Transcript: Integrarea prin schimbare de variabilă

În acest videoclip voi aborda încă o metodă de calcul al integralelor, prima metodă de schimbare de variabilă.
Calculul integralelor prin metoda schimbării de variabilă este în strânsă legătură cu derivarea funcțiilor compuse.
De aceea ar fi bine să vă reamintiți formulele de derivare a funcțiilor compuse și teorema de derivare a funcțiilor compuse.
Vom vedea cum putem folosi formulele de derivare a funcțiilor compuse pentru a deduce primitive.
Care este formula de derivare pentru sinus dU dx?
Dacă U este definită pe un interval de numere reale cu valori în mulțimea numerelor reale și este o funcție derivabilă pe I,
iar f este o funcție definită pe R cu valori în R f dx egal cu sinus dU dx,
funcția f va fi derivabilă pentru că sinus este o funcție derivabilă ca funcție elementară, U este o funcție derivabilă
și compunerea a două funcții derivabile va fi o funcție derivabilă.
Deci, f este derivabilă și atunci derivata ei va fi egală cu U derivat ori cosinus dU,
conform formula de derivare a lui sinus dU dx.
Pentru că sinus dU dx derivat este egal cu U derivat dx ori cosinus dU dx,
înseamnă că sinus dU este o primitivă pentru funcția U derivat dx ori cosinus dU dx,
adică vom avea că integrală din cos dU dx ori U derivat dx dx este egal cu sinus dU dx plus C.
Aceasta este o primitivă dedusă din derivarea unei funcții compuse.
În general are loc următorul rezultat.
Dacă I și J sunt două intervale de numere reale și funcțiile U definită pe I cu valori în J și F definită pe J cu valori în R
satisfac următoarele condiții,
U este derivabilă cu derivată continua pe I și F admite primitive pe J,
atunci F compus cu U ori U derivat admite primitive pe I și
integrală din F compus cu U dx ori U derivat dx dx este egal cu
F mare compus cu U dx plus mulțimea constantelor, unde F mare este o primitivă a funcției F mică.
Să demonstrăm această teoremă.
Pentru a demonstra această teoremă vom arăta că F mare compus cu U este o primitivă a lui F mic compus cu U ori U derivat.
Dacă arătăm acest lucru înseamnă că F mic compus cu U ori U derivat admite primitive pe I
și că integrală din F mic compus cu U dx ori U derivat dx dx este tocmai
F mare compus cu U dx plus mulțimea constantelor.
Știm că F mare este o primitivă a lui F mic și conform definiției primitivei unei funcții
înseamnă că F mare este derivabilă pe J și F mare derivat de x este egal cu F mic de x pentru orice x din intervalul J.
F mare este derivabilă și știm din ipoteză că U este o funcție derivabilă pe I
înseamnă că F mare compus cu U este derivabilă
și calculăm acum derivata funcției F mare compus cu U
aplicăm aici regula de derivare a funcțiilor compuse
derivata lui F mare compus cu U va fi egală cu F mare derivat de U dx ori U derivat de x
și pentru că F mare derivat este egal cu F mic
va fi egal mai departe cu F mic de U dx ori U derivat de x
care este F compus cu U dx ori U derivat de x
și acest șir de egalități are loc pentru orice x din intervalul I
înseamnă că F mare compus cu U derivat de x este egal cu F mic compus cu U dx ori U derivat de x
pentru orice x din I
adică noi am arătat că F mare compus cu U este derivabilă
și că derivata ei este F mic compus cu U ori U derivat
ceea ce înseamnă că F mic compus cu U ori U derivat admite primitive
și F mare compus cu U este o primitivă a lui F mic compus cu U ori U derivat
am demonstrat tocmai ce ne-am propus să demonstrăm
să revenim la exemplul cu care am lucrat la început
integrală din cos de U dx ori U derivat de x de x egal cu sin de U dx plus C
în acest caz funcția F mic din teorema este F dx egal cu cos de x care admite primitive
și o primitivă a ei este funcția F mare de x egal cu sin de x
U de x este o funcție oarecare derivabilă și cu derivată continuă
F mic compus cu U de x va fi cos de U de x
F mare compus cu U de x este sin de U de x
și atunci dacă înlocuim în această formulă
obținem integrală din F compus cu U de x adică din cos de U de x
ori U derivat de x de x egal cu F mare compus cu U de x
adică sin de U de x plus mulțimea constantelor
Această teoremă ne dă formula de schimbare de variabilă
și cu ajutorul ei obținem formulele integralelor nedefinite
în care apar funcții compuse
Pentru a scrie formulele integralelor în care apar funcții compuse
pornind de la tabelul de integrale nedefinite pe care îl știm
ne reîntoarcem la primul exemplu
pentru a analiza legătura dintre
formula 1 integrală din cos de x de x egal cu sin de x plus c
și formula 2 integrală din cos de U de x ori U derivat de x de x
egal cu sin de U de x plus c
Opriți înregistrarea și notați-vă asemănări și deosebiri
între cele două formule
Ați constatat probabil că dacă în prima integrală
argumentului cosinus este x
și argumentului sinus este de asemenea x
în a doua integrală argumentului cosinus este U de x
și argumentului sinus este de asemenea U de x
Probabil că ați observat că dacă în prima integrală
ne apare dx pe lângă acel cosinus de x
în a doua integrală pe lângă cosinus de U de x
ne apare U derivat de x ori dx
U derivat de x ori dx este de fapt egal cu
dU, diferențiala funcției U
Nu vreau să insist foarte mult asupra lui dU
pentru că teoria care explică diferențiala unei funcții
este abstractă și complexă
Foarte simplist explicat, diferențiala unei funcții f
într-un punct x0 este o funcție lineară
adică de gradul întâi
care dă cea mai bună aproximare a funcției f
în vecinătatea lui x0
Se știe că dx este diferențiala funcției identice
funcția identică este funcția care îl duce pe x în x
adică o funcție, unul indice r
definită pe r cu valori în r
unul indice r de x este egal cu x
iar diferențiala unei funcții f
este f derivat de x ori de x
evident, funcția f trebuie să fie derivabilă
Dacă rescriem formula a doua
înlocuindu-l pe U derivat de x ori de x cu dU
vom obține integrală din cosinus dU dU
egal cu sinus dU plus mulțimea constantelor
și dacă ne uităm acum la asemănări și deosebiri
între această formulă și formula 1
constatăm că, de fapt, singurul lucru care diferă
este variabila
Dacă aici avem variabila x peste tot
aici avem variabila U peste tot
Dacă îl înlocuim pe x cu U în această formulă
obținem exact această formulă
Noi ne vom folosi, de fapt, de formula 2
dar v-am arătat că dacă rețineți că U derivat de x ori de x este dU
este foarte ușor de ținut minte formula 2
dacă știți formula 1
Să facem un exercițiu de scriere a unei formule
deduse din derivarea funcțiilor compuse
Știm că integrala din x la n de x
este egal cu x la n plus 1
supra n plus 1 plus mulțimea constantelor
când deni este natural
Opriți înregistrarea video și scrieți formula similară
dedusă din derivarea funcției compuse
U la n
Ar fi trebuit să obțineți integrală din U la n de x
ori U derivat de x de x
egal cu U la n plus 1 de x
supra n plus 1 plus mulțimea constantelor
Deci, în loc de x aici și acolo
trebuie să avem U
și în loc de dx de aici
trebuie să avem U derivat de x ori de x
În acest mod puteți obține un nou tabel de integrale nedefinită
deduse din derivarea funcțiilor compuse
Voi rezolva acum un exercițiu
în care voi calcula o integrală nedefinită
folosind schimbarea de variabilă
Avem de calculat integrală din cosinus de x
supra 1 plus sinus pătrat de x de x
Pentru aplicarea acestei metode
trebuie mai întâi identificată corect
și accentuez cuvântul corect
schimbarea de variabilă
adică cine este funcția U
În acest scop
punem mai întâi în evidență
sub semnul integralei
deci în această expresie
derivata unei funcții
care se găsește la același nivel cu dx
adică nu la numitor, nu la exponent
și așa mai departe
În acest exercițiu
avem o singură funcție
la același nivel cu dx
e vorba de cosinus de x
și noi putem scrie cosinus de x
ca o derivată
cosinus de x este egal cu
sinus de x derivat
și înlocuim în integrală
obținem integrală din
sinus de x derivat
supra 1 plus sinus
cotrat de x
de x
Ne uităm acum
sub semnul integral
să vedem dacă această funcție
a cărei derivată am găsit-o
se repetă, ca să zic așa
sub semnul integralei
adică dacă mai apare
sub semnul integralei
noi avem la numitor
1 plus sinus cotrat de x
înseamnă că sinus de x
se repetă sub semnul integralei
și atunci
dacă se întâmplă acest lucru
această funcție va fi noua variabilă
adică o vom nota cu u de x
deci notăm
sinus de x egal cu u de x
și rescriem integrala
vom obține integrală din
u derivat de x
supra 1 plus
u cotrat de x
de x
avem formula integrală din
u derivat de x
supra
u cotrat de x
plus a cotrat de x
de x
egal cu 1 supra a
arctangentă
de u de x
supra a
plus mulțimea constantelor
înseamnă că
integrală din
u derivat de x
supra 1 plus
u cotrat de x
se poate calcula
folosind această formulă
în care
a este egal cu 1
a cotrat
din formulă este 1
și noi aici în formulă
luăm pe a mai mare decât 0
și atunci vom avea
că e egal cu 1
supra a
adică 1 pe 1
arctangentă de
u de x
supra 1
plus mulțimea constantelor
pentru a finaliza rezolvarea
exercițiului trebuie
ca în această expresie
să îl înlocuim pe u de x
cu cine este el
adică cu
sinus de x
și vom obține
pe 1 supra 1
nu îl mai scriu
este 1
deci vom obține
arctangentă
de sinus de x
plus mulțimea constantelor
aceasta este
mulțimea primitivelor funcției
cu sinus de x
supra 1 plus sinus cotrat de x
această ultimă etapă
etapă în care
înlocuim pe u de x
cu cine este el
este foarte importantă
pentru că la final
multimea primitivelor funcției
trebuie să fie
în variabila x
deci nu poate rămâne
acest rezultat