Transcript: Metoda triunghiurilor congruente

Triunghiul ABC este isoscel cu AB congruent cu AC, fie M mijlocul laturii BC, să se demonstreze că unghiul BAM este congruent cu unghiul CAM.
Construim un triunghi isoscel ABC cu laturile AB și AC congruente și fixăm mijlocul laturii BC pe care l-am notat cu M.
Trebuie să demonstrăm că unghiul BAM este congruent cu unghiul CAM.
În structura oricărei probleme, intervin trei elemente.
Mai întâi, avem datele problemei. Acestea se vor sintetiza sub forma unei ipoteze.
Ipoteza conține afirmații adevărate stabilite în enunțul problemei.
Al doilea element din structura unei probleme este afirmația care trebuie demonstrată. Aceasta va fi concluzia problemei.
Orice problemă care pleacă de la o ipoteză și trebuie să ajungă la o concluzie,
parcurge un algoritm de rezolvare prin înlățuirea de propoziții bazate pe raționamente logice.
Rezolvarea propriu-zisea problemei va reprezenta demonstrația acesteia.
Noi scriem mai întâi ipoteza.
Se dă un triunghi ABC isoscel, astfel încât AB congruent cu AC.
M este un punct situat pe latura BC, astfel încât segmentul BM să fie congruent cu segmentul MC.
Trebuie să arătăm în concluzie că unghiul BAM este congruent cu unghiul CAM.
Voi face alături la demonstrația.
Pentru a demonstra congruența acestor două unghiuri, le încadrăm în două triunghiuri, a căror congruență poate fi demonstrată.
O să comparăm triunghiurile BAM și CAM.
Comparăm triunghiul BAM cu triunghiul CAM.
Să vedem ce elemente congruente au cele două triunghiuri.
Mai întâi știm că AB este congruent cu AC din ipoteză.
Tot din ipoteză mai știm că BM este congruent cu MC pentru că M era mijlocul segmentului BC.
Am găsit până acum două laturi respectiv congruente.
Mai trebuie să găsim o latură sau un unghi.
Având în vedere că despre unghiuri nu avem nicio informație, vom exclude acele cazuri de congruență care fac referire la unghiuri.
Observăm că latura AM este o latură comună. Ea este situată atât în triunghiul ABM cât și în triunghiul ACM.
Și atunci vom scrie că AM este congruent cu AM, fiind o latură comună.
Din aceste trei relații va rezulta, conform cazului de congruență latură-latură-latură,
că triunghiul ABM este congruent cu triunghiul ACM,
iar din congruența acestor două triunghiuri rezultă congruența elementelor omoloage și anume unghiul BAM va fi congruent cu unghiul CAM.
Nu vom scrie toate relațiile de congruență ce rezultă din congruența triunghiurilor.
Vom scrie doar relația de congruență care se cere în problemă.
Continuăm cu problema numărul 2.
În triunghiul ABC isoscel, cu AB congruent cu AC, se consideră punctele D și E.
D aparține segmentului AB, E aparține segmentului AC, astfel încât AD congruent cu AE.
Arătați că triunghiul ABE este congruent cu triunghiul ACD și că unghiul EBC este congruent cu unghiul DCB.
Facem și figura geometrică. Avem un triunghi isoscel ABC. Se știe că AB este congruent cu AC.
Se consideră punctele D și E, astfel încât și segmentul AD este congruent cu segmentul AE.
Trebuie să demonstrăm că triunghiul ABE, așadar unim punctele B și E, este congruent cu triunghiul ACD.
Unim punctele C și D.
Să scriem ipoteza, concluzia și demonstrația.
În ipoteză vom scrie că triunghiul ABC are laturile AB și AC congruente.
Se mai știe că punctul D aparține laturii AB, punctul E aparține laturii AC, astfel încât AD este congruent cu AE.
În concluzie trebuie să arătăm la punctul A că triunghiul ABE este congruent cu triunghiul ACD, iar la punctul B trebuie să demonstrăm că unghiul EBC este congruent cu unghiul DCB.
Voi scrie alătura demonstrația.
Începem cu punctul A.
Trebuie să demonstrăm că triunghiul ABE este congruent cu triunghiul ACD.
Să vedem ce elemente congruente au aceste două triunghiuri.
Mai întâi știm din ipoteză că AB este congruent cu AC.
Tot din ipoteză mai știm că AD este congruent cu AE.
Am găsit până acum două laturi respectiv congruente, mai trebuie să găsim o latură sau un unghi.
Despre laturile BE și DC nu știm că ar fi congruente și atunci trebuie să găsim un unghi.
Acesta va fi unghiul A, deoarece unghiul A face parte din ambele triunghiuri.
Și putem să scriem că unghiul A aparținând triunghiului BAE este congruent cu unghiul A aparținând triunghiului DAC.
Deci acesta este un unghi comun.
Având în vedere că am găsit două laturi și unghiul format de acestea respectiv congruente,
vom putea scrie, conform cazului latură-unghi-latură, că triunghiul ABE este congruent cu triunghiul ACD.
Așadar am demonstrat punctul A.
Continuăm cu punctul B.
La punctul B trebuie să demonstrăm că unghiul EBC este congruent cu unghiul DCB.
Vom încadra aceste unghiuri în două triunghiuri.
Vom compara triunghiurile DBC și ECB.
Așadar la punctul B comparăm triunghiul DBC cu triunghiul ECB.
Am văzut la punctul A că triunghiul ABE este congruent cu triunghiul ACD.
Din congruența acestor două triunghiuri rezultă și congruența segmentelor BE și CD.
Voi nota această relație cu 1 pentru că o voi folosi ulterior.
Știm că lungimea segmentului AB este egală cu lungimea segmentului AC
și că lungimea segmentului AD este egală cu lungimea segmentului AE.
Dar dacă ne uităm pe figură, observăm că AD plus DB formează lungimea segmentului AB.
Să scriem această relație.
AD plus DB este egal cu AB.
De aici exprimăm lungimea segmentului DB. Aceasta va fi egală cu AB minus AD.
În mod analog observăm că AE plus EC formează lungimea segmentului AC.
AE plus EC este egal cu AC.
Exprimăm de aici lungimea segmentului EC. Aceasta va fi egală cu AC minus AE.
Dar AB este egal cu AC și AD este egal cu AE.
Deci putem să scriem egal în continuare cu AB minus AD.
Observăm din aceste două relații că DB va fi egal cu EC.
Așadar am demonstrat că DB este congruent cu EC.
Notăm această relație cu 2.
Așadar în triunghiurile DBC și ECB am găsit până acum două laturi respectiv congruente.
Observăm că latura BC este o latură comună a celor două triunghiuri.
Așadar vom putea deduce că cele două triunghiuri sunt congruente conform cazului de congruență latură-latură-latură.
Am văzut că BE este congruent cu CD din relația notată cu 1.
Apoi DB este congruent cu EC din relația pe care am notat-o cu 2.
Și BC este congruent cu BC fiind o latură comună.
Din aceste trei relații va rezulta că triunghiul DBC este congruent cu triunghiul ECB
conform cazului de congruență latură-latură-latură.
Iar congruența acestor două triunghiuri implică și congruența unghiurilor DCB și EBC.
Așadar am arătat că aceste două unghiuri sunt congruente.
Continuăm cu problema numărul 3.
Fie D o dreaptă pe care se consideră punctele A și B.
Fie punctele C și D situate de o parte și de alta a dreptei D,
astfel încât unghiul CAB să fie congruent cu unghiul DBA și unghiul CBA să fie congruent cu unghiul DAB.
Arătați că CA este congruent cu DB.
Desenăm o dreaptă D pe care fixăm punctele A și B.
Apoi avem punctele C și D nesituate pe dreapta D,
astfel încât unghiul CAB să fie congruent cu unghiul DBA și unghiul CBA să fie congruent cu unghiul DAB.
Va trebui să arătăm că segmentul CA este congruent cu segmentul DB.
Pentru a demonstra congruența acestor două segmente,
vom demonstra că triunghiurile CAB și DBA sunt congruente.
Să vedem ce elemente congruente au aceste două triunghiuri.
Știm din ipoteză că unghiul CAB este congruent cu unghiul DBA.
Voi scrie acest lucru. Unghiul CAB congruent cu unghiul DBA.
Tot din ipoteză știm că unghiul CBA este congruent cu unghiul DAB.
Așadar, aceste două relații se cunosc din ipoteză.
Observem că aceste două triunghiuri mai au o latură comună. Aceasta este latura AB.
Așadar, voi scrie că AB este congruent cu AB, fiind o latură comună.
Având în vedere că am găsit două unghiuri și o latură, respectiv congruente,
va rezulta din cele trei relații, conform cazului de congruență unghi-latură-unghi,
că triunghiul CAB este congruent cu triunghiul DBA,
iar congruența acestor două triunghiuri implică și congruența segmentelor CA și DB.