Transcript: Înmulțirea matricelor

Să presupunem că ești managerul unei firme care comercializează produse de patiserie
și vrei să știi care sunt sumele încasate în ultimile 4 zile.
Produsele comercializate sunt afișate în acest tabel matricial,
iar cantitățile comercializate sunt cuprinse în acest tabel matricial.
Cum vei proceda dacă vei dori să știi care este valoarea vânzărilor din ziua de luni?
Vei calcula încasările pentru plăcinta cu carne, înmulțind prețul unei plăcinte cu numărul de bucăți vândute,
6 înmulțit cu 40, pentru plăcinta cu pui, înmulțind pe 4 cu 50,
pentru plăcinta cu legume, 3 înmulțit cu 82, și pentru tortul cu ciocolată, 5 înmulțit cu 89.
Însumând aceste produse, obținem suma totală încasată în ziua de luni,
adică 1131 lei.
Vei proceda la fel și pentru celelalte zile, adică vei calcula produsul 6 înmulțit cu 53,
4 înmulțit cu 43, 3 înmulțit cu 90, 5 înmulțit cu 99.
Însumând aceste produse, obținem suma încasată pentru ziua de marți, adică 1255.
Înmulțim apoi 6 cu 80, 4 cu 100, 3 cu 150, 5 cu 100.
Însumând acum aceste produse, obținem suma încasată în ziua de miercuri, și anume 1830.
Înmulțim acum pe 6, 45, pe 4, cu 60, pe 3, cu 85 și pe 5, cu 109.
Însumând aceste produse, obținem suma încasată pentru ziua de joi, și anume 1310.
Tabelul lui matricial care conține prețurile produselor îi corespunde matricea A de tipul 1 ori 4.
Tabelul lui matricial care conține cantitățile vândute îi corespunde matricea B de tipul 4 ori 4.
Iar sumelor încasate în fiecare din cele 4 zile îi corespunde matricea C de tipul 1 ori 4.
Putem spune că matricea C este produsul matricelor A ori B.
Amintindu-ne modul în care am calculat elementele matricei C, observăm că este necesar ca numărul de coloane al matricei A să fie egal cu numărul de linii al matricei B.
Iar matricea C are numărul de linii egal cu numărul de linii al matricei A, iar numărul de coloane egal cu cel al matricei B.
Să definim acum produsul a doua matrice.
Fie A, o matrice de tipul MN, cu elemente în mulțimea numerilor complexe, și B, o matrice de tipul NP, cu elemente în mulțimea numerilor complexe.
Numim produsul matricelor A și B matricea C de tipul NP cu elemente în C, ale cărei elemente se calculează astfel.
Elementul CIJ este suma produselor elementelor liniei I din matricea A cu elementele coloane J din matricea B.
Altfel spus, elementele liniei I din matricea A se înmulțesc cu elementele coloane J din matricea B, obținându-se elementul CIJ, adică cel care corespunde liniei I și coloane J din matricea produs.
Iar elementul CIJ se calculează AI1 înmulțit cu B1J plus AI2 înmulțit cu B2J plus AIN înmulțit cu BNJ.
Produsul matricelor A și B îl notăm cu A or B sau AB, iar operația prin care asociem unei perechi de matrice AB în condițiile de mai sus,
matricea A or B se numește înmulțirea matricelor.
Să calculăm acum produsul matricelor A egal cu 1, 2, minus 2, 0, 4, minus 1, matrice de tipul 3, 2 cu elemente în Z, cu matricea B egală cu minus 1, 4, 0, 3, minus 2, minus 3, matrice de tipul 2, 3 cu elemente din Z.
Adică vom înmulți lineile matricei A cu coloanele matricei B.
Procedăm la fel și cu linia a doua.
Elementele matricei A or B le obținem astfel.
1 or minus 1 plus 2 or 3.
1 or 4 plus 2 or minus 2.
1 or 0 plus 2 or minus 3.
Procedăm la fel cu linia a doua.
Minus 2 or minus 1 plus 0 or 3.
Minus 2 or 4 plus 0 or minus 2.
Plus 0 or minus 3.
La fel cu linia a treia.
4 or minus 1 plus minus 1 or 3.
4 or 4 plus minus 1 or minus 2.
4 or 0 plus minus 1 or minus 3.
Obținem astfel rezultatele.
Minus 1 plus 6.
4 minus 4.
0 minus 6.
2 plus 0.
Minus 8 plus 0.
0 plus 0.
Minus 4 minus 3.
16 plus 2.
0 plus 3.
Adică matricea 5, 0, minus 6, 2, minus 8, 0, minus 7, 18, 3.
Adică o matrice de tipul 3-3 cu elemente în mulțimea numerelor întregi.