Transcript: Inecuații logaritmice

În rezolvarea inequațiilor logaritmice vom folosi monotonia funcției logaritmice.
Înainte de a trece la rezolvarea inequațiilor, aș vrea să reamintim câteva aspecte teoretice.
Funcția logaritmică este definită pe intervalul 0 plus infinit cu valori în R și exprimată prin legea f de x egal cu logarit în baza a din x.
a este număr strict pozitiv și diferit de 1.
Dacă baza este supraunitară, atunci funcția logaritmică este strict crescătoare.
Așadar, în cazul în care logaritm în baza a din x1 este mai mic decât logaritm în baza a din x2,
atunci vom obține că x1 este mai mic decât x2, așadar, în cazul funcției crescătoare, relația de ordine dintre argumente se păstrează,
iar dacă baza este subunitară, din faptul că logaritm în baza a din x1 este mai mic decât logaritm în baza a din x2,
vom obține că x1 este mai mare decât x2, așadar, în cazul în care funcția este strict descrescătoare,
relația de ordine dintre argumente se schimbă.
Să rezolvăm în continuare prima inequație.
Avem logaritm în baza 5 din 2x plus 3 este mai mic ca 0.
Pentru început vom pune condițiile de existență pentru această inequație.
Argumentul logaritmului trebuie să fie mai mare ca 0, așadar, vom pune condiția ca 2x plus 3 să fie mai mare ca 0.
Rezolvăm această inequație și obținem x mai mare decât minus 3 supra 2.
În consecință, x aparține intervalului minus 3 supra 2 plus infinit.
Acesta este domeniul de existență pentru această inequație, notăm această relație cu 1.
Pentru a rezolva această inequație, o vom scrie astfel încât să avem în ambii membri logaritm cu aceeași bază.
Așadar, logaritm în baza 5 din 2x plus 3 este mai mic decât logaritm în baza 5 din 1.
Pentru că 0 se poate scrie logaritm în baza 5 din 1.
Baza logaritmului este supraunitară, în consecință, funcția este strict crescătoare, așadar, avem inegalitatea 2x plus 3 mai mic ca 1.
Obținem 2x mai mic decât minus 2, x mai mic decât minus 1.
x aparține intervalului minus infinit minus 1.
Notez această relație cu 2.
Acum trebuie să intersectăm cele două intervale din relațiile 1 și 2.
Obținem că x aparține intervalului minus 3 supra 2 plus infinit.
intersectat cu intervalul minus infinit minus 1.
Să reprezentăm aceste intervale pe o axă.
0, minus 1, minus 2, minus 3 supra 2 este minus 1,5. Aici avem minus 3 supra 2.
Primul interval este de la minus 3 supra 2 la plus infinit.
Al doilea interval este de la minus infinit până la minus 1.
Intersecția celor două intervale este intervalul minus 3 supra 2 minus 1.
Așadar, soluția inequației este intervalul minus 3 pe 2 minus 1.
Următoarea inequație, logaritm în baza 1 supra 3 din 4x minus 1 mai mare decât minus 3.
Vom pune condițiile de existență pentru această inequație.
Argumentul logaritmului trebuie să fie mai mare ca 0.
4x minus 1 este mai mare ca 0.
Obținem x mai mare decât 1 pe 4.
În consecință, x aparține intervalului 1 supra 4 plus infinit.
Acesta este domeniul de existență pentru această inequație.
Notăm relația cu 1.
Vom scrie inequația de mai sus astfel încât să avem în ambii membri logaritm cu aceeași bază.
Logaritm în baza 1 pe 3 din 4x minus 1 este mai mare decât logaritm în baza 1 supra 3 din 27.
Pentru că 1 supra 3 la puterea minus 3 ne dă 27.
Avem în ambii membri logaritm cu aceeași bază subunitară.
În consecință, funcția este strict descrescătoare și atunci relația de ordine dintre argumente se schimbă.
Vom avea 4x minus 1 mai mic decât 27.
Obținem 4x mai mic decât 28.
x este mai mic decât 7.
x aparține intervalului minus infinit 7.
Notez această relație cu 2.
Din relațiile 1 și 2, avem că x aparține intervalului minus infinit 7
intersectat cu intervalul 1 supra 4 plus infinit.
Întotdeauna trebuie să intersectăm soluția obținută cu domeniul de existență.
Să reprezentăm cele două intervale pe o axă.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Avem intervalul minus infinit 7
și intervalul 1 pe 4 plus infinit.
Putem observa că intersecția celor două intervale este intervalul 1 supra 4, 7.
Așadar soluția inequației este intervalul 1 pe 4, 7.
Și ultima inequație.
Logaritmul în baza 7 din 10 minus 3x este mai mare decât logaritmul în baza 7 din 2x minus 5.
Condițiile de existență pentru această inequație
10 minus 3x trebuie să fie mai mare ca 0
și 2x minus 5 mai mare ca 0.
Din prima inequație obținem x mai mic decât 10 pe 3
și din a doua inequație obținem x mai mare decât 5 supra 2.
Din prima inequație avem că x aparține intervalului minus infinit 10 supra 3
și din a doua inequație obținem că x aparține intervalului 5 supra 2 plus infinit.
Vom reprezenta pe oaxă cele două intervale.
Avem 0 1
2
3
10 supra 3 înseamnă 3, perioada 3.
Undeva aici avem 10 pe 3.
Primul interval este minus infinit 10 pe 3.
Apoi avem intervalul 5 pe 2 plus infinit.
5 supra 2 este 2,5.
Intersecția acestor două intervale este intervalul 5 supra 2 10 pe 3.
Notez această relație cu 1.
Și acum să trecem la rezolvarea inequației.
Avem în ambii membri logaritmi cu aceeași bază.
Baza este supraunitară.
În consecință funcția logaritmică este stricrescătoare.
Așadar vom avea relația 10 minus 3x este mai mare decât 2x minus 5.
Avem 15 mai mare decât 5x.
x este mai mic ca 3.
x patine intervalului minus infinit 3.
Notez această relație cu 2.
Din relațiile 1 și 2 avem x patine intervalului minus infinit 3
intersectat cu intervalul 5 supra 2 10 pe 3.
Voi face cu albastru intervalul minus infinit 3.
Și trebuie să intersectăm acest interval cu intervalul 5 pe 2 10 pe 3.
Acesta este intervalul 5 pe 2 10 pe 3.
Se poate observa că intersecția acestora este intervalul 5 supra 2 3.
Așadar soluția inequației este intervalul 5 supra 2 3.
La final aș vrea să fac o scurtă observație.
Noi am pus condiția ca 2x minus 5 să fie mai mare ca 0.
Iar când am trecut la rezolvarea inequației am aut relația 10 minus 3x
mai mare ca 2x minus 5.
Dacă 2x minus 5 este mai mare ca 0
și 10 minus 3x este mai mare decât 2x minus 5
atunci implicit 10 minus 3x va fi mai mare decât 0.
Așadar nu era obligatoriu să punem această condiție de existență
pentru că ea deja se regăsește în rezolvarea inequației.
Dacă nu am fi pus această condiție am fi intersectat soluția minus infinit 3
cu intervalul 5 supra 2 plus infinit
și am fi obținut aceeași soluție, intervalul 5 supra 2 3.
Așadar această condiție de existență nu era obligatorie pentru această inequație.