Transcript: Legătura dintre ecuația de gradul întâi cu două necunoscute și funcția liniară
Să vedem acum ce legătură este între ecuația de gradul întâi cu două necunoscute și o funcție liniară.
Și vom începe cu acest exemplu. E un exemplu pe care l-am făcut atunci când am discutat despre ecuații de gradul întâi cu două necunoscute.
Mi se dă această ecuație. x și y sunt numere reale și vrem să reprezentăm geometric mulțimea soluțiilor acestei ecuații.
L-am scris pe y în funcție de x, apoi am făcut tabelul de valori, am dat lui x două valori, pentru că știm,
mulțimea soluțiilor este o dreaptă, deci avem nevoie de două puncte pentru a trasa dreapta respectivă.
Am găsit coordonatele acestor puncte, iată-le aici, și am trasat dreapta de ecuație 2x minus y plus 5 egal 0.
Acum, de vreme ce variabila y depinde de variabila x, pentru că, iată, y se scrie în funcție de x,
de vreme ce avem și un tabel de valori exact cum aveam la funcții, iar grafic, dacă reprezentăm această ecuație,
obținem o dreaptă, la fel cum obțineam la funcții liniare, atunci, nu cumva există o legătură între funcțiile liniare și ecuațiile de gradul 1 cu 2 necunoscute?
Păi, dacă ni se dă o ecuație de această formă, cum este aceasta de aici, atunci, pe baza ei putem să construim o funcție.
Și haide să ștergem acest calcul.
Cum construim această funcție?
Păi, în loc de variabila y, putem să denumim variabila f de x.
Haide să scriu ceva mai jos sau alături ca să se vadă.
Deci, aici putem scrie f de x și atunci vom avea funcția f, trebuie să construim și domeniu și codomeniu corespunzător.
Funcția f e definită pe ce mulțime?
Păi, x e număr real, deci o definim pe mulțimea numerelor reale cu valori în y, adică f de x, este tot un număr real, deci codomeniu e tot mulțimea r, f de x este 2x plus 5.
Graficul acestei funcții, reprezentarea geometrică a graficului acestei funcții liniare, este tot această dreaptă.
Deci, dacă reprezentăm geometric graficul funcției f, obținem aceeași dreaptă ca aici.
Înceată că pornind de la această ecuație, am construit o funcție liniară.
Însă, foarte mare atenție, nu pe baza oricărei ecuații putem să construim o funcție.
Dacă avem, de exemplu, această ecuație, x egal cu 3, pe baza acestei ecuații putem construi o funcție.
Această egalitate poate fi privită ca o ecuație de gradul întâi cu două necunoscute, pentru că o putem scrie astfel, x adunat cu 0 înmulțit cu y,
deci coeficientul variabilei y este 0, din această cauză nu apare y aici, egal cu 3 sau putem trece pe 3 peste egal cu semn schimbat și vom avea minus 3 egal cu 0.
Haideți să reprezentăm mulțimea soluțiilor acestei ecuații.
Deci avem nevoie de un tabel de valori pe care o să-l așez chiar mai jos și vom nota aici x și y.
Întotdeauna x, ce valoare ea? X este întotdeauna egal cu 3, se vede foarte clar de aici.
Atunci, cât este y? Y este un număr real, de fapt, în locul lui y putem trece orice valoare reală dorim.
Pentru că, iată, de vreme ce x este 3 adunat cu 0 ori, orice număr real vrem, de exemplu 1, minus 3 ne dă 0.
Avem 3 minus 3 egal cu 0, deci în locul lui y putem trece 1 sau putem trece orice alt număr real, de exemplu să trecem 4.
Deci x este 3 și y este 4.
Trecem aceste două puncte într-un sistem de coordonate. Avem punctele de coordonate 3 și 1, 3 și 4.
Fiind aceasta o ecuație de gradul întâi cu două necunoscute, înseamnă că reprezentarea geometrică a mulțimii soluțiilor este ceanume o dreaptă.
Deci haideți să desenăm aceste puncte. Avem aici 1, 2, 3, de fapt 3 este mai aici și ordonata 1 o trecem aici.
Deci vom obține acest punct. Dacă avem ordonata 4, deci aici este 2, 3 și 4 și vom avea, găsim acum și al doilea punct.
Dreapta determinată de aceste două puncte este aceasta. Haideți să șterg aici să se vadă că avem de fapt numărul 3.
Acum avem tabelul de valori pentru această ecuație, avem și reprezentarea geometrică a mulțimii soluțiilor.
Deci pornind de la această ecuație, putem să formăm o funcție?
Nu, pentru că domeniul de definiție are un singur element și e ușor de văzut că el are o infinitate de corespundenți.
3 merge în 1, 3 merge în 4, de fapt numărul 3 merge în orice număr real dorim.
E clar că acesta nu poate fi graficul unei funcții, deci pornind de la o asemenea ecuație, nu putem forma o funcție lineară.
Concluzia este că nu pe baza oricărei ecuații de gradul 1 cu 2 necunoscute putem construi funcții liniare.
Însă, dacă ni se dă o funcție lineară, deci o funcție, să o notăm f definită pe r cu valori în r, f de x egal cu a înmulțit cu x adunat cu b,
unde notăm că a și b sunt numere reale.
Ei bine, dându-ni se o asemenea funcție, pe baza ei putem să construim o ecuație de gradul 1 cu 2 necunoscute.
Pentru că în locul variabilei f de x trecem variabila y egal cu a or x plus b.
Ce avem aici este o ecuație de gradul 1 cu 2 necunoscute.
Necunoscutele sunt y și x și o putem scrie în formă echivalentă, astfel a or x minus y îl trecem pe y peste egal cu semn schimbat plus b ne dă 0.
Cu x și y numere reale, iată x aparține lui r, y la fel și el, x și y parcurg mulțimea numerelor reale și am obținut o asemenea ecuație.
Deci concluzia este următoarea.
Dacă avem aici universul, să-l numim așa, universul funcțiilor liniare, iar aici universul ecuațiilor de gradul 1 cu 2 necunoscute.
Dacă ni se dă o funcție liniară, atunci pe baza ei putem să construim ecuații de gradul 1 cu 2 necunoscute, exact cum am făcut și aici.
Invers însă, nu se poate, pentru că nu pe baza oricărei ecuații de gradul 1 cu 2 necunoscute putem să formăm funcții liniare.
Deci această săgeată o să o tăiem.
Și reamintesc că am avut acel exemplu cu ecuația x egal cu 3, iar pe baza unei asemenea ecuații nu putem să formăm funcții liniare.
Cam așa s-ar putea exprima legătura între funcții liniare și ecuațiile de gradul 1 cu 2 necunoscute.