Transcript: Mărimi invers proporţionale

Circulând cu 50 de km la oră, o mașină parcurge o distanță în 4 ore.
În cât timp ar parcurge distanța dacă ar circula cu 100 de km la oră?
Circulând cu 50 de km la oră, o mașină parcurge distanța în 4 ore.
Dacă ar circula cu 100 de km la oră, atunci timpul necesar parcurgerii distanței va fi mai mic, mai exact o să fie de 2 ore.
Observăm că dacă viteza crește, timpul o să scadă.
Dacă viteza se dublează, timpul se va micșora de 2 ori.
Vom spune așadar că cele două mărimi, adică viteza și timpul, sunt mărimi invers proporționale.
Observăm că 50 ori 4 este egal cu 100 ori 2, deoarece 200 este egal cu 200.
Această relație va duce la următoarea proporție, 50 supra 1 supra 4 egal cu 100 supra 1 supra 2.
Putem să scriem această relație sub forma acestor fracții supraitajate.
Și atunci să vedem ce înțelegem mai exact prin numere invers proporționale sau mărimi invers proporționale.
Două mărimi sunt invers proporționale dacă depind una de alta, astfel încât dacă una crește de n ori, cealaltă se micșorează de n ori.
Numerele x și y sunt invers proporționale cu numerele a și b, dacă sunt direct proporționale cu inversele lor,
adică x supra 1 pe a egal cu y supra 1 pe b.
Sau putem scrie ax egal cu b ori y.
În general, numerele a1, a2 puncte puncte an sunt invers proporționale cu numerele b1, b2, bn
dacă formează șirul de rapoarte egale a1 supra 1 pe b1 egal cu a2 supra 1 pe b2 egal cu an supra 1 pe bn.
Determinați numerele a, b și c știind că sunt invers proporționale cu numerele 2, 3 și 5 și că a plus b plus c este egal cu 62.
Dacă a, b și c sunt invers proporționale cu numerele 2, 3 și 5, putem scrie acest lucru astfel
2a egal cu 3b egal cu 5c.
Sau putem să scriem că a supra 1 pe 2 este egal cu b supra 1 pe 3 egal cu c supra 1 pe 5.
Dar ca să nu lucrăm cu fracții supraetajate prefer să folosim prima relație scrisă.
Această relație se poate egala în continuare cu un număr oarecare k.
Și atunci 2a este egal cu k și împărțind la 2 membru cu membru obținem că a este egal cu k supra 2.
Dacă 3b este egal cu k împărțind la 3 membru cu membru obținem că b este egal cu k supra 3.
Iar dacă 5c este egal cu k putem împărți la 5 și obținem că c este egal cu k supra 5.
Acum ne folosim de această relație dată în problemă și anume a plus b plus c egal cu 62.
a plus b plus c va fi egal cu 62.
În loc de a vom scrie k supra 2, în loc de b vom scrie k supra 3 și în loc de c vom scrie k supra 5.
Deci k supra 2 plus k supra 3 plus k supra 5 este egal cu 62.
Ca să adunăm aceste trei fracții trebuie să le aducem la numitor comun.
Numitorul comun este 2 ori 3 ori 5, adică 30.
Prima fracție se va amplifica cu 15, a doua fracție cu 10 și a treia fracție cu 6.
Rezultă în continuare că 15k supra 30 plus 10k supra 30 plus 6k supra 30 este egal cu 62.
15 plus 10 plus 6 este 31k supra 30 egal cu 62.
De unde rezultă că 31k este egal cu 30 ori 62.
Împărțim relația la 31 și obținem k egal cu 30 ori 62 supra 31.
Nu am vrut să efectuez această înmulțire, deoarece am observat că 62 este un multiplu al lui 31, deci putem să simplificăm cu 31.
62 împărțit la 31 este 2, 31 împărțit la 31 este 1.
Deci k va fi egal cu 30 ori 2, adică k va fi egal cu 60.
Acum că l-am aflat pe k va fi foarte ușor să aflăm numerele a, b și c.
a este egal cu k supra 2, adică cu 60 supra 2, care este egal cu 30.
b va fi egal cu k supra 3, adică 60 supra 3, care este egal cu 20.
c va fi egal cu k supra 5, mai exact 60 supra 5, care este egal cu 12.
Am aflat cele 3 numere.
Ultima problemă, dacă 12 muncitori termină o lucrare în 10 zile, în câte zile ar termina lucrarea 15 muncitori?
Vom scrie din nou regula de 3 simplă pentru această problemă.
12 muncitori termină o lucrare în 10 zile.
15 muncitori ar termina lucrarea în x zile.
Să vedem întâi dacă aceste mărimi sunt direct sau invers proporționale.
Dacă numărul de muncitori va crește, atunci numărul de zile o să scadă, deoarece, fiind mai mulți muncitori, lucrarea se va termina mai repede.
În acest caz, mărimile sunt invers proporționale.
Și atunci, regula de 3 simplă pentru mărimi invers proporționale se va scrie astfel.
Atenție! Deci, când mărimile sunt invers proporționale, al doilea raport se inversează.
De aici, o să-l obținem pe x.
x va fi egal cu 12 ori 10 supra 15, adică 120 supra 15, care este egal cu 8.
Deci, lucrarea se va termina în 8 zile.