Transcript: Mulțimea numerelor reale

În această lecție o să vedem ce este mulțimea numerelor reale,
dar mai întâi să ne reamintim puțin mulțimile de numere învățate până acum.
În clasele mai mici am învățat mulțimea numerelor naturale.
Aceasta conține numerele 0, 1, 2, 3 și așa mai departe.
Ea este formată doar din numere pozitive.
Apoi a fost introdusă mulțimea numerelor întregi, care se notează cu Z.
Ea conține atât numere naturale, cât și opusele acestora,
adică numere de forma minus 3, minus 2, minus 1, 0, 1, 2, 3 și așa mai departe.
Apoi am învățat fracțiile și am văzut că acestea reprezintă mulțimea numerelor raționale,
care s-a notat cu Q.
Așadar, mulțimea numerelor raționale este formată din fracții de forma A supra B,
unde A și B sunt numere întregi, iar B este diferit de 0.
Mulțimea numerelor raționale conține și fracții decimale finite,
pentru că am văzut că acestea se pot scrie sub formă a unei fracții ordinare.
De exemplu, fracția 5,62 se poate scrie sub formă de fracție ordinară 562 supra 100.
Care la rândul ei se mai poate simplifica? Așadar, 5,62 este un număr rațional.
Mulțimea Q mai conține și fracții decimale infinite, dar periodice.
Am văzut că o fracție decimală periodică de forma 1, perioadă 3
se poate transforma în fracție ordinară 1 întreg 3 supra 9.
După ce introducem întregii în fracție, obținem 1 ori 9 plus 3, adică 12 supra 9.
Așadar, aceasta este o fracție ordinară, deci este număr rațional.
Mai rămâne o singură categorie de fracții și anume fracții decimale infinite și neperiodice.
Acestea nu pot fi scrise sub forma unei fracții ordinare, deci nu vor fi numere raționale.
Nefiind numere raționale, se vor numi numere irraționale.
Vom da în continuare definiția numerelor irraționale.
După cum spuneam, un număr irrațional este o fracție decimală infinită și neperiodică.
Aceste numere irraționale, împreună cu mulțimea numerelor raționale,
formează o nouă mulțime care se notează cu R și se numește mulțimea numerelor reale.
Pentru a înțelege mai bine relația dintre aceste mulțimi, putem privi această diagramă.
Mulțimea numerelor naturale este reprezentată prin cercul galben din mijloc.
Aceasta se notează cu N.
Urmează apoi mulțimea numerelor întregi, apoi mulțimea numerelor raționale
și cea mai mare dintre toate aceste mulțimi este mulțimea numerelor reale.
Mulțimea numerelor reale minus mulțimea numerelor raționale este formată din mulțimea numerelor irraționale.
Deci partea aceasta hașurată cu verde reprezintă numerele irraționale,
adică acele numere pe care mulțimea numerelor reale le are în plus față de mulțimea numerelor raționale.
Are loc această incluziune, N este inclus în Z, inclus în Q și inclus în R.
O să vedem în continuare câteva exemple de numere irraționale.
Vom extrage în continuare rădăcina pătrată a numărului 2
folosind algoritmul pe care l-am învățat în lecțiile trecute.
Cel mai mic număr care ridicat la pătrat ne dă un număr mai mic sau egal decât 2 este 1,
1 ridicat la a doua este 1.
Efectuăm scăderea, punem virgulă și adăugăm două cifre de 0,
această virgulă se adaugă și la rezultat.
Coborâm cele două cifre de 0 lângă 1,
dublăm această cifră și obținem 2.
Ne uităm la numărul 100 și ignorăm ultima sa cifră,
vom face 10 împărțit la 2, care este 5,
iar numărul 25 se înmunsește din nou cu 5
și obținem 125.
Pentru că 125 este mai mare decât 100, înseamnă că cifra 5 nu este corectă
și vom încerca cu o cifră mai mică,
vom face 24 x 4, care este egal cu 96.
96 se trece sub 100 și efectuăm scăderea.
Cifra 4 obținută aici se așează la rezultat.
Mai adăugăm o grupă de două cifre de 0,
care se coboară lângă 4,
dublăm acest număr fără să ținem cont de virgulă,
14 x 2 este 28,
ne uităm la numărul 400 și ignorăm ultima sa cifră,
40 împărțit la 28 este 1,
iar numărul 281 se înmunsește cu 1
și obținem 281.
Trecem acest număr sub 400 și efectuăm scăderea,
obținem 119, iar cifra 1 se trece la rezultat.
Mai adăugăm două 0-uri,
dublăm numărul obținut aici fără a ține cont de virgulă,
141 x 2 este 282,
ne uităm la numărul 11900,
ignorăm ultima sa cifră și efectuăm împărțirea,
1190 împărțit la 282,
vom obține câtul 4,
numărul 2824 se înmunsește cu 4,
după ce faceți alăturat înmulțirea,
vom obține rezultatul 11296,
acest număr se trece sub 11900,
efectuăm scăderea,
obținem 604,
numărul acesta 4 se trece la rezultat.
După cum observați, acest algoritm nu se va termina niciodată
pentru că aici nu vom obține niciodată restul 0,
așadar numărul acesta va avea o infinitate de decimale,
și în acest caz vom spune că radical din 2 este un număr iracional.
Alte exemple de numere irazionale
sunt radical din 3, radical din 5,
putem extrage radicalii din aceste numere folosind același algoritm
și obținem o infinitate de decimale.
Un alt exemplu este radical din 7,
minus radical din 6 și așa mai departe.
În general, numerele irazionale sunt acei radicali
din numere care nu sunt pătrate perfecte.
Pentru că numerele irazionale nu se pot scrie explicit și cu precizie,
se preferă a fi lăstate sub formă de radical
sau se vor aproxima cu cel mai apropiat număr rațional
prin rotunjire.
O să facem în continuare un exercițiu.
Se dă mulțimea A format din următoarele numere
minus 5, radical din 3, 3 supra 7,
radical din 9 supra 16,
4, perioadă 9, minus 10 supra 5.
Calculați! La punctul A se cere să calculăm
A intersectat cu N.
Ne interesează să vedem ce elemente comune
au mulțimile A și N.
Mai exact trebuie să vedem care sunt numerele naturale
din mulțimea A.
Minus 5 este negativ, deci nu va fi număr natural.
Radical din 3 este irazional,
așadar nu este număr natural.
Avem apoi fracția 3 supra 7.
Pentru că 3 nu se împarte exact la 7,
această fracție nu este număr natural.
Nici 9 supra 16 nu este natural,
mai mult avem și radical aici.
Numărul 4, perioadă 9, în forma în care este scris,
am putea spune că nu este număr natural,
dar haideți să transformăm această fracție decimală
în fracție ordinară.
4,9 în perioadă,
se scrie 4 întregi, 9 supra 9,
egal, putem introduce întregii în fracție,
4 ori 9 plus 9 supra 9,
4 ori 9 este 36 plus 9, 45 supra 9,
care va fi egal cu 5, iar 5 este un număr natural.
Așadar numărul 4,9 în perioadă este număr natural.
Minus 10 supra 5, fiind negativ,
nu va fi număr natural.
Închidem acolada.
Punctul B ne interesează A intersectat cu Z,
adică trebuie să găsim numerele întregi din mulțimea A.
Mulțimea numerelor întregi este formată din mulțimea numerelor naturale și opusele acestora.
Așadar minus 5 va fi număr întreg.
Radical din 3 nu este număr întreg.
3 supra 7 este o fracție ordinară,
iar pentru că 3 nu se împarte exact la 7, nu va fi număr întreg.
Nici 9 supra 16 nu este întreg.
4,9 am văzut că este număr natural, așadar va fi și număr întreg.
Iar numărul minus 10 supra 5,
dacă facem împărțirea, este egal cu minus 2
și minus 2 este număr întreg.
Așadar voi scrie și minus 10 supra 5
în A intersectat cu Z.
Urmează la punctul C să determinăm elementele în mulțimii A minus Z.
Ne interesează acele numere care sunt în A, dar nu sunt numere întregi.
Acestea sunt radical din 3.
Am văzut că radical din 3 este irațional, deci este număr real.
3 supra 7 este număr rațional, dar nu este întreg.
Radical din 9 supra 16.
4,9 este natural, iar minus 10 supra 5 este număr întreg,
așadar acestea trei vor fi elementele în mulțimii A minus Z.
Apoi, la A minus Q, trebuie să vedem ce elemente sunt în mulțimia A, dar nu sunt raționale.
Mai exact vom scrie numerele iraționale.
Am văzut în exemplele de mai devreme că radical din 3 este număr irațional.
Haideți să vedem celălalt radical, radical din 9 supra 16, dacă este număr irațional.
Radical din 9 supra 16 se poate scrie radical din 3 supra 4 totul la puterea a doua.
Egal mai departe cu 3 supra 4.
Iar 3 supra 4, fiind o fracție ordinară, va fi și număr rațional.
Înseamnă că nu este număr irațional.
Deci singurul număr irațional din mulțimea A este radical din 3.