Transcript: Mediatoarea unui segment. Aplicatie.

În triunghiul ascuțitunghic ABC considerăm un punct M aparținând de laturii BC.
Ducem MD perpendiculară pe AB, fie P un punct situat pe dreapta MD, astfel încât PD congruent cu DM.
Ducem ME perpendicular pe AC, fie Q un punct situat pe dreapta ME, astfel încât ME congruent cu EQ.
Arătați că triunghiul APQ este isoscel.
Construim un triunghi ascuțitunghic ABC și fixăm un punct M pe latura BC.
Ducem din M o perpendiculară pe AB, aceasta este MD, fie P un punct situat pe dreapta MD, astfel încât punctul D să fie în interiorul segmentului PM și PD să fie congruent cu DM.
Cu alte cuvinte, prelungim segmentul MD un alt segment, DP, congruent cu acesta.
Din M mai ducem o perpendiculară pe latura AC, aceasta este ME, și prelungim segmentul ME un alt segment, EQ, congruent cu acesta.
Punctul E trebuie să fie situat în interiorul segmentului MQ.
Trebuie să arătăm că triunghiul APQ este isoscel.
Să scriem mai întâi ipoteza și concluzia.
Avem un triunghi ABC oarecare și un punct M care aparține la laturii BC.
Ducem MD perpendiculară pe AB.
Nu voi mai scrie toate relațiile de apartenență.
Prelungim segmentul MD cu un alt segment congruent cu acesta, DP.
Apoi ducem ME perpendiculară pe AC.
Prelungim segmentul ME cu un alt segment, EQ, astfel încât aceste două segmente să fie congruente.
Trebuie să demonstrăm că triunghiul APQ este isoscel.
Un triunghi este isoscel dacă are două laturi congruente.
Conform figurii putem intui că aceste două laturi ar fi AP și AQ.
Așadar, în concluzie vom scrie AP congruent cu AQ.
Demonstrație.
Se știe că PD este congruent cu DM, înseamnă că punctul D este mijlocul segmentului PM.
Apoi MD este perpendiculară pe AB, înseamnă că AD este mediatoarea segmentului PM.
Punctul A fiind situat pe mediatoarea segmentului PM, el va fi egal depărtat de extremitățile acestui segment, conform teoremei amintite mai devreme.
Așadar, va rezulta că AP este congruent cu AM.
Să scriem cele spuse până acum.
Știm că MD este perpendiculară pe AD, din ipoteză.
PD este congruent cu DM.
Acest lucru se știe tot din ipoteză.
Din aceste două relații rezultă că AD este mediatoarea segmentului PM.
Înseamnă că punctul A este egal depărtat de punctele P și M, cu alte cuvinte AP este congruent cu AM, conform teoremei amintite mai devreme.
Voi nota această relație cu 1, pentru că o vom folosi mai târziu.
Punctul E este mijlocul segmentului MQ, pentru că se știe că ME este congruent cu EQ.
Apoi mai știm că ME este perpendiculară pe AC.
Așadar, observăm că AE este mediatoarea segmentului MQ.
Punctul A, fiind situat pe mediatoarea segmentului, el va fi egal depărtat de extremitățile segmentului MQ.
Așadar, distanța de la punctul A la punctul M va fi egală cu distanța de la punctul A la punctul Q.
Deci, AM va fi congruent cu AQ.
Să scriem și aceste date.
ME este perpendiculară pe AC.
Acest lucru se știe din ipoteză.
Segmentul ME este congruent cu segmentul EQ.
Acest lucru se știe tot din ipoteză.
Din aceste două relații va rezulta că AE este mediatoarea segmentului MQ.
Înseamnă că punctul A este egal depărtat de punctele M și Q.
Mai exact, segmentul AM va fi congruent cu segmentul AQ.
Acest lucru s-a demonstrat în teorema dinunțată anterior.
Înseamnă că AP este congruent cu AM și AM este congruent cu AQ.
Înseamnă că putem spune, conform acestor două relații, că AP este congruent cu AQ.
Să ne uităm și pe figură.
AP este congruent cu AQ.
Așadar, am demonstrat că triunghiul APQ este un triunghi isoscel.
O scrie la final.
Din relația 1 și 2 va rezulta că AP este congruent cu AQ.
Așadar, triunghiul APQ este un triunghi isoscel.