Transcript: Limite de șiruri (sume)

In acest clip voi calcula limite de șiruri exprimate prin sume. Iată primul exercițiu. Calculați limita șirului xn egal cu 2n plus 3 supra 2 minus 1 plus 3 plus 5 plus puncte puncte plus 2n minus 1 supra n plus 2.
Pentru început vom încerca să aducem termenul general al șirului la o formă mai simplă, iar pentru asta vom scrie numărătorul celei de-a doua fracții cu ajutorul simbolului sigma.
Și vom obține limită când n tinde la infinit din 2n plus 3 supra 2 minus sumă pentru k alunt valor de la 1 la n din 2k minus 1 supra n plus 2.
Simbolul sigma se aplică la fiecare termen din paranteză și vom avea limită când n tinde la infinit din 2n plus 3 supra 2 minus sumă din 2k minus n supra n plus 2.
Suma pentru k de la 1 la n din 1 este egală cu n pentru că avem 1 adunat cu el însuși de n ori.
Coeficientul 2 va ieși în fața sumei și rămâne sumă din k pentru care avem o formulă bine cunoscută. Iat-o!
Suma primelor n numere este n pe lângă n plus 1 supra 2.
Vom aplica această formulă și obținem limită când n tinde la infinit din 2n plus 3 supra 2 minus 2 înmulțit cu n pe lângă n plus 1 supra 2 minus n totul supra n plus 2.
Se simplifică 2, desfacem paranteza și avem limită din 2n plus 3 supra 2 minus n pătrat plus n minus n supra n plus 2.
Observăm că n se reduce și după ce vom aduce la numitor comun vom obține limită când n tinde la infinit din 2n plus 3 pe lângă n plus 2 minus 2n pătrat supra 2 înmulțit cu n plus 2.
Desfacem parantezele, se reduce 2n pătrat și vom avea limită când n tinde la infinit din 7n plus 6 supra 2n plus 4.
Suntem în cazul de nedeterminare infinit pe infinit.
Putem da factor comun forțat pe n atât la numărător cât și la numitor, așa cum am explicat în lecția trecută.
Sau putem observa că avem același grad la numărător și la numitor, prin urmare limita va fi raportul coeficienților lui n, adică 7 supra 2.
Să trecem la al doilea exercițiu.
Calculați limita șirului xn egal cu 1 ori 2 plus 2 ori 3 plus puncte puncte plus n pe lângă n plus 1 supra n la 3a plus 2n plus 5.
Mai întâi vom calcula termenul general, scriind numărătorul cu ajutorul simbolului sigma și avem limită când n tinde la infinit
din sumă pentru k lung valor de la 1 la n din k pe lângă k plus 1 supra n la 3a plus 2n plus 5.
Desfacem paranteza și obținem limită când n tinde la infinit din sumă pentru k lung valor de la 1 la n din k pătrat plus sumă din k totul supra n la 3a plus 2n plus 5.
Pentru sumă din k pătrat folosim formula de mai sus, iată suma primelor n pătrate perfecte este n pe lângă n plus 1 pe lângă 2n plus 1 supra 6.
Iar pentru sumă din k aplicăm formula pe care am văzut-o la exercițiul precedent și obținem limită când n tinde la infinit din n or n plus 1 or 2n plus 1 supra 6 plus n or n plus 1 supra 2 și totul supra n la 3a plus 2n plus 5.
La numărător amplificăm a doua fracție cu 3 și vom avea limită când n tinde la infinit din n or n plus 1 or 2n plus 1 plus 3n or n plus 1 supra 6 pe lângă n la 3a plus 2n plus 5.
La numărător vom da factor comun pe n pe lângă n plus 1 și obținem limită din n pe lângă n plus 1 pe lângă 2n plus 1 plus 3 supra 6 înmulțit cu n la 3a plus 2n plus 5.
În a doua paranteză obținem 2n plus 4 și se mai poate da 2 factor comun și avem limită din 2n înmulțit cu n plus 1 înmulțit cu n plus 2 supra 6 pe lângă n la 3a plus 2n plus 5.
Se simplifică 6 cu 2, rămâne 3 la numitor și avem limită din n pe lângă n plus 1 pe lângă n plus 2 supra 3 pe lângă n la 3a plus 2n plus 5.
Observăm că avem din nou cazul de nedeterminare infinit pe infinit.
Dacă vom desface parantezele de la numărător, termenul de grad maxim va fi n la 3a.
Nu este necesar să facem toate calculele, e suficient să aflăm termenul de grad maxim.
La numitor, acesta este 3n la 3a.
Având în vedere că numărătorul și numitorul au același grad, limita va fi raportul coeficienților lui n la 3a, adică 1 supra 3.
Nu uitați să vă abonați la canal!