Transcript: Legătura dintre numitorul unei fracții ordinare ireductibile și numărul zecimal obținut

Vrem să vedem acum care este legătura dintre numitorul unei fracții ordinare ireductibile și numărul decimal obținut.
Atunci când transformăm o fracție ordinară într-o fracție decimală, putem să ne dăm seama de la început ce fel de număr vom obține.
Nici măcar nu e nevoie să facem împărțirea.
De aceea și acest tip de exercițiu, iată, se dau niște fracții și fără să le transformăm, deci fără să facem împărțirile,
să determinăm acele fracții care reprezintă fracții decimale finite, decimale periodice simple și decimale periodice mixte.
Păi haideți să vedem care sunt regulile și vom începe cu acest exemplu.
18 supra 5. Vrem să scriem această fracție ordinară ca fracție decimală.
Mai întâi, verificăm dacă fracția ordinară dată este o fracție ireductibilă.
Deci acesta este primul pas. Aducem fracția dată, dacă nu este deja, la o fracție ireductibilă.
Noi avem deja, nu mai poate fi simplificată, atunci nu ne rămâne decât să împărțim pe 18 la 5.
Haideți să facem rapid împărțirea. Bun. 5 intră în 18 de 3 ori, 3 ori 5 ne dă 15, obținem aici 3.
Acum, trebuie să coborăm primul 0 nesemnificativ.
Păi nu mai e nevoie să trecem neapărat virgula și acel 0, însă în momentul în care am trecut un 0 aici, trebuie să punem virgula la cât?
30. Împărțit la 5 ne dă 6 ori 5, 30. Iată că împărțirea s-a încheiat, am obținut 3.6.
Sau un alt exemplu, 27 supra 4. Înseamnă 27 împărțit la 4.
Din nou, mai întâi verificăm dacă avem o fracție reductibilă și într-adevăr avem așa ceva.
4 se împarte la 2, 27 nu se împarte la 2, e un număr impar, deci putem să facem liniștiți împărțirea.
27 împărțit la 4. Avem aici 6, 6 ori 4, 20 și 4 și obținem restul 3.
Întotdeauna, atenție, restul pe care îl obținem trebuie să fie mai mic decât împărțitorul.
Așa putem mereu să verificăm că împărțirea pe care o facem este una făcută corect.
Bun, acum coborăm 0, deci trebuie să trecem virgula la cât? 30 împărțit la 4.
7, 7 ori 4 ne dă 28, iată obținem aici restul 2, 2 iarăși este mai mic ca 4.
Coborăm 0, 20 împărțit la 4 ne dă 5 ori 4, 20 și s-a încheiat.
Am obținut 6,75.
Putem să luăm și alt exemplu, dacă am face 27, haideți să luăm tot cu 27,
supra 10 numărul pe care îl vom obține va fi 2,7.
De fapt, regula este următoarea.
Dacă numitorul, deci dacă numitorul unei fracții, atenție, ireductibile,
conține sau este alcătuit doar din puteri ale lui 5 sau 2,
atunci rezultatul pe care îl vom obține va fi o fracție decimală finită.
Toate aceste fracții decimale sunt finite.
Iată, care sunt numitorii noștri?
Păi prima dată am avut numitorul 5.
A doua oră am avut numitorul 4, care se scrie 2 ori 2.
Apoi am avut 10, care se scrie 2 ori 5.
Dacă am avea, de exemplu, o altă fracție cu numitorul 50, o fracție ireductibilă,
atunci haideți să trecem aici, nu știu, 31,
atunci rezultatul pe care îl vom obține va fi sigur o fracție decimală finită,
pentru că numărul 50, numitorul, cum se scrie?
Este 2 ori 25, adică 2 ori 5 ori 5.
Cu alte cuvinte, dacă la o fracție ireductibilă numitorul este alcătuit doar din factorii 2 și 5,
respectiv puterea ale lui 2 și ale lui 5,
atunci rezultatul pe care îl vom obține va fi un număr decimal finit.
Dacă avem însă această situație și avem fracția 28 supra 3,
din nou verificăm dacă fracția ordinară dată este una ireductibilă.
Aici avem 28, nu se împarte exact la 3, deci avem o fracție ireductibilă.
Deci facem împărțirea 28 împărțit la 3.
Și haide să împărțim.
28 împărțit la 3, avem 9 ori 3 ne dă 27, obținem aici restul 1.
Coborăm acum 0, asta înseamnă că la cât vom trece virgula.
10 împărțit la 3, de 3 ori.
3 ori 3 ne dă 9, obținem 1.
Iarăși coborăm 10 împărțit la 3, tot 3.
3 ori 3 ne dă 9, din nou obținem 1.
Și așa mai departe.
Vom trece, vom coboră 0, vom obține din nou 3, iarăși 1 și așa mai departe.
Deci rezultatul este 9, perioadă 3.
Deci venim și notăm 9, perioadă 3.
Sau alt exemplu, 25 împărțit la 9.
Deci 25 împărțit la 9.
Este aceasta o fracție ireductibilă?
Da.
Cât vom avea?
Dacă facem împărțirea, rezultatul va fi 2, perioadă 7.
Sau un alt exemplu, e o împărțire pe care am făcut-o într-o altă secvență video,
47 supra 21.
Facem împărțirea și aceasta este o fracție ireductibilă, 21.
Are ca factorii pe 3 și 7.
47 nu se împarte exact nici la 3, nici la 7.
Și vom obține acest număr.
Avem 2, și în perioada avem cifrele 2, 3, 8, 0, 9, 5.
Deci avem 2,238.095.
Ce observăm?
Peste tot am obținut fracții decimale, periodice, atenție, simple.
Observăm, da, toate sunt periodice simple.
Ei bine, regula este următoarea.
Atunci când avem o fracție ordinară ireductibilă,
dacă numitorul ei nu conține nici o putere a lui 2 și nici o putere a lui 5,
atunci rezultatul va fi o fracție decimală periodică simplă.
Păi ce numitori am avut?
Am avut aici numitorul 3.
Am avut aici numitorul 9, care se scrie 3x3.
Am avut aici numitorul 21, care se scrie 3x7.
Păi pe nicăieri nu ne-a apărut factorul 2 sau vreo putere a lui 2, evident diferită de 2 la 0,
sau vreo putere a lui 5, tot așa diferită de 5 la 0.
În asemenea, în situații vom obține o fracție decimală periodică simplă.
Dacă avem însă acest caz, și voi lăsa aici cuvântul ireductibilă,
pentru că dacă ni se dă tot așa o fracție ireductibilă,
de exemplu 25 supra 6, și aceasta e ireductibilă,
atunci când facem împărțirea, să vedem ce vom obține.
25 împărțit la 6.
Avem 4x6, 24, obținem aici restul 1.
Coborâm 0, deci trebuie 10 în virgula la cât.
10 împărțit la 6, odată 1x6, 6, obținem aici 4.
Coborâm 0, 40 împărțit la 6, este 6.
6x6, 36, și obținem aici 4.
Din nou trebuie să trecem 0, din nou vom avea aici 6.
6x6, tot așa 36, din nou 4, și așa mai departe.
Deci rezultatul va fi 4,1 perioadă 6.
Ce fel de fracție am obținut aici?
Avem o fracție decimală periodică, atenție, mixtă.
Cum este numitorul?
Păi numitorul 6 se scrie 2x3.
Deci regula este următoarea.
Dacă la o fracție ireductibilă, numitorul conține pe lângă alți factori și factorii 2 sau 5,
atunci rezultatul va fi o fracție decimală periodică mixtă.
Cu alte cuvinte, regulile sunt următoarele.
Dacă numitorul unei fracții ireductibile conține doar puteri ale lui 2 sau 5,
atunci vom obține o fracție decimală finită.
Dacă însă nu conține nicio putere a lui 2 și nicio putere a lui 5,
atunci vom avea o fracție decimală periodică simplă.
Deci numitorul conține alți factori, însă nu conține puteri ale lui 2, evident diferite de 2 la 0,
și puteri ale lui 5 diferite de 5 la 0.
Atunci vom avea o fracție decimală periodică simplă.
Dacă avem însă o combinație, adică numitorul conține pe lângă alți factori și vreo putere a lui 2 sau a lui 5,
atunci vom avea o fracție decimală periodică mixtă.
Și acum, haideți să revenim la primul exercițiu.
Mi se dau aceste 5 fracții ordinare și, fără să facem împărțirile,
vrem să vedem care dintre ele reprezintă fracții decimale finite sau decimale periodice simple sau mixte.
Deci, mai întâi, ce trebuie să facem?
Trebuie să verificăm pentru fiecare fracție în parte dacă avem o fracție ireductibilă.
După ce am făcut acest lucru, ne vom uita la numitor.
3 supra 2 este ireductibilă. Cum este numitorul?
Păi, numitorul este format doar din numărul 2.
Deci, vom obține o fracție decimală finită.
Trecem aici, 3 supra 2.
17 pe 6. Tot așa este o fracție ireductibilă.
Cum îl scriem pe 6?
Păi, 6 se scrie 2 ori 3.
Deci, iată că suntem la ultima regulă, adică pe lângă alți factori,
pe lângă factorul 3, ne apare și factorul 2.
Asta înseamnă că vom obține o fracție decimală periodică mixtă.
17 pe 6.
11 pe 25. Din nou este o fracție ireductibilă.
25 cum se scrie?
Din ce factor este al cătui numărul 25?
Păi, avem 5 ori 5.
E bine, o fracție al cărei numitor conține doar puteri ale lui 2 sau 5
va deveni o fracție decimală finită.
Deci, venim aici și notăm 11 supra 25.
12 supra 77. Și aici avem o fracție ireductibilă.
77 cum se scrie?
Păi, se împarte exact la 7 și avem 7 ori 11.
Iată că în această scriere nu ne apar puteri ale lui 2 sau 5.
Deci, factorii 2 și 5 nu ne apar aici.
Asta înseamnă că vom avea ce fel de fracție?
Decimală periodică simplă.
Deci, venim și notăm 12 supra 77.
Și în final, 28 pe 15. Este tot așa ireductibilă.
15 se scrie 3 ori 5.
Iată că pe lângă factorul 3 ne apare factorul 5.
Deci, avem o combinație.
Deci, ne încadrăm în ultima regulă.
Vom avea o fracție decimală periodică mixtă.
28 supra 15.
Și cu aceasta am încheiat.