Transcript: Logaritmi (aplicații)

În această secvență o să discutăm despre primele trei proprietăți ale logaritmilor și apoi vom face câteva aplicații.
Am văzut în lecția trecută că pornind de la relația a la x egal cu b, atunci exponentul x se mai numește logaritmul în baza a a numărului b.
Cu alte cuvinte, x este numărul la care trebuie să ridicăm baza logaritmului pentru a obține numărul b.
Baza logaritmului trebuie să fie întotdeauna un număr strict pozitiv și diferit de 1, iar b trebuie de asemenea să fie un număr strict pozitiv.
Și acum să vedem care ar fi prima proprietate a logaritmilor.
În cazul în care x este 0, avem a la puterea 0 egal cu 1.
De aici rezultă 0 este egal cu logaritm în baza a din 1.
Să reținem așadar această relație.
Deci logaritm în orice bază din 1 este egal cu 0.
De exemplu, logaritm în baza 3 din 1 va fi 0 sau logaritm în baza radical din 5 din 1 va fi egal cu 0.
În cazul în care x este 1, avem a la puterea 1 egal cu a.
De aici va rezulta că 1 este egal cu logaritm în baza a din a.
Aceasta este a doua proprietate a logaritmilor.
Mai putem citi astfel, logaritmul bazei este egal cu 1.
De exemplu, logaritm în baza 1 supra 2 din 1 supra 2 va fi egal cu 1
sau logaritm în baza radical din 7 din radical din 7 va fi egal cu 1.
În continuare voi scrie o egalitate evidentă.
a la puterea n este egal cu a la puterea n.
Acum, dacă acest a la n este numărul b din această formulă, iar n este x,
obținem egalitatea n egal logaritm în baza a din a la n.
Este evident această relație pentru că exponentul la care trebuie să-l ridic pe a pentru a obține a la n este chiar n.
De exemplu, logaritm în baza 7 din 7 la a doua va fi egal cu 2.
Să reținem așadar aceste trei formule logaritmice.
Logaritm în baza a din 1 este egal cu 0.
Logaritm în baza a din a este egal cu 1.
Sau mai spunem că logaritmul bazei este 1.
Și ultima relație, logaritm în baza a din a la n este egal cu n.
Să facem în continuare câteva aplicații.
Vom calcula următorii logaritmi.
Avem logaritm în baza 3 din 81.
Trebuie să ne gândim care este puterea la care trebuie să-l ridicăm pe 3 pentru a obține 81.
Ca să ne fie mai ușor, încercăm să-l scriem pe 81 ca o putere a lui 3.
Vom avea logaritm în baza 3 din 3 la a 4 și egal cu 4.
Urmează logaritm în baza 2 din 1 supra 32.
La fel, încercăm să scriem numărul 1 supra 32 ca o putere a lui 2.
Și vom avea logaritm în baza 2 din 2 la puterea minus 5.
Iar rezultatul va fi minus 5.
Urmează logaritm în baza 9 din 3.
Încercăm să scriem numărul 3 ca o putere a lui 9.
Vom avea logaritm în baza 9 din radical din 9.
Pentru că 3 este radical din 9.
Acum o să-l scriem pe radical din 9 ca o putere cu exponent rațional.
Și avem 9 la 1 pe 2.
Iar rezultatul logaritmului va fi 1 supra 2.
Urmează logaritm în baza 3 din radical din 3.
Va fi egal cu logaritm în baza 3 din 3 la puterea 1 pe 2.
Și egal cu 1 pe 2.
Logaritm în baza 9 din radical din 3.
Vom avea logaritm în baza 9.
Mai întâi o să-l scriem pe radical din 3 ca o putere cu exponent rațional.
Și avem 3 la puterea 1 pe 2.
Egal cu logaritm în baza 9.
Acum o să-l scriem pe 3 ca o putere a lui 9.
3 este radical din 9 la puterea 1 pe 2.
Egal cu logaritm în baza 9.
Radical din 9 este 9 la 1 pe 2.
Și pentru că avem încă o putere aici, 1 pe 2, înmulțim exponenții.
Egal cu logaritm în baza 9.
Din 9 la 1 pe 4.
Iar rezultatul va fi 1 supra 4.
La punctul 6 avem logaritm în baza radical din 5 din 1 supra 5.
Va fi egal cu logaritm în baza radical din 5.
Trebuie să-l scriem pe 5 cu ajutorul numărului radical din 5.
1 supra radical din 5 la pătrat.
Egal cu logaritm în baza radical din 5.
Fracția 1 supra radical din 5 la a 2-a este radical din 5 la minus 2.
Și egal cu minus 2.
Urmează logaritm în baza 2 din radical de ordinul 5 din 8.
O să-l scriem pe 8 cu o putere a lui 2.
Vom avea radical de ordinul 5 din 2 la a 3-a.
Acum scriem radicalul cu o putere cu exponent rațional.
Radical de ordinul 5 din 2 la a 3-a este egal cu 2 la putere a 3 supra 5.
Rezultatul va fi egal cu 3 supra 5.
Ultimul logaritm. Avem logaritm în baza 6 din 0.
Aici vă las pe voi.
Și mai facem un exercițiu.
Să se determine numărul real x pentru care există logaritmul.
Logaritm în baza 2x din x plus 3 supra 5 minus x.
Trebuie așadar să punem toate condițiile de existență a acestui logaritm.
Așa cum spuneam mai devreme, baza logaritmului trebuie să fie un număr strict pozitiv și diferit de 1.
Deci vom pune mai întâi condiția 2x strict mai mare ca 0 și 2x diferit de 1.
Din prima relație avem că x trebuie să fie strict pozitiv,
iar din a doua relație avem că x e diferit de 1 pe 2.
Din cele două relații va rezulta că x aparține intervalului 0 infinit minus 1 pe 2
sau x aparține intervalului deschis 0 1 supra 2 reunit cu 1 supra 2 plus infinit.
În continuare punem condiția ca această fracție să fie număr strict pozitiv.
Deci x plus 3 supra 5 minus x trebuie să fie strict mai mare ca 0.
Și fiind vorba de o fracție mai trebuie să punem și condiția ca numitorul să fie diferit de 0.
Așadar punem condiția ca 5 minus x să fie diferit de 0.
Din această relație rezultă x diferit de 5.
În continuare vom studia semnul acestei expresii folosind semnul funcției de gradul 1.
Voi face așadar un tabel.
Avem pe prima linie x apoi x plus 3 apoi 5 minus x și fracția x plus 3 supra 5 minus x.
Minus infinit plus infinit.
Expresia de la numărător se anulează când x este minus 3.
Expresia de la numitor 5 minus x se anulează când x este 5.
Fracția x plus 3 supra 5 minus x se anulează când numărătorul este 0, deci când x este minus 3.
Și fracția nu există când numitorul este 0, adică x egal cu 5.
În continuare folosim semnul funcției de gradul 1.
Funcția de gradul 1 are semn contrarului a până la rădăcină apoi semnului a.
A în cazul acesta este 1, deci semn contrarului 1 va fi minus până la rădăcină apoi plus.
A doua expresie de gradul 1, 5 minus x.
A este minus 1, deci negativ.
Semn contrarului a va fi plus.
Urmează minus.
Acum studiem semnul fracției.
Minus cu plus este minus, plus cu plus este plus, plus cu minus este minus.
Fracția trebuie să fie strict pozitivă, așadar ne uităm în acest interval.
Iar din această relație va rezulta că x trebuie să aparțină intervalului deschis, minus 3, 5.
Avem așadar cele 3 condiții de existență a logaritmului.
Prima, a doua și a treia, x trebuie să fie diferit de 5.
Dar observăm că această condiție deja se regăsește în condiția numărul 2,
întrucât aici am pus interval deschis la 5.
Pentru a răspunde cerințe din problemă, trebuie acum să intersectăm aceste intervale.
Așadar, din relațiile 1 și 2,
obținem că x aparține intervalului 0, 1, 2, reunit cu 1, 2, infinit,
iar acest interval se intersectează cu intervalul minus 3, 5.
Să facem și o axă.
0, 1, 2, 3, 4, 5,
minus 3, minus 1, minus 2, minus 3,
1 pe 2.
Avem așadar intervalul de la 0 la 1 supra 2
și 1 pe 2 infinit.
Să reținem așadar că punctul 1 pe 2 nu face parte din acest interval.
Apoi avem intervalul minus 3, 5.
Interval deschis minus 3, 5.
Cele două culori se suprapun în această zonă de la 0 și până la 5,
însă trebuie să scoatem numărul 1 pe 2 din intervalul 0, 5.
În consecință, x aparține intervalului 0, 1, 2, reunit cu 1, 2, 5.
Aceasta este soluția problemei.