Transcript: Linia mijlocie în trapez.

Linia mijlocie în trapez. Segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez se numește linie mijlocie.
Avem în trapez ABCD, având bazele AB și CD. Dacă punctul M este mijlocul laturii AD și punctul N este mijlocul laturii BC,
atunci vom spune că segmentul MN se numește linie mijlocie.
În continuare o să vedem o teoremă referitoare la linia mijlocie în trapez.
Linia mijlocie a trapezului este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu semisuma bazelor.
Vom demonstra această teoremă.
Se știe că M este mijlocul laturii AD, iar N este mijlocul laturii BC, adică MN este din mijlocie.
Trebuie să arătăm că MN este paralelă cu bazele, de exemplu cu baza AB, și apoi trebuie să arătăm că lungimea segmentului MN va fi egală cu AB plus CD supra 2.
O să ducem mai întâi diagonala AC și o să notăm cu P mijlocul acestei diagonale.
Dacă M este mijlocul laturii AD și P este mijlocul laturii AC din construcția făcută, va rezulta că MP este linie mijlocie în triunghiul ACD.
MP este linie mijlocie în triunghiul ACD.
Va rezulta că MP este paralelă cu CD, însă CD este paralelă cu AB, pentru că bazele unui trapez sunt paralele.
Și atunci va rezulta din aceste două relații că MP este paralelă cu AB.
Și notăm această relație cu 1.
Dacă MP este linie mijlocie în triunghiul ACD, mai rezultă că MP va avea lungimea egală cu jumătate din lungimea laturii DC.
Deci MP va fi DC supra 2.
Dacă punctul N este mijlocul laturii BC și P este mijlocul laturii AC, rezultă că PN este linie mijlocie în triunghiul CAB.
Dacă punctul P este mijlocul laturii AC, rezultă că punctul N este mijlocul laturii BC.
Și atunci din aceste două relații va rezulta că PN este linie mijlocie în triunghiul ABC.
Va rezulta că PN este paralelă cu AB și apoi mai rezultă că PN va fi jumătate din AB.
Notez această relație cu 2.
Din relațiile 1 și 2 va rezulta că MN este paralelă cu AB deoarece conform axiomei paralelelor,
printr-un punct exterior unei drepte putem duce o singură paralelă la acea dreaptă.
Dacă MP este paralelă cu AB și PN este paralelă cu AB, înseamnă că punctele MP și N sunt situate pe aceeași dreaptă, așadar MN va fi paralelă cu AB.
Am demonstrat astfel prima cerință a teoremei și mai trebuie să calculăm lungimea segmentului MN.
Din relațiile 1 și 2 rezultă că MN este paralelă cu AB conform axiomei paralelelor.
Și acum vom calcula lungimea segmentului MN. Aceasta este formată din lungimea segmentului MP plus lungimea segmentului PN.
MP este DC supra 2, iar PN este AB supra 2.
Pentru a aduna două fracții cu același numitor se adună numărătorii și am obținut astfel că lungimea segmentului MN este semisuma bazelor.
MN va fi egală cu AB plus CD supra 2.
Rețineți că linia mijlocie a unui trapez este paralelă cu cele două baze ale trapezului și are lungimea egală cu jumătate din suma bazelor.
În continuare facem o problemă.
ABCD este un trapez având bazele AB egală cu 40 cm și CD egală cu 18 cm.
Calculați lungimea liniei mijlocii a trapezului și lungimea segmentului de pe linia mijlocie cuprins între diagonalele sale.
Se știe că AB este paralelă cu CD.
Se cunosc lungimile bazelor trapezului.
Am notat cu MN linia mijlocie a trapezului, iar cu P am notat intersecția dreptelor AC și MN și cu Q am notat intersecția dintre MN și BD.
Se cere să calculăm lungimea liniei mijlocii, adică lungimea segmentului MN și lungimea segmentului pe Q.
MN va fi egală cu AB plus CD supra 2, conform teoremii demonstrate anterior.
AB este 40, CD este 18, totul supra 2, egal cu 58 supra 2 și egal cu 29 cm.
Acum trebuie să aflăm lungimea segmentului pe Q.
Vom afla mai întâi lungimea segmentului MP.
În mod analog se va calcula lungimea segmentului QN, iar pentru a afla lungimea segmentului pe Q o să facem diferența dintre MN și segmentele MP și QN.
Se știe că M este mijlocul laturii AD.
Mai știm că MP este paralelă cu DC, pentru că MN este paralelă cu DC, fiind linie mijlocie.
Și atunci rezultă că și punctul P este mijlocul laturii AC.
Am văzut această teoremă în lecția referitoare la linia mijlocie în triunghi.
Dacă P este mijlocului AC și M mijlocului AD, va rezulta că MP este linie mijlocie în triunghiul ACD.
Și rezultă că MP este jumătate din CD.
CD fiind 18, obținem că MP are lungimea de 9 cm.
Dacă N este mijlocului BC, va rezulta că și punctul Q este mijlocul laturii DB, așadar QN va fi linie mijlocie în triunghiul BCD.
N este mijlocul laturii BC, QN este paralelă cu DC, pentru că MN este paralelă cu DC, iar Q aparține secventului MN.
Și atunci va rezulta că punctul Q este mijlocul laturii DB, așadar segmentul QN este linie mijlocie în triunghiul BCD.
Și va rezulta că segmentul QN va avea lungimea egală cu jumătate din lungimea laturii DC, egal cu 18 supra 2 și egal cu 9 cm.
Am aflat până acum lungimea segmentelor MP și QN. Acestea au lungimea egală cu 9 cm.
Și acum pentru a afla lungimea segmentului PQ, din lungimea segmentului MN, o să scădem segmentele MP și QN.
MN este 29 cm și atunci vom scrie că lungimea segmentului PQ este egală cu MN minus MP minus QN, egal cu 29 minus 9 minus 9, egal cu 11 cm.
Am aflat lungimea segmentului PQ. Aceasta este egală cu 11 cm.
Haideți acum să stabilim o formulă generală de calcul pentru lungimea acestui segment PQ atunci când se cunosc bazele trapezului.
Pornim de la această relație scrisă mai sus. PQ este egal cu MN minus MP minus QN.
MN fiind linie mijlocie a trapezului, ea va fi egală cu semisuma bazelor. Deci MN este egal cu AB plus DC supra 2.
Acum MP este CD supra 2, iar QN este 10 supra 2 minus 10 supra 2.
Egal cu AB plus DC, voi scrie tot DC, minus DC totul supra 2.
DC minus DC este 0 și o să rămână la numărător AB minus DC supra 2.
În general, formula de calcul pentru lungimea segmentului determinat de linia mijlocie și diagonalele unui trapez este egală cu diferența bazelor AB minus DC supra 2.
S-ar putea ca în unele probleme AB să fie baza mică, iar DC baza mare. Și pentru a nu obține o diferență negativă, se va pune această diferență în modul, astfel încât lungimea segmentului PQ să fie un număr pozitiv.