Transcript: Integrarea prin părţi

Am văzut că derivarea și integrarea sunt două operații inverse, adică ele se anulează reciproc.
În condițiile în care există integrală din f derivat de x de x, atunci integrală din f derivat va fi chiar funcția plus mulțimea constantelor.
De aceea regulile de derivare influențează regulile de integrare.
Am văzut că regula de derivare a sumei ne-a ajutat ca să demonstrăm o regulă analogă pentru integrare,
adică am putut demonstra proprietatea de aditivitate a integralei, integrală dintr-o sumă de două funcții fiind egală cu suma integralelor.
Sau am văzut că regula de derivare dintre produsul unei funcții cu o constantă stă la baza celei de-a doua proprietăți a integralelor nedefinite,
adică integrală din c ori f este c ori integrală din f.
Constanta trece în fața integralei.
Să vedem dacă și cum regula de derivare a produsului dintre două funcții derivabile, adică f ori g derivat egal cu f derivat ori g plus f ori g derivat,
ne ajută să identificăm o metodă de calcul al integralelor din produsul a două funcții.
În acest videoclip vom identifica o astfel de metodă, adică o metodă care ne va permite calculul unor integrale dintr-un produs de două funcții.
Această metodă se numește metoda integrării prin parții.
Presupunem că avem două funcții f și g definite pe i cu valori în r derivabile și cu derivate continue.
Din momentul în care f și g sunt derivabile, înseamnă că f și g sunt continue.
Produsul a două funcții continue este o funcție continua, deci avem că f ori g este o funcție continua.
Și pentru că f derivat și g derivat sunt continue,
mi se spune că f și g au derivatele continue,
înseamnă că și f derivat ori g și f ori g derivat vor fi continue ca produse de două funcții continue.
Înseamnă că toate aceste trei funcții f ori g, f derivat ori g și f ori g derivat admit primitive.
Să scriem regula de derivare a produsului.
Avem că f ori g derivat este egal cu f derivat ori g plus f ori g derivat.
Și să aplicăm integrala nedefinită fiecărui membru din această egalitate.
Vom obține integrala din f ori g derivat de x de x egal cu integrala din f derivat de x ori g de x plus f de x ori g derivat de x de x.
Vom folosi proprietatea de aditivitatea integralei în membrul drept al egalității și ne vom folosi de faptul că integrala din f ori g derivat este f ori g plus mulțimea constantelor.
Vom obține f ori g de x plus mulțimea constantelor egal cu integrala din f derivat ori g plus integrala din f ori g derivat.
Voi rescrie această ultimă egalitate aranjând o nițel, adică f ori g de x.
Voi scrie că e egal cu f de x ori g de x.
Definiția înmulțirii a două funcții și voi separa una din integrale în membrul stâng, tot restul termenilor trecând în membrul drept.
Vom obține integrala din f de x ori g derivat de x de x egal cu f de x ori g de x minus integrala din f derivat de x ori g de x de x.
Deci ceea ce am făcut a fost să aduc această integrală în membrul stâng, să mut f ori g de x în membrul drept ca f de x ori g de x și să înmulțesc după aceea cu minus 1 toată egalitatea.
Ce s-a întâmplat însă cu mulțimea constantelor? Unde a dispărut ea?
Opriți înregistrarea video și gândiți-vă de ce nu mai apare mulțimea constantelor în această egalitate.
Noi trebuie să ne asigurăm că în ambii membri ai egalității avem același lucru, adică dacă aici avem o mulțime de funcții și aici trebuie să avem tot o mulțime de funcții.
Ceea ce se întâmplă pentru că fiind o sumă de două integrale nedefinite înseamnă că vom avea o mulțime de primitive plus încă o mulțime de primitive.
În momentul în care scriem această egalitate, în membrul stâng avem o integrală, deci avem o mulțime de funcții, în membrul drept această integrală ne asigura că și aici avem o mulțime de funcții.
Înseamnă că mulțimea constantelor deja se subînțelege că face parte din această mulțime. Nu mai este necesar să aducem și mulțimea constantelor în membrul drept.
Ultima egalitate obținută se numește și formula de integrare prin parții.
Să revedem ceea ce tocmai am demonstrat.
Aș vrea să vă atrag atenția că această egalitate nu este o formulă prin care putem calcula explicit o integrală.
Adică aplic formula și obțin rezultatul care este o mulțime de primitive.
Această metodă de calcul, metoda integrării prin părți, de fapt ne dă o formă de exprimare a unei integrale în funcție de altă integrală
și ea se poate aplica doar atunci când această integrală are o formă mai simplă decât integrala inițială.
Să rezolvăm un exemplu pentru a vedea cum se folosește metoda integrării prin părți.
Avem de calculat integrală din x ori lix de x.
Trebuie să identificăm sub integrală cine este funcția f și cine este funcția g derivat.
Ceea ce obținem, adică integrala din f derivat ori g, trebuie să fie o integrală mai simplă decât această integrală.
Dacă x este funcția f, atunci în această integrală vom avea derivata lui x.
x derivat este 1 și atunci este evident că în integrala din membrul drept nu vom mai avea x.
Iar lix ar putea să fie g derivat.
Dacă g derivat este lix, înseamnă că g va fi integrală din lix care este tot lix.
În această situație este convenabil să alegem x să fie funcția f și g derivat să fie funcția lix.
Deci am ales că x să fie funcția f, ceea ce înseamnă că f derivat este 1, g derivat să fie funcția lix, ceea ce înseamnă că g de x va fi egal cu lix.
Aici ca să determinăm g, ne trebuie să integrăm funcția g derivat și pentru că noi aici avem nevoie doar de o primitivă, nu ne trebuie mulțimea tuturor primitivelor, putem să alegem constanta 0.
Punem în evidență aici sub integrală cele două funcții pe care le-am identificat.
Avem integrală din x ori lix derivat de x, aplicăm formula de integrare prin parti și asta va fi egală cu x ori lix minus integrală din f derivat care este 1 ori g de x care este lix de x
și egal mai departe cu x la x minus integrală din lax de x și acum da, vedeți că această integrală la care am ajuns este mai simplă, poate fi calculată ușor folosind formulele de integrare și obținem x ori la x minus lax plus mulțimea constantelor.
Cu aceasta am reușit să calculăm integrală din x la x de x și am obținut că este egală cu x ori la x minus lax plus mulțimea constantelor.
Doresc să vă atrag atenția că în utilizarea metodei de integrare prin parți, alegerea lui f și a lui g derivat este esențială.
Să vedem ce s-ar fi întâmplat dacă în rezolvarea acestui exercițiu am fi ales ca funcția f să fie funcția e la x iar funcția g derivat de x să fie x.
L-am fi calculat pe f derivat și am fi obținut că f derivat de x este tot e la x și ar fi trebuit să determinăm funcția g, g de x fiind o primitivă a lui x.
O primitivă a lui x este x la a doua pe 2.
Am fi înlocuit în formula de integrare prin parți și am fi obținut integrală din lax ori x la a doua pe 2 derivat de x egal cu f ori g adică lax ori x la a doua pe 2 minus integrală din f derivat ori g adică f derivat de x.
Integrala aceasta este mult mai complicată decât integrala inițială.
Înseamnă că alegerea pe care am făcut-o nu este cea care ne poate ajuta în calculul integralei și nicio problemă. Reluăm exercițiu cu o altă alegere a funcțiilor f și g derivat.