Transcript: Lungimea unui segment. Segmente congruente.

Lungimea unui segment. Segmente congruente. Fie A și B două puncte situate pe dreapta D.
Mulțimea punctelor dreptei D situate între punctele A și B formează segmentul deschis AB și se notează cu paranteză rotundă.
Mulțimea AB reunită cu punctele A și B formează segmentul închis AB și se notează cu paranteză dreaptă.
Punctele A și B se numesc extremitățile segmentului.
O să vedem în continuare ce înseamnă lungimea unui segment.
Lungimea unui segment este distanța dintre cele două extremități ale sale.
Segmentele care au aceeași lungime se numesc segmente congruente.
Să vedem cum putem să construim segmente congruente.
O primă construcție ar fi cu ajutorul compasului.
Desenăm o dreaptă pe care fixăm un punct A, apoi deschidem compasul și fixăm punctul B,
iar pe o altă dreaptă, folosind același compas cu aceeași deschidere, fixăm punctele A' și B'.
Segmentele astfel obținute, AB și AB' vor fi segmente congruente.
O altă modalitate de a construi segmentele congruente este cu ajutorul liniarului.
Desenăm mai întâi un segment AB, apoi măsurăm lungimea acestui segment cu ajutorul liniarului.
În acest caz observăm că segmentul AB are lungimea de 5 cm.
Apoi vom desena un alt segment, având aceeași lungime de 5 cm, pe care o să-l notăm cu A'B'.
Cele două segmente obținute sunt segmente congruente.
Vom scrie acest lucru astfel.
Segmentul AB este congruent cu segmentul A'B'.
Sau dacă ne referim la lungimea acestor segmente, vom spune că lungimea segmentului AB este egală cu lungimea segmentului A'B'.
Atunci când ne referim la lungimea segmentului, nu mai e nevoie să punem și parantezele drepte.
În continuare o să dăm definiția mijlocului unui segment.
Punctul care împarte un segment în două segmente congruente se numește mijlocul segmentului.
În desenul de mai jos avem un segment AB, iar punctul M este situat la mijlocul acestuia.
El împarte segmentul AB în două segmente congruente.
Acestea sunt AM și MB.
În continuare o să facem câteva exerciții și probleme.
Prima problemă.
Pe semidreapta OA se consideră punctele M și N, astfel încât OM este 3,5 cm și ON este 8,6 cm.
Calculați lungimea segmentului MN.
Desenăm semidreapta OA.
O este originea și pe această semidreaptă fixăm punctele M și N, astfel încât OM este 3,5 cm iar ON este 8,6 cm.
Vom scrie și pe desen aceste lungimi.
OM este 3,5 cm și ON este 8,6 cm.
Se cere să aflăm lungimea segmentului MN.
Mai întâi vom scrie relația între aceste segmente formate OM, MN și ON.
Observăm că OM plus MN formează segmentul ON.
Și acum în această relație o să înlocuim segmentele date cu lungimile lor.
OM este 3,5.
MN nu se cunoaște, trebuie să-l aflăm, iar ON este 8,6.
În această relație avem necunoscuta MN.
Pentru a afla lungimea segmentului MN trebuie să-l scădem din ambii membri ai egalității numărul 3,5
și obținem că MN este egal cu 8,6 minus 3,5.
Mai exact MN va fi egal cu 5,1 cm.
Pe o dreaptă se consideră punctele AB, C și D în această ordine,
astfel încât AD este 19 cm, BC este 3 cm și AB este egal cu CD.
Calculați lungimea segmentului AB.
Desenăm o dreaptă și fixăm aceste puncte AB, C și D
Se știe că AD este 19 cm și BC este 3 cm
iar AB este egal cu CD.
Voi face cu o culoare aceste două segmente egale.
AB și CD sunt segmente congruente.
Se cere să aflăm lungimea segmentului AB.
Vom scrie relația care se poate deduce din acest desen între segmentele care s-au format.
Observăm că segmentul AB plus BC plus CD formează segmentul AD.
Pentru a ușura scrierea o să notez segmentul AB cu o literă X.
CD fiind congruent cu AB va avea aceeași lungime pe care o să o notez tot cu X.
Și voi înlocui în această relație lungimile segmentelor.
În loc de AB o să scriem X, BC este 3, CD este X și AD este 19.
Haideți să scădem numărul 3 din ambii membri a egalității astfel încât membrul stâng să rămână în necunoscuta X
și obținem că X plus X este egal cu 19 minus 3.
2X este egal cu 16.
Ca să-l aflăm pe X vom împărți această egalitate la 2 membru cu membru și obținem X egal cu 8.
Mai exact segmentul AB are lungimea de 8 centimetri.
Următoarea problemă 3.
Fie punctele ABCD coliniare în această ordine astfel încât AD are 20 centimetri, AC 12, BD 11 centimetri.
Aflați lungimea segmentului BC.
Vom desena o dreaptă pe care fixăm 4 puncte coliniare ABCD.
Aici este punctul A, B, C și D.
Se știe că AD este 20 centimetri.
AC este 12 centimetri.
O să-l fac cu o linie punctată.
Și BD este 11 centimetri.
Voi face tot cu o linie punctată.
BD este 11 centimetri.
Să calculăm lungimea segmentului BC.
Segmentul BC este acesta și trebuie să calculăm lungimea acestui segment.
Observăm că segmentul AC plus CD formează segmentul AD și voi scrie această relație.
AC plus CD este egal cu AD.
AC este 12 centimetri.
Lungimea segmentului CD nu se cunoaște, iar lungimea segmentului AD este 20 centimetri.
Ca să-l aflăm pe CD, o să scădem numărul 12 din ambii membri ai relației și obținem că CD este egal cu 20 minus 12.
CD egal 8 centimetri.
L-am aflat pe CD. Acesta este 8 centimetri.
Ca să-l aflăm pe BC, vom folosi relația care se formează între segmentele BC, CD și BD.
Observăm că BC plus CD formează segmentul BD.
BC nu se cunoaște, trebuie să-l aflăm.
CD, tocmai l-am aflat, este 8 centimetri, iar BD se știe din datele problemei că este 11 centimetri.
Ca să-l aflăm pe BC, o să-l scădem pe 8 și obținem că BC este egal cu 11 minus 8.
BC este egal cu 3 centimetri.
Și ultima problemă.
Se consideră punctele coliniare MN, PQ în această ordine, astfel încât MN este 10 centimetri, MP 16 centimetri și PQ 2 centimetri.
Fie A mijlocul segmentului MQ, B mijlocul segmentului NP, iar C mijlocul segmentului PQ.
La punctul A se cere să calculăm lungimea segmentelor NP și MQ, iar la punctul B să verificăm dacă punctul B este mijlocul segmentului AC.
O să facem mai întâi desenul.
Avem pe o dreaptă punctele MN, PQ în această ordine,
astfel încât MN este 10 centimetri,
MP este 16 centimetri, o să-l fac punctat,
iar PQ 2 centimetri.
Se știe că punctul A este mijlocul segmentului MQ, deci punctul A este undeva aici,
B este mijlocul segmentului NP,
iar C mijlocul segmentului PQ.
Trebuie să calculăm lungimea segmentelor NP.
O să fac o altă culoare, segmentul NP.
Știm că MN este 10 centimetri și MP este 16 centimetri.
Din această relație putem să-l aplăm pe NP ca fiind diferența dintre segmentele MP și MN.
Voi scrie că MN plus NP formează segmentul MP.
MN este 10 plus NP este egal cu 16.
Ca să-l aflăm pe NP scădem numărul 10 și obținem NP egal cu 16 minus 10, NP egal cu 6 centimetri.
Mai trebuie acum să aflăm lungimea segmentului MQ.
MQ se compune din următoarele segmente MN plus NP plus PQ.
MN este 10 centimetri, NP, tocmai l-am aflat, este 6 centimetri, iar PQ este 2 centimetri.
Și obținem că MQ este egal cu 18 centimetri.
Am terminat punctul A, trecem la punctul B.
La punctul B se cere să verificăm dacă punctul B este mijlocul segmentului AC.
Ca să verificăm dacă B este mijlocul segmentului AC, trebuie să vedem dacă AB este congruent cu BC.
Pentru acest lucru trebuie să aflăm mai întâi segmentele AN și PC, pe care nu le cunoaștem.
Știm însă că punctul B este mijlocul segmentului NP și de aici putem să aflăm segmentele NB și BP.
Așadar voi scrie că B este mijlocul segmentului NP.
Din această relație rezultă că NB este egal cu BP și este egal mai departe cu NP împărțit la 2, adică jumătate din segmentul NP.
NP este 6 împărțit la 2, egal cu 3 centimetri.
Deci acest segment NB este 3 centimetri și la fel și segmentul BP.
Mai departe știm că A este mijlocul segmentului MQ.
Din această relație rezultă că MA este egal cu AQ și e egal cu jumătate din MQ.
MQ este 18 împărțit la 2, egal cu 9 centimetri.
Deci MA și AQ au fiecare câte 9 centimetri.
Mai știm și că punctul C este mijlocul segmentului PQ și de aici va rezulta faptul că PC este egal cu CQ și e egal cu jumătate din PQ.
PQ este 2, deci obținem 2 împărțit la 2, egal cu 1 centimetru.
Deci fiecare din aceste două segmente, PC și CQ, are câte 1 centimetru.
Și acum să încercăm să aflăm lungimea segmentului AN.
Vom folosi relația dintre segmentele AN, NP și PQ, care adunate vor da segmentul AQ.
AN plus NP plus PQ formează segmentul AQ.
AN plus NP este 6, l-am aflat la punctul A, PQ este 2, iar AQ, l-am aflat aici, este 9.
De aici va rezulta că AN plus 8 este egal cu 9, îl scădem pe 8 și obținem că AN este egal cu 9 minus 8, AN este egal cu 1 centimetru.
Ne întoarcem la desen, am obținut că AN este 1 centimetru.
Și acum putem să aflăm lungimea segmentului AB și lungimea segmentului BC.
Dacă vor fi egale, va rezulta că B va fi mijlocului AC.
AB se compune din AN plus NP, adică 1 plus 3, care este 4.
Mai departe, BC se compune din BP plus PC, 3 plus 1, egal cu 4.
Observăm așadar că AB este egal cu BC, de unde va rezulta faptul că B este mijlocul segmentului AC.
Să scriem și aceste relații.
AB este format din AN plus NP.
AN l-am obținut este 1, iar NP l-am obținut mai devreme, este 3.
1 plus 3 egal 4 centimetri.
BC se compune din BP plus PC, 3 plus 1, egal cu 4 centimetri.
Din aceste două relații, observăm că AB are aceeași lungime cu BC.
De aici va rezulta faptul că B este mijlocul segmentului AC.