Transcript: Limita sumei a două șiruri convergente - demonstrație

În acest videoclip voi demonstra sub punctul A al teoremei 1 din cadrul lecției Operații cu șiruri convergente.
Teorema ne spune că dacă xn și yn sunt două șiruri convergente,
limita șirului xn este x și limita șirului yn este y, cu x și y reali,
atunci șirul xn plus yn este convergent și limita șirului xn plus yn va fi egală cu limita șirului xn plus limita șirului yn, adică va fi egală cu x plus y.
Voi demonstra această teoremă utilizând criteriul de convergență cu epsilon,
pentru că acest criteriu ne este util atât în stabilirea naturii șirului xn plus yn, adică în stabilirea convergenței acestui șir,
cât și în determinarea limitei șirului xn plus yn.
Din ipoteza teoremei știm că xn este un șir convergent, limita șirului xn este x.
Aceasta înseamnă că pentru un epsilon pozitiv există un rang începând de la care toți termenii șirului xn verifică inegalitatea modul din xn minus x mai mic decât epsilon.
Am notat acest rang cu n1 de epsilon.
Tot din ipoteza știm că șirul yn este convergent, limita șirului yn este y,
ceea ce înseamnă că pentru un epsilon pozitiv există un rang începând de la care toți termenii șirului yn verifică inegalitatea modul din yn minus y mai mic decât epsilon.
Am notat acest rang cu n2 de epsilon.
Considerăm epsilon1 egal cu epsilon2.
Pentru că epsilon era pozitiv, evident și epsilon1 va fi pozitiv.
Voi rescrie criteriul de convergență cu epsilon pentru șirurile xn și yn folosind de data asta epsilon1.
Am obținut că pentru că șirul xn este convergent către x, pentru orice epsilon1 pozitiv există un rang care depinde de epsilon1, dar să nu uităm că epsilon1 este epsilon2.
Deci, acest rang de fapt depinde tot de epsilon, astfel încât modul din xn minus x este mai mic decât epsilon1 pentru orice n mai mare sau egal cu n' de epsilon.
N' de epsilon este rangul începând de la care toți termenii șirului xn verifică această inegalitate și pentru că oricare ar fi epsilon1 pozitiv înseamnă oricare ar fi epsilon2 pozitiv
Care este echivalent cu oricare ar fi epsilon2 pozitiv
Voi înlocui oricare ar fi epsilon1 pozitiv cu oricare ar fi epsilon2 pozitiv
Așa că voi șterge semnul prim și rămânem doar cu oricare ar fi epsilon2 pozitiv
Pentru că yn este un șir convergent către y, pentru orice epsilon1 pozitiv există un rang, l-am notat cu n secunde de epsilon, începând de la care toți termenii șirului yn verifică inegalitatea modul din yn minus y mai mic decât epsilon1
Și aici este valabilă observația pe care am făcut-o anterior
N secunde depinde de epsilon1, dar pentru că epsilon1 este epsilon2, de fapt n secunde depinde de epsilon
Și pentru că am arătat înainte că oricare ar fi epsilon1 mai mare decât 0 este echivalent cu oricare ar fi epsilon mai mare decât 0
Voi înlocui oricare ar fi epsilon1 mai mare ca 0 cu oricare ar fi epsilon mai mare ca 0
Deci din nou șterg semnul prim
Până acum am prelucrat ceea ce ni se dădea în ipoteza teoremei
Să vedem ce trebuie de fapt să arătăm
Noi trebuie să demonstrăm că xn plus yn este convergent și că limita șirului xn plus yn este egală cu x plus y
Pentru a arăta că șirul xn plus yn este convergent și limita șirului xn plus yn este x plus y
Trebuie să arătăm că pentru orice epsilon pozitiv există n de epsilon din n stelat
Astfel încât modul din xn plus yn minus x plus y mai mic decât epsilon pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon
Alegem n de epsilon, maximul dintre n prim de epsilon și n secund de epsilon
Evident, n de epsilon va fi mai mare sau egal decât n prim de epsilon și va fi mai mare sau egal decât n secund de epsilon
În plus, n de epsilon cu siguranță va fi un număr din n stelat
Pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon
Evaluăm diferența modul din xn plus yn minus x plus y
În interiorul modulului am desfăcut parantezele
Am grupat xn cu minus x, yn cu minus y
M-am folosit de proprietatea modulului care ne spune că modulul unei sume este mai mic sau egal cu suma modulelor
Apoi m-am folosit de inegalitățile 1 și 2
Înlocuind epsilon prim cu epsilon pe 2
Și în concluzie am ajuns că pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon
Avem că modul din xn plus yn minus x plus y este mai mic decât epsilon
Așadar am arătat că pentru orice epsilon pozitiv am găsit un rang n de epsilon din n stea
Astfel încât modul din xn plus yn minus x plus y să fie mai mic decât epsilon pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon
Deci din criteriul de convergență cu epsilon rezultă că limita șirului xn plus yn este x plus y
Care este un număr real, finit
Ceea ce înseamnă în mod evident că șirul xn plus yn este un șir convergent
Am demonstrat că șirul xn plus yn este convergent și că limita sa este egală cu x plus y
Deci demonstrația subunctului A a teoremei 1 este încheiată
Dacă sunteți interesați să demonstrați și celelalte subuncte ale teoremei 1 sau teorema 2 sau teorema 3
Puteți încerca să le demonstrați singuri sau puteți găsi demonstrațiile lor în manualul de analiză matematică sau în orice altă carte de specialitate