultima valoare din această mulțime, 12 supra 2, adică 6.
Și ca să înțelegem mai bine, chiar o să și reprezentăm prin desen.
Cele două mulțimi date.
Avem aici prima mulțime.
4, 6, 12.
A doua mulțime, să o trecem aici.
Și vom trece și elementele acestei mulțimi și avem așa 2, 3, 6 și 8.
Bun, ce corespondențe avem?
Păi f de 4 ne-a dat 2, asta înseamnă că 4 merge în 2.
F de 6 este 3, deci 6 merge în 3.
F de 12 este 6, deci 12 merge în 6.
E clar din desen că, într-adevăr, avem o funcție.
Această mulțime, cum am spus că se numește?
Ea se numește codomeniu.
Și acum haide să vedem ce înseamnă mulțimea valorilor funcției f.
Păi, mulțimea valorilor funcției f este reprezentată de valorile pe care le returnează concret funcția f.
Păi, ce valori returnează concret funcția noastră?
Iată, f de 4 ne dă 2.
F de 6 ne dă 3.
F de 12 ne dă 6.
Ei bine, aceste valori 2, 3 și 6 sunt valorile pe care le returnează concret funcția f.
Haide să le luăm pe toate, deci 2, 3 și 6.
Ce avem aici reprezintă, de fapt, mulțimea valorilor funcției f și o să trasăm așa punctat ca să nu avem prea multe săgeți.
Această mulțime a valorilor unei funcții se notează cu im și apoi trecem numele funcției.
Noi avem funcția f, trecem f.
Dacă aveam funcția h, notam imh.
Avem aici imf și citim imaginea funcției f.
Chiar această denumire de imagine este foarte sugestivă pentru că numerele 4, 6, 12 prin funcția f se transformă în numerele 2, 3 și 6.
Această mulțime este ceea ce apare în urma transformării prin funcția f.
Deci imaginea funcției f e reprezentată de mulțimea formată din elementele 2, 3 și 6.
Ce relație este între imaginea unei funcții și codomeniu?
Păi se observă foarte ușor pe desen și să reținem că întotdeauna imaginea unei funcții este inclusă, deci este inclusă mereu în codomeniu și notăm aici codomeniu.
Acum imaginea unei funcții mai are și o altă notație și pentru aceasta dăm un alt exemplu.
De fapt vom scrie la modul general dacă avem o funcție f, să notăm tot f, definită pe mulțimea a cu valori în mulțimea b.
Avem aici domeniul, o să scriu prescultat așa, și mulțimea b este codomeniul funcției f și avem și o lege de corespondență f de x egal cu, trecem puncte, puncte, nu e important ce lege avem.
Acum imaginea funcției f se poate scrie și f de a mare, deci trecem numele funcției f și aici în paranteză trecem domeniul de definiție, în acest caz e notat cu a mare.
f de a mare este egal cu f de x atunci când variabila x parcurge mulțimea a mare, parcurge domeniul de definiție.
Deci imaginea unei funcții se poate nota și sub această formă, ea este reprezentată de această mulțime.
Și acum să reținem că întotdeauna imaginea unei funcții pe care o putem nota astfel este întotdeauna inclusă în codomeniu și putem trece aici inclus sau egal.
Putem să avem și situația în care în loc de codomeniu avem chiar f de a mare, atunci codomeniu e chiar imaginea funcției.
Să notăm aici și im de f.
Ultimul exemplu, funcția f e definită pe mulțimea formată în elementele 1, 2 cu valori în mulțimea formată în elementele 0, 3, 6 și 9, f de x egal cu 3 ori x.
Vrem să determinăm imaginea acestei funcții.
Păi im de f este egală cu f de ce elemente, avem f de 1 și f de 2 și haide să calculăm cât este f de 1 și f de 2, f de 1 ne dă, dacă f de x este 3 ori x, f de 1 ne va da 3 ori 1 deci chiar notăm 3 în mulții cu 1 adică 3
iar f de 2 ne va da 3 în mulțit cu 2 adică 6.
Venim și notăm, avem aici 3 și 6, deci imaginea funcției f este formată din elementele 3 și 6, din nou această mulțime este inclusă în codomeniu 0, 3, 6 și 9.