Transcript: Limite de funcții 5

În acest clip vom calcula două limite ale unor funcții polinomiale.
Iată primul exercițiu.
Trebuie să calculăm limita acestei funcții când x tinde la infinit.
Dacă am fi avut o limită într-un punct de acumulare finit, de exemplu x tinde la 2,
atunci am fi înlocuit pur și simplu pe x cu 2 și am fi obținut limita.
Însă dacă înlocuim pe x cu infinit,
obținem 2 ori infinit la a treia plus 8 ori infinit la a doua minus 3 ori infinit,
adică infinit plus infinit minus infinit.
Observăm astfel că prin substituție directă obținem infinit minus infinit
și nu putem preciza cu exactitate rezultatul acestei limite,
așa că vom da factor comun pe x la puterea cea mai mare, adică pe x la a treia.
Obținem limită când x tinde la infinit din x la a treia pe lângă 2 plus 8 supra x minus 3 supra x pătrat.
Când x tinde la plus infinit, fracția 8 supra x tinde la 0.
La fel se întâmplă și cu fracția 3 supra x pătrat
pentru că atunci când x ia valori din ce în ce mai mari și x la a doua va lua valori din ce în ce mai mari,
iar dacă împărțim 3 la un număr foarte mare, obținem valori apropiate de 0.
În general, orice fracție de forma k supra x la n va tinde la 0 când x tinde la infinit,
unde k poate fi orice constantă.
Regula este valabilă și când x tinde la minus infinit.
Prin urmare, calculul limitei funcției polinomiale se reduce la calculul limitei termenului de grad maxim.
Observăm că ceilalți termeni nu influențează limita
pentru că atunci când x ia valori foarte mari, x la a treia crește mult mai repede decât x la a doua sau x.
Așadar, rezultatul va fi 2 ori infinit la a treia, care este egal cu infinit.
La al doilea exercițiu avem limită când x tinde la minus infinit
din minus 3x la a șasea plus 2x la a treia minus x.
Putem ține cont de algoritmul prezentat mai sus
și vom scrie direct că limita este egală cu limita termenului de grad maxim minus 3x la a șasea.
Vom obține minus 3 ori minus infinit la a șasea.
Minus infinit la putere pară este plus infinit
și înmulțit cu minus 3 ne dă minus infinit.
În concluzie, să reținem că atunci când calculăm limita unei funcții polinomiale într-un punct de acumulare finit
se înlocuiește x cu valoarea respectivă
iar când avem punct de acumulare infinit, limita va fi egală cu limita termenului de grad maxim.