Transcript: Matrice inversabile

Am văzut deja că unele operații efectuate cu numere complexe se regăsesc și în cazul matricelor, împreună cu proprietățile lor.
În cazul numerelor complexe, orice număr complex Z este inversabil, adică există un număr complex notat cu Z la puterea minus 1,
astfel încât Z înmulțit cu Z la minus 1 este egal cu Z la minus 1 ori Z și egal cu 1, elementul neutru pentru înmulțire.
Spre exemplu, inversul lui 2 este 2 la minus 1 pentru că 2 ori 2 la minus 1 este 2 ori 1 pe 2, adică 1.
Inversul lui minus 2 este minus 2 totul la puterea minus 1, adică 1 supra minus 2, cu alte cuvinte, minus 1 pe 2.
Credeți că o matrice A poate fi inversabilă? În ce condiții?
Matricea inversă este unică? Care ar fi expresia inversei? Cum o putem calcula?
Vom încerca pe parcursul acestui videoclip să răspundem la toate aceste întrebări.
Să încercăm să răspundem la prima întrebare.
Da, o matrice A poate fi inversabilă pentru că, în definitiv, avem nevoie de o matrice pe care, înmulțind-o la stânga, respectiv la dreapta, cu matricea A, să obținem matricea unitate.
Ne amintim că matricea unitate o notăm cu i-indice ien și are expresia, în cazul în care ien este 2, matricea unitate are expresia 1001.
În cazul matricei unitate de ordine 3, aceasta are expresia 100100101.
Dacă A este o matrice cu m linii, n coloane, cu elemente din mulțimea numerelor complexe, atunci inversa ei, să o notăm deocamdată cu x, trebuie să fie o matrice cu n linii, p coloane, cu elemente din mulțimea numerelor complexe.
Tipul matricei x se datorează necesității efectuării înmulțirii A or x.
Matricea A or x obținută va fi o matrice de tipul m, p, cu elemente în mulțimea numerelor complexe.
Pe de altă parte, matricea A or x trebuie să fie matricea unitate, care este o matrice pătratică, cu alte cuvinte, m trebuie să fie egal cu p.
Matricea x este acum de tipul n, m, matricea A este de tipul m, p și deci matricea x or a este o matrice pătratică de ordinul n cu elemente în mulțimea numerelor complexe.
Cum produsul A or x, respectiv produsul x or a trebuie să fie matricea unitate, deducem că matricea unitate trebuie să aibă ordinul n.
Așadar, matricea A or x trebuie să fie egală cu matricea x or a și acestea trebuie să fie egale cu matricea unitate de ordin n.
Cu alte cuvinte, m trebuie să fie egal cu n și egal amândouă cu p.
Am obținut o informație deosebit de importantă și anume că ne putem pune problema inversabilității unei matrice doar pentru matrice pătratice.
Dată o matrice pătratică de ordin n, spunem că matricea A este o matrice inversabilă dacă există o matrice B pătratică de ordin n,
astfel încât matricea A or B egal cu matricea B or A și egal cu matricea unitate de ordin n.
Matricea B poartă numele de inversa matricei A și o notăm cu A⁻¹.
Să considerăm acum matricea A pătratică de ordin 2 cu elementele 2, 0, −1, 1.
Să verificăm dacă această matrice este inversabilă și care este expresia inversei.
Căutăm matricea A⁻¹ de forma XYZT care să îndeplinească condițiile din definiție și anume A or A⁻¹ trebuie să fie matricea unitate.
Să calculăm produsul dintre A și A⁻¹.
Înmulțim matricea A, 2, 0, −1, 1, cu matricea XYZT și obținem matricea, înmulțim linia 1 din matricea A cu coloana 1 din matricea A⁻¹,
2X plus 0, 2Y plus 0, −1X plus Z, −1Y plus T, adică matricea 2X, 2Y, −X plus Z, −Y plus T.
Să calculăm acum produsul A⁻¹ or A, adică XYZT înmulțit cu 2, 0, −1, 1.
Z or 0, plus T, adică matricea 2X, −Y, Y, 2Z, −T, T.
Dacă A este o matrice inversabilă, atunci matricea A înmulțită cu matricea A⁻¹ este egală cu matricea A⁻¹ rea și egală cu matricea unitate de ordin 2.
Așadar, matricea 2X, 2Y, −X, plus Z, −Y, plus T trebuie să fie egală cu matricea 2X, −Y, Y, 2Z, −T, T și egală ambele cu matricea 1, 0, 0, 1.
Avem așadar egalitățile 2X este egal cu 2X, −Y, egal cu 1, 2Y este egal cu Y și egal cu 0, −X, plus Z, egal cu 2Z, −T, egal cu 0 și −Y, plus T, egal cu T și egală ambele cu 1.
Relații care trebuie îndeplinite simultan.
Cum 2X este egal cu 1, obținem așadar că X este egal cu 1 pe 2, Y este egal cu 0, cum X, minus Z, egal cu 0, Z este egal cu 1 pe 2, iar T trebuie să fie egal cu 1.
Valorile identificate verifică toate aceste 8 ecuații.
Așadar matricea A la minus 1 are expresia 1 supra 2, 0, 1 supra 2, 1.
Dar dacă matricea A ar fi avut expresia 1, 0, 0, 0, oare această matrice este inversabilă?
Căutăm din nou matricea A la minus 1 sub forma X, Y, Z, T și vom umulți la stânga și la dreapta cu matricea A.
Calculăm produsul A ori A la minus 1, adică matricea 1, 0, 0, 0 înmulțită cu matricea X, Y, Z, T, obținând matricea X, Y, 0, 0, care trebuie să fie egală cu matricea unitate de ordin 2.
Această egalitate nu are loc deoarece elementul de pe linia 2 coloana 2 din produsul A ori A la minus 1 este 0, iar elementul de pe linia 2 coloana 2 din matricea unitate este egal cu 1.
Cu alte cuvinte, în această situație matricea A nu este inversabilă.
Observăm astfel că nu toate matricele sunt inversabile.
Am văzut că matricea A îmulțită cu inversa ei este egală cu matricea unitate.
Atunci, determinantul acestui produs A ori A la minus 1 este egal cu determinantul matricei unitate.
Folosind proprietatea determinanților legată de produsul matricelor, avem că determinantul matricei A îmulțită cu determinantul matricei inverse este egal cu 1.
Un număr real este inversabil numai dacă el este nenul.
Cu alte cuvinte, obținem condiția ca o matrice să fie inversabilă.
Dacă și numai dacă o matrice A pătratică de ordinul N este inversabilă, dacă și numai dacă, determinantul ei este nenul.
O matrice pătratică cu determinantul nenul se numește matrice nesingulară sau nedegenerată.
Cu alte cuvinte, o matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă, matricea A este nesingulară sau nedegenerată.
Am văzut că determinarea inversei pentru matricele pătratice de ordin 2 presupune rezolvarea unui sistem cu 4 ecuazii și 4 necunoscute.
Determinarea inversei pentru o matrice pătratică de ordinul 3 pare a fi o adevărată aventură gândindu-ne că va trebui să rezolvăm un sistem de 9 ecuazii cu 9 necunoscute.
Calculul inversei unei matrice poate fi făcut totuși prin mai multe metode printre care amintim
Metoda eliminării complete, denumită și metoda Gauss-Jordan,
metoda lui Cayley-Hamilton,
metoda complementilor algebrici.
Ne vom opri asupra metodei complementilor algebrici.
Determinarea inversei unei matrice prin această metodă presupune parcurgerea următorilor pași.
Considerând matricea A pătratică de ordinul N cu elemente în mulțimea numerelor complexe,
matricea A are expresia
A11, A12, A1N, A21, A22, A2N,
AN1, AN2, ANN.
O primă etapă în determinarea matricei inverse este scrierea matricei transpuse,
care este matricea obținută din matricea A transformând liniile în coloane.
Așadar, matricea A11, A12, A1N, A21, A22, A2N,
AN1, AN2, ANN.
În etapa următoare se construiește o matrice numită matricea adjunctă
sau matricea reciprocă care se obține din matricea A transpus
înlocuind fiecare element cu complementul său algebric.
Așadar, matricea adjunctă are expresia
A11, A12, A1N, A21, A22, A2N, AN1, AN2, ANN.
Și, în final, expresia matricei inverse este dată de produsul
dintre inversul determinantului matricei A și matricea adjunctă.
Inversa unei matrice are și câteva proprietăți și anume
inversa inversei unei matrice este matricea însăși,
oricare ar fi o matrice pătratică de ordinul N.
Dacă o matrice este inversabilă, atunci inversa ei este unică.
Notând B și B' inversele matricei A,
ele îndeplinesc următoarele relații
A matrice B este B matrice A și este matricea pătratică de ordin N.
Și, în mod similar, A matrice B' este egal cu matricea B' mulțită cu matricea A
și este egală cu matricea unitate de ordin N.
Plecând de la matricea B, o putem scrie ca B matricea IN,
matricea IN o putem scrie ca produsul dintre A ori matricea B',
deci B înmulțit cu A ori B'.
Înmulțirea matricelor este o operație asociativă,
deci putem să scriem acest produs și B ori A înmulțit cu B'.
Matricea B ori A este matricea unitate înmulțită cu matricea B'
și care nu este altceva decât matricea B'.
Și, în sfârșit, o ultimă proprietate.
Dacă A și B sunt două matrice pătratice de ordin N inversabile,
atunci și produsul A or B, matrice pătratică de ordin N, este o matrice inversabilă
și, în plus, inversa produsului este egal cu produsul inverselor.