Transcript: Intervale mărginite și nemărginite de numere reale

Cu siguranță ați mai auzit cuvântul interval în diferite contexte, de exemplu, în intervalul de timp de la 8 la 10 am lecție de tenis.
Asta înseamnă că de la ora 8 până la ora 10, pe întreaga durată a acestui interval de timp, fac tenis.
Însă, în această secvență nu vom discuta despre intervale de timp, ci despre intervale de numere reale.
Și avem aici o axă a numerelor și vrem să găsim toate numerele reale, deci x număr real,
cu proprietatea că x este mai mare sau egal cu 2 și mai mic sau egal cu 3,5.
Acum, ca să înțelegem mai bine, vom exprima geometric această relație pentru că e o exprimare mai intuitivă.
Pentru aceasta, considerăm punctul A mare de coordonată 2, punctul B mare de coordonată 3,5
și vom reprezenta aceste două puncte A și B chiar pe axa numerelor.
Avem aici unitatea de măsură, deci aici este numărul 1, numărul 2 este aici, trecem 2, punctul A mare de coordonată 2,
3 este aici, 4 este aici, noi vrem să trecem pe 3,5, deci la jumătatea distanței dintre 3 și 4.
Bun, l-am trecut aici, 3,5, avem punctul B.
Acum, noi vrem să găsim toate numerele reale care sunt situate între 2 și 3,5.
Cu alte cuvinte, vrem să găsim toate punctele care au coordonata între 2 și 3,5, deci toate punctele situate între A și B.
Păi, dacă privim acest desen, punctele situate între A și B, ce vom obține?
Iată, vom obține de fapt un segment, mai mult vom obține chiar un segment închis, segmentul închis AB.
Bun, de ce se obține acest segment?
Păi, dându-se o dreaptă, știm că axa numerelor reale este în esență o dreaptă,
dacă luăm pe o dreaptă două puncte, de exemplu A și B, atunci, oricât de apropiate ar fi cele două puncte,
între ele mai găsim un al treilea punct, de exemplu acesta.
Apoi, între acest punct și punctul A mai există încă un al treilea punct care și el,
încă un al patrulea punct de fapt care și el, este între 2 și 3,5.
Și acest proces se tot repetă și, de fapt, vom obține o infinitate de puncte care au coordonata între 2 și 3,5.
Și cum oricărui punct care se află între A și B îi corespunde o coordonată, adică un număr real situat între 2 și 3,5,
înseamnă că vom obține, de fapt, o infinitate de numere reale între 2 și 3,5.
Această mulțime reprezintă, de fapt, un interval de numere reale.
Cum îl notăm? Păi, fie îl notăm geometric, da, dar, în general, un interval de numere reale îl notăm algebric, astfel,
punctul A are coordonata 2, deci trecem 2, punctul B are coordonata 3,5.
Trecem punct și virgulă între coordonate ca să le separăm și folosim același tip de paranteze.
Deci avem aici un interval închis 2, 3,5. Capetele intervalului sunt 2 și 3,5.
De ce el este un interval închis? Pentru că, iată, x poate să ia și valoarea 2 și valoarea 3,5.
Deci avem aici mai mic sau egal, la fel și aici mai mic sau egal.
De fapt, orice număr real care verifica această relație, deci orice număr real x mai mare sau egal cu 2 și mai mic sau egal cu 3,5,
înseamnă că face parte din această mulțime, deci e echivalent cu a spune că x aparține acestei mulțimi.
Haideți să trecem mai sus să se vadă clar. Bun.
Haideți să vedem acum dacă numărul radical din 5 aparține oare acestui interval închis 2, 3,5.
Acesta este un interval mărginit. De ce spunem că este mărginit? Pentru că îi cunoaștem marginile. Avem aici numărul 2 și 3,5.
Bun. Pentru a vedea dacă radical din 5 aparține acestui interval, putem să folosim o aproximare a lui radical din 5.
Și iată, avem aici un calculator. Dacă facem radical din 5, ce am obținut aici este evident tot o aproximare.
Dacă vrem să-l aproximăm prin lipsă folosind 20 male, obținem 2,23.
Radical din 5 e aproximativ egal cu 2,23 și să vedem acum dacă acest număr, adică radical din 5, este mai mare sau egal cu 2 și mai mic sau egal cu 3,5.
Și într-adevăr, acest număr e cuprins între 2 și 3,5, deci venim aici și ștergem că radical din 5 aparține acestui interval.
Dar numărul 3,49 aparține intervalului închis 2, 3,5.
Păi să vedem dacă 3,49 este mai mare sau egal cu 2 și mai mic sau egal cu 3,5.
Este mai mare sau egal cu 2 și aici dacă vreți putem să mai completăm cu o decimală, trecem un 0 nesemnificativ.
3,49 este mai mic sau egal cu 3,50, deci aparține acestui interval.
Dar numărul 3,5001 aparține oare intervalului închis 2, 3,5?
Păi numărul 3,5001 clar e mai mare decât 2, însă 3,5001 cum este față de 3,5?
Păi aici avem 4 decimale, putem să completăm cu încă 3 0-uri nesemnificative, nu se schimbă cu nimic numărul nostru.
Și acum haideți să comparăm, partea întreagă e egală cu partea întreagă de aici, prima decimală de aici e egală cu prima de aici, a doua decimală este egală cu a doua de aici,
la fel și cea de a treia decimală de aici e egală cu aceasta, însă a patra decimală este mai mare decât a patra decimală de aici, deci acest număr este strict mai mare decât 3,5,
deci venim și ștergem că acest număr dat nu aparține acestui interval.
Bun, acum există mai multe tipuri de intervale, următorul tip de interval e dat de această relație, vrem să găsim toate numerele reale X cu proprietatea că X este mai mare strica 2 și mai mic strica 3,5
și am trecut aici pe axa numerelor punctul A de coordonată 2 și B de coordonată 3,5.
Acum, care sunt numerele reale strict mai mari ca 2 și strict mai mici ca 3,5?
Păi, dacă vom reprezenta geometric ce vom obține?
Vom avea tot un segment însă, atenție, avem acum un segment deschis pentru că, iată, X nu poate să ia valoarea 2, asta înseamnă că punctul A de coordonată 2 nu are ce să caute în această mulțime,
la fel nici punctul B, avem X este strict mai mic ca 3,5, nu mai mic sau egal cum era mai sus.
Deci, am obținut segmentul deschis AB.
La fel este și intervalul nostru, avem intervalul deschis 2, 3,5, este tot un interval mărginit însă este interval deschis pentru că numărul 2 nu aparține acestei mulțime,
chiar putem să notăm, deci 2 nu aparține acestei mulțime, la fel 3,5 nu aparține acest interval deschis 2, 3,5.
Dacă ni se dă inegalitatea X mai mare sau egal cu 2 și mai mic strict decât 3,5 când X este un număr real, atunci ce vom obține?
X poate să ia și valoarea 2, dar nu poate să ia și valoarea 3,5, de fapt avem tot un segment însă pentru că aici avem 2 mai mic sau egal cu X,
înseamnă că vom avea un segment închis la acest capăt și deschis la acesta pentru că X nu poate să ia valoarea 3,5.
Deci avem acest segment închis la A, deschis la B și intervalul este intervalul închis la acest capăt și deschis la 3,5, deci deschis la dreapta.
Putem să spunem că 2 aparține acest interval însă 3,5 fiind un interval deschis la acest capăt nu aparține intervalului 2, 3,5.
Sau putem să avem această situație în care, iată, X este stric mai mare ca 2 și mai mic sau egal cu 3,5 și atunci vom obține un segment deschis la acest capăt, închis la acesta,
deci un interval deschis la 2 și închis la 3,5 evident cu aceste condiții.
Dacă avem acum această inequatie, deci vrem să găsim toate numerele reale care sunt mai mari sau egale cu 2,
Păi haideți să trecem aici pe axa numerelor punctul A mare de coordonată 2, care sunt numerele mai mari sau egale cu 2.
Tot ce avem în această parte a axei numerelor reale.
Și ce obținem din punct de vedere geometric?
Păi avem aici acest punct de la care pornim și observăm că aici nu avem nicio margine, de fapt obținem o semidreaptă.
Păi ca să scriem semidreapta avem originea însă mai avem nevoie de încă un punct, așa că haideți să luăm aici, vom avea numărul 3 și aici numărul 4, trecem punctul C de coordonată 4
și vom avea semidreapta AC cu originea în A și acum cum X poate să ia și valoarea 2 înseamnă că punctul A face parte din această semidreaptă, deci avem o semidreaptă închisă.
Bun, ca să scriem intervalul ne vom uita aici pe axa numerelor, deci avem un interval închis la stânga unde avem numărul 2
și ca să arătăm faptul că avem acum atenție un interval nemărginit în loc de unul mărginit ca până acum, aici vom trece plus infinit, deci avem intervalul închis la stânga 2 plus infinit,
interval nemărginit, întotdeauna când avem de a face cu acest simbol, semnul pe care îl vom trece va fi o paranteză deschisă și atenție, plus infinit nu este un număr real ci este un simbol pe care îl folosim pentru a arăta nemărginirea.
Dacă avem această situație, iată, avem de determina toate numerele reale care sunt strict mai mari ca 2, asta înseamnă că punctul A de coordonată 2 nu face parte din această mulțime, deci avem o semidreaptă deschisă în A și avem intervalul deschis și nemărginit 2 plus infinit.
Acum, dacă vrem să determinăm toate numerele reale care sunt mai mici sau egale cu 2, ce vom obține?
Păi să trecem punctul A de coordonată 2 pe axă, înainte de aceasta, haideți să așezăm tot ce e aici ceva mai sus, bun, și am spus că vom trece punctul A mare de coordonată 2 pe axa numerelor.
Care sunt numerele mai mici sau egale cu 2?
Păi vorbim de fapt de aceste numere, iată, care fac parte din această zonă axei numerelor reale.
Ce obținem acum? Avem o semidreaptă închisă pentru că, iată, x poate să ia și valoarea 2, deci punctul A face parte din această semidreaptă.
Să notăm aici cu O originea axei numerelor, originea semidreptei însă este A, deci avem semidreapta închisă A O.
Cum scriem acum intervalul? Păi dacă aici aveam plus infinit, atunci în partea stângă avem minus infinit și avem intervalul nemărginit minus infinit 2.
Aici trecem paranteză rotundă când avem acest semn și aici, având un interval închis la dreapta, trecem paranteză pătrată.
La fel, minus infinit, haide să notăm aici, nu este un număr real. El ne arată faptul că avem un interval nemărginit.
Interval nemărginit avem și în această situație în care x este stric mai mic decât 2.
Singura diferență este că avem acum o semidreaptă deschisă și avem intervalul deschis în partea dreaptă și nemărginit minus infinit 2.
Deci, avem intervale nemărginite cum sunt acestea trei și haide să-l vedem și pe cel dinainte.
Deci, intervale nemărginite corespunzătoare unor semidrepte și intervale mărginite, iată, avem aici două exemple și încă două exemple și ele sunt corespunzătoare unor segmente.
Haideți să facem acum două observații.
Să facem prima observație, deci notăm aici 1.
Dacă avem axea numerelor reale, da, putem să notăm aici minus infinit, așa cum am învățat și aici plus infinit.
Ei bine, mulțimea numerelor reale poate fi scrisă și sub forma unui interval și anume intervalul nemărginit minus infinit plus infinit.
Deci, mulțimea numerelor reale poate fi scrisă și sub această formă.
Și a doua observație este următoarea.
Orice interval este o submulțime a lui R.
De exemplu, intervalul minus infinit 2 este o mulțime de numere reale și este o submulțime a mulțimii numerelor reale.
Sau, un interval mărginit cum am avut, să spunem că avem un interval închis la stânga și deschis la dreapta, deci intervalul 2,3,5.
Este tot așa o submulțime a lui R.
Deci, notăm este inclus în mulțimea numerelor reale.
Însă, nu orice submulțime a lui R este și interval.
De exemplu, având aici mulțimea formată din elementele 1 și 2, este o submulțime a lui R.
Însă, ce am notat aici nu este interval.
Ca să fie interval trebuia să avem o altă notație care însemna că în acea mulțime sunt toate numerele reale cuprinse între 1 și 2.
Însă, ce am notat aici reprezintă o mulțime care are doar două elemente și anume numerele 1 și 2.