Transcript: Limita unui şir

Un șir este o succesiune de numere care se află într-o anumită ordine.
Într-un șir, fiecare termen este indexat, adică fiecare element ocupa un loc bine precizat.
De exemplu, în șirul 2, 4, 6, 8, primul termen este 2, al doilea termen este 4, al trăilea termen este 6.
Un alt exemplu ar fi șirul 1, 1x2, 1x3, 1x4 și așa mai departe.
Există șiruri finite, de exemplu lunile anului sau șiruri infinite.
La analiză matematică vom studia șirurile infinite.
Având în vedere că ar fi imposibil să scriem toți termenii unui șir infinit,
vom folosi o expresie analitică pentru a descrie șirurile,
adică o formulă ce ne va permite să calculăm fiecare termen.
Această formulă se numește formula termenului general sau formula termenului de rang N.
Dacă notăm primul șir cu AN, atunci formula termenului general este 2N.
Înlocuind pe N cu 1 se obține primul termen A indice 1,
pentru N egal cu 2 obținem al doilea termen și așa mai departe.
De exemplu, termenul de rang 15 va fi A indice 15 egal cu 2 ori 15 egal cu 30.
Dacă notesc cu XN al doilea șir, formula termenului general va fi XN egal cu 1 supra N.
Observăm că pentru a descrie un șir încercăm să punem în evidență
o corespondență între numărul de ordine N al termenului și termenul corespunzător X indice N.
Prin urmare, un șir va fi o funcție având ca domeniu de definiție mulțimea numerelor naturale,
iar domeniul valorilor mulțimea numerelor reale.
Un șir poate fi privit ca o mulțime de perechi ordonate de numere de forma N A indice N,
unde prima componentă reprezintă locul pe care îl ocupă un termen într-un șir și acesta e număr natural,
iar a doua componentă reprezintă valoarea termenului respectiv.
Pentru primul șir vom avea perechile 1-2, 2-4, 3-6, 4-8 și așa mai departe.
Un șir poate fi reprezentat grafic pe o axă sau într-un sistem cartezian de coordonate.
Această reprezentare grafică este insuficientă pentru descrierea unui șir infinit,
dar poate fi utilă pentru a vizualiza tendința termenilor de a se apropia de o anumită valoare.
În continuare ne vom opri atenția asupra șirului 1-N.
Iată câțiva termeni ai șirului.
X1 este egal cu 1, X2 este 0,5, X3 este 0,33, X4 este 0,25, X-100 este 0,01 și X-10.000 este 0,0001.
Vom reprezenta câțiva termeni ai șirului pe o axă.
Observăm că șirul este descrescător și pe măsură ce crește rangul termenilor,
valoarea acestora se apropie de 0.
Dacă luăm în considerare o vecinătate centrată în 0,
constatăm că de la un anumit punct, toate punctele se află în interiorul vecinătății
iar în afara ei rămâne un număr finit de puncte.
Vom spune că numărul 0 este limita șirului.
Un șir Xn are limita X dacă pentru orice vecinătate V alui X există un număr natural n-V
cu proprietatea că Xn aparține lui V oricare ar fi n mai mare sau egal decât nV.
Deci un șir are limita X dacă începând de la un anumit rang,
toți termenii se află în interiorul vecinătății lui X.
E important să înțelegem că această vecinătate poate fi oricât de mică
pentru că întotdeauna va exista un rang de la care toți termenii șirului
se vor situa în interiorul vecinătății.
Am notat acest rang cu n-V pentru că el depinde de vecinătatea aleasă.
Cu cât vecinătatea este mai mică, cu atât rangul termenului Xn este mai mare.
Asta înseamnă că termenii care ocupă un loc mai îndepărtat în șir
vor avea o valoare mai apropiată de 0.
Faptul că șirul Xn are limita X se notează astfel,
limită când n tinde la infinit din Xn este egal cu X.
De ce scriem n tinde la infinit?
Pentru că dorim să vedem comportamentul sau evoluția termenilor
pe măsură ce crește rangul acestora,
pentru că nu e interesant ce se întâmplă cu primii 5 sau 10 termenii șirului.
Un șir care are limită finită se numește șir convergent.
Însă nu toate șirurile se comportă la fel de drăguți,
pentru că există și șiruri divergente.
Un șir se numește divergent dacă nu are limită.
De exemplu, șirul Xn egal cu minus 2 la puterea n.
Termenii acestui șir sunt minus 2, 2, minus 2, 2,
deci avem un șir alternant.
Un șir care are limita plus infinit sau minus infinit este de asemenea șir divergent.
De exemplu, șirul Xn egal cu 2n sau n la pătrat sau n la treia.
Limita acestor șiruri este infinit pentru că,
pe măsură ce crește rangul termenilor, va crește și valoarea acestora.
Notația limită când n tinde la infinit din 1 pe n este egală cu 0
este echivalentă cu 1 supra n tinde la 0.
Dacă 1 supra n tinde la 0, atunci și 1 supra n pătrat va tinde la 0,
pentru că limita unui produs este egală cu produsul limitelor.
În mod similar, șirul 2 supra n pătrat va tinde spre 0.
Alte exemple de șiruri care au limita 0
1 supra n la treia, 1 supra radical din n, 7 supra n la cincea.
Orice șir de forma K supra n la p,
unde K este o constantă iar p este număr strict pozitiv, va tinde spre 0.
Constanta K poate avea orice valoare.
De exemplu, dacă avem șirul 10.000 supra n și acesta va fi convergent la 0.
Primii 10.000 de termeni vor fi mai mari decât 1,
dar următorii vor avea valori din ce în ce mai apropiate de 0,
iar pe noi ne interesează evoluția termenilor pe măsură ce crește rangul acestora,
adică pe măsură ce n tinde la infinit.
În concluzie, să reținem că limita unui șir
este acea valoare spre care se concentrează termenii șirului
dacă rangul lor este suficient de mare.
În continuare, aș vrea să rezolvăm un exercițiu.
Calculați limita următoarelor șiruri.
Să calculăm prima limită.
Observăm că șirul de la numărător tinde spre plus infinit
și la fel se întâmplă și cu șirul de la numitor.
În forma aceasta nu putem calcula limita
pentru că infinit supra infinit este o operație fără sens.
Vom spune că infinit pe infinit este un caz de nedeterminare.
Și atunci vom prelucra acest șir scoțând factor comun forțat
atât la numărător cât și la numitor
și obținem n la pătrat pe lângă 1 plus 2 supra n pătrat
supra n la pătrat pe lângă 2 minus 3 supra n pătrat.
Motivul pentru care dăm factor comun forțat pe n la pătrat
este că dorim să avem fracții în care n la pătrat apare la numitor.
Am văzut că astfel de fracții tind la 0
și e mult mai ușor să lucrăm cu valori care tind la 0
decât cu valori care tind spre infinit.
Observăm că 2 supra n pătrat tinde la 0,
la fel și 3 supra n pătrat.
n pătrat se simplifică și ne rămâne 1 supra 2,
iar aceasta va fi limita șirului.
Această tehnică a forțării de factor comun
se aplică foarte des în cazul șirurilor exprimate
prin raportul a două funcții polinomiale.
Să trecem la a doua limită
și aici vom da factor comun forțat pe n la puterea cea mai mare
și obținem n la treia pe lângă 2 plus 5 supra n pătrat minus 3 supra n la treia,
iar la numitor avem n la a doua pe lângă 1 minus 1 pe n plus 6 supra n pătrat.
Observăm că 5 supra n la a doua tinde spre 0,
3 supra n la a treia tinde spre 0,
1 supra n tinde spre 0,
6 supra n pătrat tinde spre 0.
Vom simplifica n la a treia cu n la a doua și rămâne un n la numărător,
deci obținem limită din 2n care este egală cu infinit.
Și ultima limită,
vom scoate factor comun forțat n la puterea cea mai mare
și obținem n la a doua pe lângă 1 plus 1 supra n pătrat,
iar la numitor avem n la a treia pe lângă 4 minus 2 supra n pătrat plus 1 supra n la a treia.
1 supra n pătrat tinde la 0,
2 supra n pătrat tinde la 0,
1 supra n la a treia tinde la 0.
Se simplifică n la a treia cu n la a doua și rămâne la numitor n la puterea întâia.
Obținem astfel limită când n tinde la infinit din 1 supra 4n și aceasta este egală cu 0.
Acum uitați-vă puțin cu atenție la aceste exerciții și vedeți dacă există vreo legătură
între gradul numitorului și al numărătorului, adică exponentului n, și rezultatul obținut.
La prima limită, gradul numărătorului este egal cu cel al numitorului,
iar limita este raportul coeficienților termenilor de grad maxim,
în cazul nostru coeficienții lui n pătrat.
La a doua limită, gradul numărătorului este mai mare decât cel al numitorului,
iar limita este infinit.
Acest rezultat este predictibil pentru că n la a treia crește mai repede decât n la a doua
și făcând raportul, obținem un șir care tinde la infinit.
La a treia limită, gradul numărătorului este mai mic decât cel al numitorului
și în acest caz obținem un șir care e convergent la zero.
Putem ține cont de aceste aspecte în exercițiile viitoare.
La final vă las un exercițiu ca temă.
Care este limita acestui șir?