Transcript: Limite de funcţii 4

În acest video vom calcula limita unei funcții raționale, limită când extinde la 5 din x pătrat minus 8x plus 15 supra x pătrat minus 3x minus 10.
Dacă încercăm prin substituție directă, la numărător obținem 5 la a doua, adică 25 minus 40 plus 15 egal cu 0, iar la numitor avem 25 minus 15 minus 10 egal cu 0.
Prin urmare suntem în cazul de excepție 0x0.
Pentru a elimina această situație vom încerca să simplificăm fracția.
Observăm că avem funcții de gradul al doilea, iar pentru a descompune în factorii aceste expresii, o metodă ar fi să calculăm delta, apoi rădăcinile x1 și x2,
după care să aplicăm formula următoare ax pătrat plus bx plus c.
Se poate scrie a pe lângă x minus x1 pe lângă x minus x2.
În cazul de față, a coeficientului x pătrat este 1, deci se calculează cele două rădăcini, iar expresiile se pot descompune în factori folosind această formulă.
Subliniez faptul că aceste descompuneri în factori sunt necesare pentru a putea simplifica fracția dată.
În continuare vă propun o altă metodă de descompunere și anume vom scrie termenul minus 8x de la numărător sub forma minus 3x minus 5x pentru ca ulterior să dăm factor comun.
Ideea este să scriem termenul minus 8x cu ajutorul unor divizori alui 15 pentru că dacă îl scriem, de exemplu, minus 7x minus x nu ne ajută cu nimic.
Ca să fie mai clar cum găsim aceste numere, 3 și 5, ne putem gândi care sunt numerele care adunate dau 8 și au produsul 15.
La numitor vom scrie termenul minus 3x ca sumă dintre minus 5x și 2x.
În consecință vom avea limită când x tinde la 5 din x pătrat minus 3x minus 5x plus 15 supra x pătrat minus 5x plus 2x minus 10.
La numărător, din primii doi termeni, dăm factor comun pe x, iar din ultimii doi pe minus 5.
La numitor, din primii doi dăm factor comun pe x, iar din ultimii doi.
Se obține limită când x tinde la 5 din x pe lângă x minus 3 minus 5 pe lângă x minus 3 supra x pe lângă x minus 5 plus 2 pe lângă x minus 5.
În continuare, la numărător se poate da factor comun expresia x minus 3, iar la numitor x minus 5.
Vom avea limită când x tinde la 5 din x minus 3 pe lângă x minus 5 supra x minus 5 pe lângă x plus 2.
În această etapă se poate simplifica fracția cu x minus 5 și am reușit în acest fel să eliminăm cazul de nedeterminare pentru că acest factor, x minus 5, a condus la nedeterminare 0 pe 0.
După simplificare, se obține limită când x tinde la 5 din x minus 3 supra x plus 2.
Acum putem să îl înlocuim pe x cu 5 pentru că nu mai există niciun pericol, așadar limita va fi egală cu 2 supra 7.