Transcript: Înmulțirea unui vector cu un scalar

În fizică există mărimi vectoriale și mărimi scalare.
Mărimile vectoriale se caracterizează prin modul, direcție și sens,
iar mărimile scalare se caracterizează numai prin modul sau mărime.
De exemplu, viteza este o mărime vectorială, în timp ce masa și temperatura sunt mărimi scalare.
Acestea, din urmă, reprezintă un număr, de exemplu numărul de kilograme sau numărul de grade.
Așadar, prin cuvântul scalar, o să înțelegem un număr, bineînțeles un număr real.
Și acum să definim operația de înmulțire a unui vector cu un scalar.
O să notăm cu alfa ce scalar, alfa este un număr real diferit de zero, iar v este un vector.
Produsul dintre scalarul alfa și vectorul v va fi un vector având aceeași direcție cu v,
același sens cu v dacă alfa este pozitiv și sens contrar cu v dacă alfa este negativ,
iar modulul acestui vector, alfa or v, este egal cu modul de alfa înmulțit cu modulul vectorului v.
Să vedem câteva exemple.
Avem aici reprezentat un vector v.
Dacă înmulțim acest vector cu 2, obținem un alt vector având aceeași direcție cu v.
Observați că dreptele suport ale acestor vector sunt paralele.
Acest vector are același sens cu vectorul inițial, întrucând numărul 2 este pozitiv,
iar modulul acestuia este de 2 ori mai mare decât cel al vectorului v.
Un alt exemplu.
Avem aici un alt vector obținut prin înmulțirea scalarului minus 3 cu vectorul v.
Acest vector are aceeași direcție cu vectorul inițial,
însă sensul este contrar deoarece numărul minus 3 este negativ,
iar modulul acestui vector este de 3 ori mai mare decât cel al vectorului inițial.
Cu alte cuvinte, lungimea segmentului roz este de 3 ori mai mare decât cea a segmentului portocaliu.
Și un alt exemplu.
Avem produsul dintre scalarul 1x2 și vectorul v.
Acesta este un alt vector având aceeași direcție cu vectorul inițial,
același sens deoarece 1x2 este număr pozitiv,
iar modulul sau mărimea acestui vector este jumătate din modulul vectorului inițial.
Să vedem în continuare câteva proprietăți ale înmulțirii vectorilor cu scalari,
fie α și β doi scalari, adică numere reale,
iar u și v doi vectori.
Are loc această primă proprietate, alfa pe lângă u plus v este egal cu alfa u plus alfa v.
Cu alte cuvinte, înmulțirea cu scalar este distributivă față de adunarea vectorilor.
A doua proprietate, alfa plus beta ori u este egal cu alfa u plus beta u,
adică înmulțirea este distributivă față de adunarea scalarilor.
O trea proprietate, alfa pe lângă beta ori u este egal cu alfa beta totul înmulțit cu u,
așadar are loc asociativitatea înmulțirii scalarilor.
Iar numărul 1 este element neutru pentru înmulțirea vectorilor cu scalari,
deoarece înmulțind numărul 1 cu un vector obținem același vector.
Și în final mai facem două observații.
Până acum am presupus că alfa este număr real diferit de 0.
Să vedem ce se întâmplă în cazul în care alfa este egal cu 0.
Iată, dacă alfa este egal cu 0, atunci înmulțind numărul 0 cu un vector v se obține vectorul 0.
Iar dacă v este un vector 0, atunci înmulțind acest vector 0 cu orice scalar alfa se obține vectorul 0.