Transcript: Latura, apotema și aria triunghiului echilateral

În această lecție o să deducem formulele de calcul pentru latura, apotema și area unui triunghi echilateral în funcție de raza cercului circumscris triunghiului.
În lecția anterioară am determinat formulele de calcul pentru latura, apotema și area unui poligon cu n laturi.
Vi la reamintesc, latura poligonului este 2r sin 180 de grade supra n, unde n este numărul de laturi ale poligonului, apotema este raza or cosinus de 180 de grade supra n, iar area este n r la 2a sin 180 de grade supra n cosinus de 180 de grade supra n.
Avem în această figură triunghiul echilateral ABC, apotema acestui triunghi este OM, iar segmentele AO, BO și CO sunt raze.
Pentru a calcula latura triunghiului echilateral, pe care o să o notez cu L3, înlocuim pe n cu 3, deoarece triunghiul are 3 laturi și obținem 2r or sin 180 de grade supra 3.
Egal cu 2r or sin de 60 de grade, egal cu 2r or radical din 3 supra 2, se simplifică 2 cu 2 și obținem r radical din 3.
Deci latura triunghiului echilateral va fi raza or radical din 3.
Continuăm cu apotema triunghiului A3, va fi egală cu r or cosinus de 180 de grade supra 3, egal cu r or cosinus de 60 de grade, egal cu r or 1 supra 2, egal cu r supra 2.
Iar area triunghiului echilateral este 3 or r la 2a or sin de 180 de grade supra 3 or cosinus de 180 de grade supra 3, egal cu 3r pătrat or sin de 60 de grade or cosinus de 60 de grade.
Egal cu 3r la 2a or radical din 3 supra 2 or 1 supra 2, egal cu 3r la 2a radical din 3 supra 4.
Aceasta va fi formula de calcul pentru area unui triunghi echilateral în funcție de raza cercului circumscris triunghiului.
Dacă dorim să exprimăm area triunghiului în funcție de latura triunghiului, revenim la formula L3 este raza radical din 3.
Ridicăm la pătrat această relație și obținem că L la 2a este egal cu 3r la 2a și atunci formula de calcul pentru area triunghiului.
În loc de 3r la 2a, scriem L la 2a și obținem L pătrat radical din 3 supra 4.
Aceasta este formula de calcul pentru area triunghiului în funcție de latura triunghiului echilateral.
În cazul în care dorim să calculăm și perimetrul triunghiului, înmulțim latura triunghiului cu 3 și atunci perimetrul triunghiului echilateral va fi 3r radical din 3.
În cazul în care nu rețineți aceste formule de la care am pornit, există și o altă variantă de a calcula apotema, latura și area triunghiului echilateral.
În continuare o să vă prezint și această metodă.
Pentru aceasta este suficient să știți teorema lui Pitagora pe care o să o aplicăm imediat
și mai trebuie să știți faptul că într-un triunghi echilateral, punctul O, adică centrul cercului circumscris triunghiului,
este și punctul de intersecție al medianelor, AM este și înălțime și mediană în acest triunghi,
iar centrul de greutate are o proprietate importantă și anume, el este situat la 2 treime de vârf și la 1 treime de bază.
Așadar, segmentul AO, care reprezintă raza cercului circumscris, este 2 treimi din lungimea segmentului AM,
AM este înălțime în acest triunghi și atunci raza va fi 2 treimi din înălțimea triunghiului,
iar OM, care este apotema triunghiului, este o treime din lungimea segmentului AM și atunci apotema va fi 1 pe 3 ori H.
Dacă împărțim aceste două relații membru cu membru, obținem că R supra apotema este egal cu 2 supra 3 ori H supra 1 pe 3 ori H.
Se simplifică înălțimea, obținem 2 supra 3, inversăm a doua fracție ori 3 supra 1, se simplifică 3 și egal cu 2.
Am obținut astfel că raza supra apotema egal cu 2.
Putem să înmulțim pe diagonală și obținem că 2 ori apotema este egal cu raza, de unde rezultă că apotema este raza supra 2.
Aceeași formulă am obținut și mai devreme.
Pentru a exprima în continuare lungimea laturii triunghiului în funcție de rază, o să aplicăm teorema Lipitagora în triunghiul dreptunghic AMC.
Notăm latura triunghiului cu L, AC va fi L, iar MC va fi L supra 2, pentru că punctul M este situat la mijlocul laturii BC.
Aplicăm teorema Lipitagora în triunghiul AMC.
Am la pătrat plus MC la pătrat este egal cu AC la pătrat.
Ne propunem să găsim o relație între latura și înălțimea triunghiului.
H la pătrat plus L supra 2 totul la pătrat este egal cu L la a doua.
H la a doua plus L la a doua supra 4 este egal cu latura la puterea a doua.
H la a doua va fi egal cu L la a doua minus L la a doua supra 4.
Amplificăm cu 4.
Obținem că H la pătrat este egal cu 4L la a doua minus L la a doua totul supra 4.
Înălțimea la pătrat va fi egal cu 3L la a doua supra 4.
Înălțimea va fi radical din 3L la a doua supra 4 și egal cu latura radical din 3 supra 2.
Este bine să rețineți și formula înălțimii unui triunghi echilateral în funcție de latura triunghiului.
Raza este două treimi din înălțimea AM.
R este egal cu 2 supra 3 ori H și egal cu 2 supra 3 ori R radical din 3 supra 2.
Se simplifică 2 și 2.
Obținem că raza este egală cu latura radical din 3 supra 3.
Înălțim pe diagonală 3R este egal cu latura radical din 3.
Ca să-l aflăm pe L împărțim egalitatea la radical din 3 și obținem că L este egal cu 3 ori raza supra radical din 3.
Putem să raționalizăm și obținem 3R radical din 3 supra 3.
Se simplifică 3 cu 3 și obținem R radical din 3.
Am obținut aceeași formulă ca și mai devreme.
Latura triunghiului este raza ori radical din 3.
Această metodă presupune mai multe calcule însă este bine să știți să deduceți anumite formule
în cazul în care nu reușiți să le țineți minte.
Am determinat până acum apotema și latura triunghiului.
Mai trebuie să aflăm aria triunghiului.
Aria este baza ori înălțimea supra 2 adică BC ori AM supra 2.
Aria triunghiului este baza ori înălțimea supra 2 adică BC ori AM supra 2
egal cu 1 supra 2 ori BC este latura triunghiului iar AM este înălțimea.
Înălțimea este latura radical din 3 supra 2
egal L ori L este L la pătrat radical din 3 supra 4.
Am determinat formula ariei unui triunghi echilateral în funcție de latura triunghiului.
Dacă vrem să calculăm aria și în funcție de rază,
pornim de la relația dintre latura și raza triunghiului.
Știm că L este raza radical din 3.
Ridicăm la pătrat relația și obținem că L la a doua este 3 ori raza la a doua.
Înlocuim formula de mai sus și obținem că aria triunghiului va fi egală cu 3 R la a doua radical din 3 supra 4.
Am obținut și formula de calcul pentru aria triunghiului în funcție de raza cercului circunscris.
În continuare o să facem două exerciții.
O primă problemă. Se știe că latura unui triunghi echilateral este radical din 6 cm.
Se cere să calculăm aria triunghiului.
Vă reamintesc că formula de calcul pentru aria triunghiului echilateral este latura la a doua radical din 3 supra 4.
Folosim această formulă pentru că ni se dă în problemă latura triunghiului.
Aria triunghiului va fi egală cu radical din 6 la pătrat ori radical din 3 supra 4.
Radical din 6 la a doua este 6.
6 radical din 3 supra 4.
Se simplifică prin 2. 6 părți la 2 este 3. 4 părți la 2 este 2.
Și obținem 3 radical din 3 supra 2 cm pătrați.
Și o a doua problemă.
Se știe că aria unui triunghi echilateral este 75 radical din 3 cm pătrați.
Se cere să calculăm raza cercului circunscris triunghiului.
De data aceasta vom scrie formula ariei triunghiului în care intervine raza cercului circunscris.
Aria este 3 r la a doua radical din 3 supra 4.
Se știe că aria este 75 radical din 3 egal cu 3 r la a doua radical din 3 supra 4.
Din această relație trebuie să aflăm necunoscuta r.
Îl mulțim pe diagonală și obținem 4 ori 75 radical din 3 egal cu 3 r la a doua radical din 3.
Pentru că aveam același radical în ambii membri împărțim la radical din 3 și obținem că 4 ori 75 va fi egal cu 3 r la a doua.
Pentru a-l afla pe r împărțim această egalitate la 3.
Am ales să nu fac această înmulțire pentru că 75 este un număr divizibil cu 3 și este mai ușor să facem simplificări decât să facem înmulțiri.
Astfel obținem că r la a doua este egal cu 4 ori 75 supra 3.
Se simplifică 75 cu 3.
3 în 7 se cuprinde de 2 ori, 3 în 15 de 5 ori și egal cu 4 ori 25.
Astfel r la a doua va fi egal cu 100, r este egal cu radical din 100, raza va fi egală cu 10 centimetri.