Transcript: Inecuații exponențiale

În rezolvarea inequațiilor exponențiale vom utiliza monotonia funcției exponențiale.
Să ne reamintim câteva aspecte teoretice.
Funcția f definită pe R cu valori în intervalul 0 plus infinit, f de x egal cu a la x,
unde a este strict mai mare ca 0 și diferit de 1,
este o funcție strict crescătoare în cazul în care baza este supraunitară,
așadar, dacă a este mai mare ca 1,
din faptul că a la x1 este mai mic decât a la x2,
vom avea că x1 este mai mic decât x2.
În cazul funcției strict crescătoare, relația de ordine dintre exponenți se păstrează,
iar dacă baza este subunitară,
atunci funcția exponențială este strict descrescătoare,
așadar, în cazul în care a la x1 este mai mic decât a la x2,
vom avea x1 mai mare decât x2.
Vom utiliza aceste relații în rezolvarea inequațiilor ce urmează.
Prima inequație, 2 la puterea 3x plus 5 este mai mic decât 2 la puterea 2x minus 9.
Baza este 2, supraunitară,
în consecință funcția este strict crescătoare
și atunci relația de ordine dintre exponenți se păstrează.
Vom avea 3x plus 5 mai mic decât 2x minus 9.
x este mai mic decât minus 9 minus 5,
x mai mic decât minus 14.
Soluția inequației este intervalul minus infinit minus 14.
Următoarea inequație,
7 la x plus 7 la x plus 2 mai mic sau egal decât 50.
Vom avea 7 la x plus 7 la x ori 7 la a doua mai mic sau egal decât 50.
Dăm factor comun 7 la x,
pe lângă 1 plus 7 la a doua este 49 mai mic sau egal decât 50.
50 ori 7 la x este mai mic sau egal decât 50.
Împărțim la 50 și vom obține 7 la x mai mic sau egal decât 1.
1 se poate scrie 7 la puterea 0,
orice număr ridicat la puterea 0 este 1.
Avem o funcție exponențială cu baza supraunitară,
în consecință vom avea relația x mai mic sau egal decât 0.
Soluția va fi intervalul minus infinit 0.
Următoarea inequație.
3 radical din 6 ori 6 la puterea x minus 3 este mai mare sau egal decât 1 pe 2.
O să scriem pe radical din 6 ca o putere a lui 6.
Avem 3 ori 6 la 1 pe 2 ori 6 la x minus 3 este mai mare sau egal decât 1 pe 2.
3 ori 6.
Aici adunăm exponenții și vom avea x minus 3 plus 1 pe 2 este egal cu x minus 5 pe 2.
Așadar obținem 6 la puterea x minus 5 supra 2 mai mare sau egal decât 1 pe 2.
Împărțim inegalitatea la 3.
6 la puterea x minus 5 pe 2 este mai mare sau egal decât 1 supra 6.
O să scriem și numărul 1 pe 6 ca o putere a lui 6.
6 la x minus 5 pe 2 este mai mare sau egal decât 6 la minus 1.
Am obținut în ambii membri două puteri cu aceeași bază supraunitară,
în consecință funcția este stricrescătoare.
Deci vom avea x minus 5 pe 2 mai mare sau egal decât minus 1.
Obținem x mai mare sau egal decât minus 1 plus 5 pe 2.
x mai mare sau egal decât 3 supra 2.
Soluția va fi intervalul 3 pe 2 plus infinit.
Următoarea inequatie.
1 supra 5 la 2x înmulțit cu 1 supra 25 la x pătrat este mai mic sau egal decât 25 ori 1 supra 5 la puterea minus 3x.
Formăm aceeași bază în ambii membri.
Vrem să scriem toate aceste puteri cu baza 1 supra 5.
Vom avea 1 pe 5 la puterea 2x ori 1 supra 25 se scrie 1 pe 5 totul la a doua.
Și pentru că avem aici un x pătrat vom avea 1 pe 5 la 2x pătrat mai mic sau egal.
25 este egal cu 5 la a doua iar 5 la a doua se poate scrie 1 supra 5 la minus 2 ori 1 supra 5 la minus 3x.
Acum avem puteri cu aceeași bază și putem aduna exponenții.
1 supra 5 la puterea 2x plus 2x pătrat este mai mic sau egal decât 1 supra 5 la puterea minus 2 minus 3x.
Avem aceeași bază în ambii membri.
Atenție, baza este subunitară 1 pe 5 așadar relația de ordine dintre exponenți se va schimba.
Vom avea 2x plus 2x pătrat este mai mare sau egal decât minus 2 minus 3x.
2x pătrat plus 2x plus 3x plus 2 este mai mare sau egal cu 0.
2x pătrat plus 5x plus 2 este mai mare sau egal cu 0.
Voi continua alăturat.
Pentru a rezolva această inequatie de gradul al doilea vom rezolva mai întâi ecuația 2x pătrat plus 5x plus 2 egal cu 0.
Delta este 25 minus 4 ori 2 ori 2.
25 minus 16 este 9.
X1 este minus 5 plus 3 supra 4 egal cu minus 1 supra 2.
X2 este minus 5 minus 3 supra 4 egal cu minus 2.
Vom face în continuare tabelul de semn.
Avem x.
Funcția de gradul al doilea 2x pătrat plus 5x plus 2.
De la minus infinit la plus infinit am obținut rădăcinile minus 2 și minus 1 pe 2.
Această expresie se anulează pentru x egal cu minus 2 respectiv x egal cu minus 1 pe 2.
Funcția de gradul al doilea are semnul lui A în afara rădăcinilor.
A este 2 pozitiv, deci în afara rădăcinilor avem semnul plus și semn contrar lui A între rădăcini.
Pe noi ne interesează ca această expresie să fie mai mare sau egal cu 0.
Obținem valori mai mari sau egale cu 0 pe aceste intervale.
În consecință obținem x aparține intervalului minus infinit minus 2 închis la minus 2 pentru că avem mai mare sau egal reunit cu intervalul minus 1 supra 2 plus infinit.
Soluția în ecuație va fi intervalul minus infinit minus 2 reunit cu intervalul minus 1 pe 2 plus infinit.
Următoarea în ecuație.
3 la puterea 2x minus 12 ori 3 la x plus 27 este mai mic ca 0.
3 la 2x se poate scrie 3 la x totul la a doua minus 12 ori 3 la x plus 27 mai mic ca 0.
În continuare vom face o substituție.
Vom nota 3 la x cu t.
Obținem astfel ecuația de gradul al doilea pune cunoscuta t.
t la a doua minus 12t plus 27 mai mic ca 0.
Pentru a rezolva această inequație vom rezolva mai întâi ecuația de gradul al doilea.
t la a doua minus 12t plus 27 egal cu 0.
Delta este 144 minus 4 ori 27 egal cu 144 minus 108 ne dă 36.
t1 este 12 plus 6 supra 2.
18 pe 2 este egal cu 9.
t2 este 12 minus 6 supra 2.
6 pe 2 este 3.
Nu o să mai facem tabelul de semn.
Funcția de gradul al doilea are semnul lui a în afara rădăcinilor și semn contrar lui a între rădăcini.
a este 1 pozitiv.
Semn contrar lui a va fi între rădăcini.
Pe noi ne interesează semnul contrar.
Așadar obținem t aparține intervalului 3-9.
Interval deschis deoarece inegalitatea este strictă.
Dacă revenim la notația făcută,
obținem că 3 este mai mic decât 3 la x, mai mic decât 9.
Vom scrie numerele 3 și 9 ca puteri ale lui 3.
3 la 1 este mai mic decât 3 la x și mai mic decât 3 la 2.
Funcția exponențială cu baza supraunitară este strict crescătoare.
Așadar vom avea 1 mai mic decât x, mai mic decât 2.
În consecință, x aparține intervalului 1-2.
Soluția în ecuație este intervalul deschis 1-2.