Transcript: Inecuații cu numere zecimale

Să rezolvăm acum câteva inequații cu numere decimale. Însă, mai întâi, haideți să ne amintim ce este aceea o ecuație.
O ecuație este o egalitate matematică ce conține un necunoscut.
Acum, dacă înlocuim semnul egal cu unul din semnele strict mai mic sau mai mic sau egal sau strict mai mare sau mai mare sau egal,
atunci ceea ce vom obține se numește inequație.
De exemplu, x adunat cu 1,3 strict mai mic decât 11,5 este o inequație.
Pe scurt, o inequație este o inegalitate matematică ce conține o necunoscută.
Acum, ca să rezolvăm inequații, vom proceda așa cum am învățat la ecuații, doar că în loc de egal vom avea unul din aceste semne.
Și vom lua pe rând tipurile de inequații cel mai des întâlnite.
Să găsim acum toate numerele naturale x care verifică următoarele inequații.
Și prima inequație este aceasta.
Deci, noi trebuie să vedem ce numere naturale adunate cu 1,3 dau la rezultat un număr mai mic strict decât 11,5.
Vom proceda cum am făcut și la ecuații, adică vrem să îl izolăm pe x de 1,3.
Ca să facem acest lucru, putem să tragem această bară verticală, să scriem "-1,3".
Ce vom obține?
Avem aici x plus 1,3 minus 1,3, deci scădem 1,3 din ambii membri a inegalității, strict mai mic decât 11,5 minus 1,3.
Păi aici 1,3 minus 1,3 ne dă 0.
x plus 0 înseamnă x strict mai mic decât.
Facem această diferență și ne dă 10,2.
Acum, care sunt numerele naturale strict mai mici ca 10,2?
Foarte simplu, putem să notăm că x aparține următoarei mulți.
0, 1, 2, 3 și așa mai departe.
Unde ne oprim? Ne oprim la 10 pentru că numărul trebuie să fie strict mai mic ca 10 și ceva.
Deci și 10 este o valoare corectă.
Fie putem să notăm ca aici sau putem să scriem că soluția acestei inequații este dată de numerele 0, 1, 2, 3 și așa mai departe până la 10.
Înlocuindu-l pe x cu oricare dintre aceste numere vom obține o relație adevărată.
Acum, putem să observăm că dacă la ecuații obțineam cel mult o soluție, la inequații este foarte posibil să avem mai multe soluții.
Aceasta nu este singura metodă prin care putem rezolva inequații.
Putem să folosim și acea variantă scurtă, să-i spunem așa, pe care am învățat-o la ecuații.
De exemplu, dându-se o inequație, ca să-l obținem pe x putem să-l mutăm pe 1,3 peste cu semn schimbat și vom obține că x este strict mai mic decât 11,5 minus 1,3.
Deci x este strict mai mic decât 10,2 și am obținut ce era și aici.
Acum, această variantă de rezolvare nu este una riguroasă însă este corectă.
Dar, ca să nu existe vreo confuzie, vom rezolva fiecare inequație în parte folosind această metodă.
Și acum, haideți să ștergem și să rezolvăm o altă inequație.
În primul rând, aici am avut acest tip de inequație, necunoscuta adunată cu un număr.
Haideți să facem acum un alt tip, necunoscuta minus un număr.
Și vom lua acest exemplu, x minus 4,3 să fie mai mare sau egal decât 3,1.
Acum, noi vrem să-l obținem pe x.
Păi, dacă din x am scăzut 4,3, ca să-l obținem înapoi pe x, înseamnă că trebuie să adunăm la această relație pe 4,3.
Și vom avea x minus 4,3 adunat cu 4,3 este mai mare sau egal decât 3,1 adunat cu 4,3.
Păi, aici am spus că vom obține x mai mare sau egal decât 7,4.
Păi, care sunt numerele naturale mai mari sau egale cu 7,4?
Foarte simplu, vom începe de la numărul 8.
x aparține mulțimii 8,9,10 și așa mai departe.
Avem, de fapt, o mulțime infinită sau putem să scriem sub această formă.
Mulțimea soluțiilor este dată de numerele 8,9,10 etc.
Un alt tip de inequație este acesta în care avem necunoscuta înmulțită cu un număr.
Și haide să dăm și un exemplu.
x înmulțit cu 9,2 să fie strict mai mare decât 2,76.
Păi, procedăm cum am făcut la ecuație.
Ca să determinăm pe x, de vreme ce avem x înmulțit cu un număr,
ca să-l obținem pe x, trebuie să împărțim această relație la numărul care apare aici, adică 9,2.
x înmulțit cu 9,2 împărțit tot la 9,2 înseamnă că ne va da x.
Deci putem să scriem direct x strict mai mare decât 2,76 împărțit la 9,2.
Și haide să facem acum împărțirea.
Voi face alături 2,76 împărțit la 9,2.
Înmulțim cu 10 împărțitorul.
Deci vom avea împărțitorul 92.
Înmulțim cu 10 și aici avem 27,6.
27 împărțit la 92 ne dă 0.
0 × 92, 0.
Facem diferența 27.
Am ajuns la virgulă.
O trecem la cât și coborăm 6.
276 împărțit la 92.
92 intră în acest număr de 3 ori.
3 × 2 ne dă 6.
3 × 9, 27.
Facem diferența și observăm că s-a încheiat.
Am obținut 0,3.
Deci x trebuie să fie mai mare decât 0,3.
Păi care sunt numerele naturale mai mari ca 0,3?
Foarte simplu.
Avem toate numerele naturale de la 1 încolo.
1, 2, 3, 4 și așa mai departe.
O mulțime infinită.
De fapt, putem să scriem că soluția este dată de mulțimea numerelor naturale diferite de 0.
Deci am notat aici N star.
Alt exemplu.
Avem acum un alt tip de ecuație.
Necunoscuta împărțită la un număr.
Și să dăm și un exemplu.
Necunoscuta împărțită la un număr.
2,8.
Să fie strict mai mic decât 5.
Dacă pe x l-am împărțit la un număr.
Ca să-l obținem înapoi pe x.
Înseamnă că relația dată trebuie să o înmulțim cu numărul care apare aici.
Deci cu 2,8.
Pentru că x împărțit la un număr înmulțit apoi cu același număr.
Deci notăm aici că x este strict mai mic decât 5.
Pe care îl înmulțim cu 2,8.
Și să facem calculul.
2,8 înmulțit cu 5.
5 ori o 40, 0, 4 minte.
5 ori o 20, cu 4 din minte, 14.
Avem o decimală.
Deci obținem numărul 14.
Cu alte cuvinte, x este strict mai mic decât 14.
Care sunt numerele naturale?
Strict mai mici ca 14.
Păi avem că x aparține următoarea înmulțime.
0, 1, 2, 3 și așa mai departe până la 13.
Avem aici o mulțime finită, nu una infinită.
Până acum am discutat de 4 tipuri de inequații.
Și haide să ne le reamintim.
Mai întâi am vorbit de situația în care aveam o necunoscută adunată cu un număr.
Care e același lucru cu un număr adunat cu o necunoscută.
Pentru că adunarea este o operație comutativă.
Scăderea însă este și ea o operație comutativă?
Nu.
Una e să spunem 4 minus 3 și alta e să spunem 3 minus 4.
Deci scăderea nu este o operație comutativă.
De aceea, haide să trecem aici cu semne exclamării.
Situația în care avem invers un număr minus o necunoscută.
Și o să discutăm imediat despre acest caz.
Când am vorbit despre înmulțire.
Și înmulțirea este o operație comutativă.
Deci dacă avem cazul în care avem un număr înmulțit cu o necunoscută.
Îl vom trata ca și aici.
Însă împărțirea ca și scăderea nu este o operație comutativă.
Deci dacă avem un număr împărțit la o necunoscută.
E o situație pe care o vom trata diferit.
Și vedem imediat cum.
Începem cu acest tip de inequatie.
Problemă să-i spunem așa.
Un număr minus o necunoscută.
Și am ales varianta în care avem numere naturale ca să ne fie mai simplu.
Deci trebuie să găsim toate numere naturale.
X care verifica această relație.
Păi să luăm prin încercări.
Dacă X este 0.
5 minus 0 este mai mic sau egal cu 3? Nu.
5 minus 1 este mai mic sau egal cu 3?
Nici acesta.
5 minus 2 ne dă 3.
Și el este mai mic sau egal cu 3.
5 minus 3 ne dă 2.
Care este mai mic sau egal cu 3.
La fel și 5 minus 4 verifica relația.
5 minus 5 deja obținem 0.
Care e mai mic sau egal cu 3.
5 minus 6 însă ne dă minus 1.
Și este mai mic sau egal cu 3.
De fapt toate numerele negative sunt mai mici sau egale cu 3.
Deci și numerele de la 6 încolo verifică această relație.
Asta înseamnă că X aparține cărei mulțime?
Păi începem de la 2.
2, 3, 4, 5, 6 și așa mai departe avem o mulțime infinită.
Bun, această rezolvare a fost prin încercări.
Cum rezolvăm și altfel această inequatie?
5 minus X mai mic sau egal cu 3.
Păi nu ne convine faptul că ne apare aici minus X.
Ca să eliminăm această situație adunăm în inegalitate chiar necunoscuta.
Și vom avea 5 minus X plus X mai mic sau egal cu 3 la care îl adunăm pe X.
Păi dacă din 5 scădem X și apoi adunăm tot X
înseamnă că obținem numărul 5 care este mai mic sau egal cu 3 plus X.
Acum ca să îl găsim pe X trebuie să îl eliminăm de aici pe 3.
Deci putem să folosim din nou bara verticală și scriem minus 3.
Și avem 5 din care îl scădem pe 3 mai mic sau egal cu.
Aici haide să folosim comutativitatea X plus 3 minus 3.
O să vedem mai ușor cât obținem.
Și obținem că 2 este mai mic sau egal cu 3 minus 3, 0 X plus 0 X.
Păi asta înseamnă că X este mai mare sau egal cu 2.
Iată X aparține acestei mulțimi de la 2 încolo.
Cu alte cuvinte ca să rezolvăm o asemenea inequatie adunăm în relație chiar necunoscuta.
Și haideți să dăm un exemplu cu numere decimale.
16,8 minus X să fie mai mic sau egal cu 5,2.
Păi cum am spus îl adunăm pe X în această relație și vom avea.
Dacă din acest număr scădem X și apoi adunăm tot X înseamnă că ne dă numărul de la care am plecat.
Adică 16,8 mai mic sau egal cu 5,2 plus X.
Ca să îl găsim pe X scăpăm acum să spunem așa de 5,2.
Deci haideți să scriem aici minus 5,2.
Și aici chiar voi schimba.
Haideți să scriem cu alb.
Deci voi avea plus X ca să se vadă mai bine ce facem.
Deci 16,8 din care îl scădem pe 5,2 este mai mic sau egal cu.
Aici vom avea X plus 5,2 minus 5,2 ne dă X.
Facem diferența și obținem 11,6 mai mic sau egal cu X.
Adică X e mai mare sau egal cu 11,6.
Deci X aparține cărei mulțime?
12, 13 și așa mai departe mulțime infinită.
Putem să facem și verificarea ca să înțelegem mai bine.
Dacă luăm din curiozitate pe X egal cu 11.
Deci nu 12 ci numărul imediat mai mic 11.
Ce înlocuim aici?
16,8 minus 11 ne dă 5,8 care nu este mai mic sau egal cu 5,2.
Însă dacă X este 12, 16,8 minus 12 ne dă 4,8.
Iar acest număr este mai mic sau egal cu 5,2.
Deci iată că numărul 12 într-adevăr verifică și așa sunt toate numerele de la 12 încolo.
Ultimul tip de inequatie este acesta în care avem un număr împărțit la o necunoscută.
2,4 împărțit la X strict mai mare decât 0,3.
Acum, când avem acest tip de inequatie adică un număr împărțit la necunoscută
este foarte important să vedem ce condiție punem asupra necunoscutei.
Păi când putem noi să împărțim un număr la X?
Când X nu este 0.
Deci atenție, X nu poate să ia valoarea 0.
Poate că acest lucru la anumite inequatie este trecut în enunț,
însă aici în enunțul nostru nu apare.
Scrie doar găsiți toate numerele naturale X.
Nu scrie toate numerele naturale X diferite de 0.
Dar noi trebuie să punem această condiție.
Bun, și acum cum rezolvăm?
Păi e mai greu să rezolvăm o inequatie când avem un număr împărțit la X.
De aceea, ca să evităm această situație înmulțim inequatia dată chiar cu necunoscuta.
Și putem să facem acest lucru pentru că există un număr natural diferit de 0.
Bun, și vom avea așa.
2,4 împărțit la un număr înmulțit cu același număr ne va da 2,4.
Deci avem 2,4
va fi strict mai mare decât 0,3 înmulțit cu X.
Acum ca să îl determinăm pe X trebuie să împărțim această relație chiar la 0,3.
De aceea, haideți să scriu tot cu alb înmulțit cu X și voi face aici împărțit la 0,3.
Și vom avea 2,4 împărțit la 0,3 strict mai mare decât.
Aici avem X înmulțit cu 0,3 împărțit la 0,3.
Știm, înmulțirea e comutativă.
Aici vom obține 2,4 împărțit la 0,3.
Înmulțim cu 10 împărțitorul, deci vom obține 3.
Înmulțim cu 10 și aici avem 24 împărțit la 3, ne dă 8.
Deci vom avea 8 strict mai mare decât X.
Aici avem 0,3 împărțit la 0,3.
1 X ori 1 ne dă X.
Cu alte cuvinte putem să notăm că X este un număr natural strict mai mic decât 8.
Deci X aparține cărei mulțimi?
Am fi tătați să începem de la 0 însă știm că X nu poate să ia valoarea 0 din această cauză.
Deci începem de la 1, 1, 2, 3 și așa mai departe până la 7 pentru că el trebuie să fie strict mai mic decât 8.
Deci în această situație, când avem acest tip de inequatie, să fim atenti să punem această condiție
și putem să rezolvăm acest tip de inequatie înmulțind relația chiar cu necunoscuta.