Transcript: Inecuații cu coeficienți reali

O inequație este o propoziție matematică cu o variabilă în care apare unul din semnele mai mic, mai mare, mai mic sau egal, mai mare sau egal.
Un număr întreg este o soluție a inequației dacă, înlocuind necunoscuta cu acel număr, se obține o propoziție adevărată.
Pentru a rezolva inequațiile, vom face operații succesive în ambii membri ai inegalității, astfel încât să separăm necunoscuta X de celălalti termeni și să obținem valori posibile ale necunoscutei X.
De reținut că atunci când înmulțim sau împărțim ambii membri ai unei inequații cu un număr negativ, semnul inegalității se schimbă.
Facem un exercițiu. Cerința exercițiului este următoarea. Rezolvați înmulțimea numerelor naturale următoarele inequații.
La punctul a, mic, avem minus radical din 2X plus radical din 72. Este mai mare sau egal decât 0.
În prima etapă încercăm să facem o operație astfel cât în membrul stâng al inequației se rămână doar termenul care conține necunoscuta X.
Pentru a-l elimina pe radical din 72 din membrul stâng, va trebui să scădem acest radical din ambii membri ai inegalității.
Pentru că radical din 72 minus radical din 72 va fi 0, iar în membrul stâng va rămâne minus radical din 2X.
Acesta este mai mare sau egal decât minus radical din 72.
Între minus radical din 2 și X avem operația de înmulțire.
Pentru a elimina coeficientul din fața lui X trebuie să facem operația inversă înmulțirii, adică împărțirea.
Așadar împărțim ambii membri ai inequației la minus radical din 2.
Atenție, minus radical din 2 este număr negativ, deci se va schimba semnul inequației.
Obținem X mai mic sau egal decât minus radical din 72 împărțit la minus radical din 2.
X va fi mai mic sau egal decât radical din 36.
X va fi mai mic sau egal decât 6.
Pentru că trebuie să rezolvăm această inequație în mulțimea numerelor naturale,
valorile posibile ale lui X vor fi 0, 1, 2, 3, 4, 5 și 6.
X trebuie să fie număr natural.
A doua inequație, minus X radical din 5 plus radical din 45 este mai mare decât 0.
Ca să-l eliminăm pe radical din 45, o să scădem acest număr din ambii membri ai inequației.
Minus X radical din 5 va fi mai mare decât 0 minus radical din 45, adică minus radical din 45.
Putem acum să înmulțim această inequație cu minus 1 pentru a elimina semnul minus din ambii membri ai inequației.
Obținem X radical din 5 mai mic decât radical din 45.
Între X și radical avem în mulțire, așadar trebuie să împărțim la radical din 5.
Obținem X mai mic decât radical din 45 împărțit la radical din 5.
X va fi mai mic decât radical din 9.
Aici am aplicat o formulă de calcul cu radical.
Radical din A împărțit la radical din B este radical din A împărțit la B.
Și mai avem și următoarea formulă, radical din A ori radical din B este radical din A ori B.
Am vrut doar să reamintesc aceste formule.
Deci radical din 45 împărțit la radical din 5 va fi radical din 9.
X este mai mic decât 3.
Numerele naturale mai mici strict decât 3 sunt 0, 1 și 2.
X aparține mulțimii 0, 1 și 2.
Următoarea inequație.
Minus 4X plus 11 mai mare decât 0.
O să scădem pe 11 din ambii membrii și obținem minus 4X mai mare decât minus 11.
Putem să împărțim la minus 4.
Și avem X mai mic decât minus 11 împărțit la minus 4.
Minus împărțit la minus va fi plus.
Și acum să facem 11 împărțit la 4.
4 în 11 se cuprinde de 2 ori.
2 ori 4 este 8.
Efectuăm scăderea.
Adăugăm un 0, 4 în 30.
Intră de 7 ori.
7 ori 4 este 28.
Efectuăm scăderea.
Adăugăm un 0, 4 în 20.
Intră de 5 ori.
5 ori 4 este 20.
Am obținut că X este mai mic decât 2,75.
X trebuie să fie număr natural pentru că așa era cerința exercițiului.
Iar numerele naturale mai mici strict decât 2,75
vor fi 0, 1 și 2.
Și punctul D.
Ultima inequatie.
X supra 2 minus X supra 3.
Mai mic decât 2.
În membrul stâng avem două fracții cu numitori diferiți.
Ca să putem efectua această scădere aducem fracțiile la același numitor.
Numitorul comun va fi 6.
Amplificăm prima fracție cu 3 și a doua fracție cu 2.
Obținem 3X supra 6 minus 2X supra 6.
Mai mic decât 2.
Putem scrie o singură linie de fracție.
3X minus 2X totul supra 6.
Mai mic decât 2.
3X minus 2X este X supra 6.
Mai mic decât 2.
Ca să eliminăm numitorul o să înmulțim această inequatie cu 6.
Fac alături un mic calcul.
6 ori X supra 6.
Se simplifică 6 cu 6 și rămâne X.
Deci în membrul stâng o să avem X mai mic decât 2 ori 6.
X va fi mai mic decât 12.
X aparține în mulțimii 0, 1, 2, 3 și așa mai departe.
Ultimul număr va fi 11 pentru că X trebuie să fie strict mai mic decât 12.