Transcript: Inecuații în mulțimea numerelor naturale

În continuare vom învăța să rezolvăm inequații. Ce este aceea o inequație?
Dacă într-o equație, în loc de semnul egal, trecem unul din aceste semne stric mai mic sau stric mai mare, mai mic sau egal, sau mai mare sau egal,
atunci ce vom obține va fi o inequație. De exemplu, în loc de x plus 2 egal cu 5, putem să notăm x plus 2 stric mai mic decât 5.
Ce am obținut aici este o inequație. Cum rezolvăm acum o inequație?
Fie putem să rezolvăm prin încercări, însă cred că știți deja că această rețetă nu e prea eficientă când avem numere mai mari, nu așa de mici ca aici,
fie procedăm în tocmai ca la equații, însă în loc de semnul egal vom respecta semnul inegalității.
Păi haideți să rezolvăm. Cum făceam la equații? Noi vrem să determinăm pe x, având aici x plus 2, trebuie practic să scădem 2 din această relație.
Deci trecem bara verticală și scriem minus 2. Ce vom avea? Avem aici x plus 2, minus acest 2 este stric mai mic decât 5, din care îl scădem pe 2, deci minus 2.
Și ce vom obține? Haideți să mut aici ca să avem acest semn să fie unul sub celălalt. Ce vom avea? Avem x plus 2, minus 2, aici obținem 0, deci vom obține x plus 0, adică x stric mai mic decât 5, minus 2, 3.
Bun. Care sunt acum numerele stric mai mici decât 3? Păi răspunsul este depinde. Depinde de mulțimea în care x ia valori.
Astfel, haideți să scriem aici. Dacă x este număr natural, atunci care sunt numerele naturale stric mai mici ca 3? E foarte ușor, rezultă că x poate fi și avem 0, 1 sau 2.
Nu putem să luăm și valoarea 3 pentru că avem stric mai mic decât 3. Dacă însă x este număr natural, însă este un număr natural nenul, atunci x ce valori va lua?
El poate să fie doar 1 și 2 pentru că nu poate să ia valoarea 0. Sau dacă x este număr real, despre acest lucru o să învățăm mai târziu, atunci o să avem ceva de genul x aparține intervalului deschis minus infinit 3.
Evident că despre acest lucru vom discuta mai târziu. Să știți că sunt și alte mulțimi, deci avem și alte variante. Însă, pentru început, noi vom lucra cu aceste două situații în care x este fie număr natural, fie număr natural nenul.
Pentru exemplu nostru, haideți să considerăm prima variantă, deci x este număr natural. Asta înseamnă că el ia valorile 0, 1 sau 2. Ce am obținut aici? Aceste valori poartă numele de soluția in ecuației.
Așa se întâmpla și la ecuații. Când obțineam în această situație concretă că x egal cu 3, numărul 3 se numește soluția ecuației, iar aici avem soluția in ecuației.
De ce aceste numere reprezintă soluția in ecuației? Pentru că dacă îl înlocuim pe x cu fiecare din aceste valori vom obține propoziții adevărate.
Haideți să facem verificarea, ca să ne obișnuim și cu inecuațiile. Dacă x este 0, avem 0 plus 2 stric mai mic decât 5, adică 2 este stric mai mic ca 5. Avem o relație adevărată? Sigur.
Dacă x este 1, avem 1 plus 2 stric mai mic ca 5. 1 plus 2 înseamnă 3 este stric mai mic decât 5? Este. Dacă x este 2, vom avea 2 adunat cu 2 stric mai mic decât 5, adică 4 este stric mai mic decât 5? Este.
Dacă x ar fi 3, avem 3 plus 2 stric mai mic decât 5, adică 5 este stric mai mic decât 5? Nu. Avem o relație falsă. Ne-am oprit în acest moment, înseamnă că x poate să fie doar 0, 1 sau 2.
Deci, ce am notat aici vom șterge.
Haideți acum să rezolvăm și alte inecuații.
Avem 13 adunat cu x mai mare sau egal cu 20, unde considerăm că x este număr natural.
Deci căutăm toate numerele naturale care verifica această relație.
Cum am spus la început, putem să căutăm soluția prin încercări.
Adică, vedem dacă x egal cu 0 verifică. Cu alte cuvinte, 13 plus 0 este mai mare sau egal cu 20? Nu. E o relație falsă.
Mergem mai departe. 13 plus 1, luăm pe x egal cu 1, e mai mare sau egal cu 20? Nici acum nu avem relația adevărată și așa mai departe, până când începem să găsim soluția.
Însă, e clar că această variantă de rezolvare nu este una eficientă și pierdem foarte mult timp.
De aceea, vom rezolva inecuațiile așa cum am învățat la ecuații.
Având aici 13 plus x și vrem să ne rămână doar x, înseamnă că ce avem de făcut?
Trebuie să scădem din această sumă pe 13.
Deci, scriem bara verticală, notăm minus 13. Asta înseamnă că vom scădea și din 20 pe 13.
Și vom obține 13 plus x minus 13 este mai mare sau egal cu 20, din care îl scădem pe 13.
Bun, ce avem aici? Păi 13 plus x, știm că adunare comutativă, avem de fapt x plus 13 minus 13.
Aici ne dă 0, deci x plus 0. Cu alte cuvinte vom obține x.
Este mai mare sau egal cu 20 minus 13, adică 7.
Cu alte cuvinte, ce vom obține?
Numerele naturale mai mari sau egale cu 7 sunt?
Deci x poate fi, îl luăm pe 7 mai întâi, 8, 9, 10 și așa mai departe, 2, 15, etc.
De fapt, avem o infinitate de valori pentru x.
Atenție, doar acestea sunt numerele naturale care verifică această inequație.
Acestea sunt singurile numere naturale care verifică relația dată.
Și vorbim de o infinitate de numere.
O altă inequație, x minus 9, notăm aici, stric mai mic decât 8.
Cum îl determinăm pe x?
Păi dacă avem aici x minus 9, ca să ne rămână în această parte a inegalității doar x, înseamnă că trebuie să îl adunăm pe 9.
Deci, notăm bara verticală și scriem plus 9.
Și vom avea x minus 9 plus 9, acesta, este stric mai mic decât 8, la care îl adunăm pe 9.
Și vom obține aici, dacă din x cădem 9, apoi adunăm tot 9, îl vom obține pe x, mai mic stric decât 17.
Cât este atunci x?
Considerăm la fel x număr natural, deci x poate fi.
Avem cel mult, de fapt, cel mult 16, pentru că nu putem să mergem până la 17, că este stric mai mic.
Deci, începem de la 0, 1, 2 și așa mai departe, ne oprim la 16.
Acestea sunt singurele numere naturale care verifică această inequație.
Un alt exemplu.
4x, cu alte cuvinte, 4 mulțit cu x, stric mai mare decât 60.
Dacă aveam aici o ecuație, cum procedam?
Am fi avut 4 ori x egal cu 60, atunci spuneam că x este egal cu 60 împărțit la 4.
La fel se întâmplă și la inequații, doar că notăm x este acum stric mai mare, deci nu e egal, cu 60 împărțit la 4.
Practic, am împărțit această inegalitate la 4.
Nu e neapărat nevoie să scriem și sub această formă, putem să notăm direct.
Și obținem că x este stric mai mare decât 60 împărțit la 4, înseamnă 15.
Care sunt valorile lui x?
Haideți să trecem aici, x este un număr natural.
x poate fi...
Cu ce valoare începem? Cu 15?
Nu, pentru că x este stric mai mare decât 15, deci pornim de la 16.
Și avem 16, 17, 18, 19, 20 și așa mai departe.
Din nou avem o infinitate de valori, de numere naturale, care verifică această relație.
Deci toate numerele, toate numerele naturale, de la 16 încolo, verifică această inegalitate, această inequație.
Bun, un alt exemplu.
Avem acum x înmulțit cu 21 mai mic sau egal cu 105.
Putem să notăm direct sau dacă vreți, e clar că trebuie să împărțim această relație la 21 și vom avea
x ori 21 împărțit la 21 ne va da, de fapt, x mai mic sau egal cu 105 împărțit la 21.
Deci x este mai mic sau egal, facem împărțirea și obținem 5.
Din nou considerăm că x este număr natural, cu alte cuvinte, x poate fi...
Ce valori naturale sunt mai mici sau egale cu 5?
Pornim de la 0, 1, 2, 3, 4, 5 și ne-am oprit.
Acestea sunt singurile numere naturale care verifică relația dată.
Încă un exemplu și haideți să luăm acum x împărțit la un număr, să fie el 7, strict mai mare decât 6.
Dacă aveam o ecuație, adică o egalitate aici, cum rezolvăm?
Spuneam că x este egal cu 6 ori 7, la fel se întâmplă și aici.
Avem x, este acum strict mai mare decât 6, înmulțit cu 7.
De fapt, această relație o înmulțim cu 7.
Având x împărțit la 7 ori 7, vom obține x strict mai mare decât 6 ori 7.
Și să notăm, obținem că x este strict mai mare decât 42.
Cât poate să fie x atunci?
x poate fi, din nou avem o infinitate de valori.
Începem de la cât? De la 43.
Și avem 43, 44, 45 și așa mai departe.
Fiecare număr dintre acestea, deci de la 43 încolo, împărțit la 7,
o să ne dea un număr, natural sau nu, strict mai mare decât 6.
Haideți să complicăm acum puțin lucrurile.
Și avem ecuația 3x, cu alte cuvinte 3 înmulțit cu x, minus 11, mai mic sau egal cu 25.
Cum procedăm la ecuații?
Păi nu putem să-l separăm de la început pe 3x, pentru că între ele avem operația de înmulțire.
Deci mai întâi vom obține o relație legată de 3 ori x.
Asta înseamnă că, pentru a-l obține pe 3 ori x, ce trebuie să facem?
Având aici 3x minus 11, înseamnă că trebuie să adunăm 11 în această relație.
Și vom obține 3x, adică 3 ori x, minus 11, adunat cu 11, este mai mic sau egal decât 25 plus 11.
Și facem calculul. Aici ajungem la 3 ori x, deci notăm direct.
Mai mic sau egal cu, obținem aici 36.
Păi cum avem aici înmulțire, înseamnă că trebuie să împărțim această relație acum la 3, ca să-l obținem pe x.
Și vom avea că x este mai mic sau egal cu 36 împărțit la 3, deci x este mai mic sau egal cu 12.
Care sunt valorile? Deci putem să notăm și x ia valorile.
Haideți acum să considerăm că x este număr natural, dar să spunem că el este nenul.
Până acum am lucrat cu x număr natural, acum considerăm și că el este nenul.
Deci el nu poate să ia valoarea 0, începem prin urmare de la cât? De la 1.
Ce avem? 1, 2, 3, căutăm numele naturale mai mici sau egale cu 12, deci 11, 12 și în acest moment ne-am oprit.
Acestea sunt singurile numere naturale care verifică relația dată.
Să rezolvăm acum o altă inequație și considerăm că x este un număr natural și vrem să rezolvăm această inequație 2 la x.
Deci necunoscuta este acum exponentul acestei puteri mai mic sau egal cu 16.
În general putem să rezolvăm aceste tipuri de inequații prin încercări.
Cu alte cuvinte, vedem dacă x egal cu 0 verifică această relație.
Deci, haideți să notăm. 2 la 0 este mai mic sau egal cu 16? Da, 2 la 0 este 1 și este mai mic sau egal cu 16.
Mai departe, dacă x este 1, 2 la 1 înseamnă 2 și este într-adevăr mai mic sau egal cu 16, deci din nou relația adevărată.
2 la 2 este mai mic sau egal cu 16? Păi, 2 la 2 înseamnă 4, care este mai mic decât 16, deci din nou relație adevărată.
2 la 3 este mai mic sau egal cu 16? Da, pentru că 2 la 3 este 8, deci notăm din nou aici relație adevărată.
2 la 4 este mai mic sau egal cu 16? Păi, 2 la 4 înseamnă 16, care este mai mic sau egal cu 16. Iarăși avem o relație adevărată.
2 la 5 este mai mic sau egal cu 16? Păi, 2 la 5 înseamnă 32, care nu este mai mic sau egal cu 16, deci această relație este una falsă.
De acum încolo, pentru valori ale lui x mai mari sau egale cu 5 vom obține doar relații matematice false.
Asta înseamnă că x ce valori ia? Haideți să notăm, rezultă că x ia valorile și avem așa 0, 1, 2, 3 și 4, deci notăm 0, 1, 2, 3, 4 și ne-am oprit, doar aceste valori.
Însă, dacă avem numere mai mari, cum rezolvăm asemenea inequații? Păi, rezolvarea sintetică este următoarea. Haideți să notăm.
2 la x mai mic sau egal cu 16 îl putem scrie ca o putere care are baza 2? Sigur, îl putem nota 2 la a4, am văzut deja acest lucru.
Ei bine, în asemenea situații în care baza este un număr natural nenul diferit de 1 și iată că în cazul nostru avem baza 2, 2 este un număr natural diferit de 1,
deci dacă se întâmplă acest lucru și avem baze egale, atunci inegalitatea se păstrează și în cazul exponenților.
Deci, practic avem această inequație, deci de aici rezultă că x este mai mic sau egal cu 4, cu acest exponent.
Și e clar că x fiind număr natural rezultă exact ce am obținut aici, valorile 0, 1, 2, 3 sau 4.
Un alt exemplu, 7 la x plus 3 mai mare sau egal cu 7 la 2015.
Păi haide să vedem, baza este un număr natural nenul diferit de 1? Sigur, 7 este număr natural, este diferit de 0 și diferit de 1.
Este esențial faptul că avem baze egale, avem 7 aici, la fel și aici.
Bun, cu alte cuvinte este îndeplinită această condiție, haideți să o denumim relația steluță, nu mi-e ieșit prea bine, dar înțelegeți, punem între paranteze.
Atunci, din această relație, din relația steluță, ce rezultă?
Că păstrăm acest semn și în cazul exponenților.
Deci vom avea x plus 3 este mai mare sau egal decât 2015.
Și îl determinăm acum pe x, care este mai mare sau egal decât 2015 minus 3, deci obținem mai mare sau egal cu 2012.
Cu alte cuvinte, x ia valorile, numerele naturale, considerăm tot așa că x e număr natural, mai mare sau egale cu 2012.
Deci avem 2012, 2013, 2014 și așa mai departe o infinitate de valori.
Toate numerele naturale de la 2012 încolo verifică această relație.