Transcript: Funcțiile trigonometrice pt. argumentul dublu și triplu

În această lecție vom demonstra formulele trigonometrice ale argumentului dublu și triplu.
Dacă într-o formulă avem, de exemplu, sinx, atunci x este argument simplu,
dacă avem sin2x, atunci vorbim de un argument dublu,
iar dacă avem sin3x, vom spune că avem un argument triplu.
În continuare ne propunem să demonstrăm formulele pentru argumentul dublu și triplu,
iar pentru aceasta vom aplica formulele trigonometrice pentru suma a două unghiuri,
pe care le-am văzut în lecțiile trecute.
Haideți să ni le reamintim.
cosinus de A plus B este egal cu cos de A cos de B minus sin de A sin de B,
sinus de A plus B este egal cu sin de A cos de B plus cos de A sin de B,
iar tan de A plus B este tan de A plus tan de B supra 1 minus tan de A ori tan de B.
O să deducem mai întâi formula pentru sin2x.
2x se poate scrie ca o sumă x plus x.
Și aplicăm a doua formulă și vom avea sinx cosx plus cosx ori sinx.
Așadar am găsit formula sin2x egal cu 2 sinx cosx.
Aceasta este formula pentru sinusul argumentului dublu.
Iată, aici avem 2x.
Dacă aplicăm această formulă pentru argumentul simplu, deci în loc de 2x vom scrie x,
atunci în formulă în loc de x vom avea x supra 2.
Așadar sinx va fi egal cu 2 ori sinx supra 2 ori cosx supra 2.
Să vedem care este formula pentru cos2x.
Avem cosx plus x și aplicăm formula sumei de mai sus.
Obținem cosx cosx minus sinx sinx.
Prin urmare obținem formula cos2x egal cu cos2x minus sin2x.
Dar cos2x conform formulei fundamentale a trigonometriei este 1 minus sin2x minus sin2x.
Și obținem următoarea formulă pentru cosinusul argumentului dublu.
Cos2x egal cu 1 minus 2 sin2x.
Dar pornind de la această formulă putem să exprimăm și sin2x în funcție de cosinus.
Deci cos2x este cos2x minus, iar în loc de sin2x avem 1 minus cos2x.
Și obținem următoarea formulă cos2x egal cu 2 cos2x minus 1.
Așadar iată am găsit 3 formule pentru cos2x.
Notez această formulă cu 1 și 2.
Din formula 1 putem exprima sin2x și obținem sin2x egal cu 1 minus cos2x supra 2.
Iar din formula a doua obținem cos2x egal cu 1 plus cos2x supra 2.
Este bine să reținem și aceste formule pentru că o să le aplicăm în execiții.
Acum mai trebuie să exprimăm tangenta unghiului dublu.
Vom folosi această formulă pentru tangenta sumei.
Tangenta de 2x este tangentă de x plus x și egal cu tangentă de x plus tangentă de x supra 1 minus tangentă de x ori tangentă de x.
Și obținem 2 tangentă de x supra 1 minus tangentă pătrată de x.
Am găsit așadar formula tangentă de 2x egal cu 2 tangentă de x supra 1 minus tangentă pătrată de x.
Dacă în locul argumentului dublu avem un argument simplu, atunci formula devine tangentă de x egal 2 ori tangentă de x supra 2 supra 1 minus tangentă pătrată de x supra 2.
Deci argumentul în acest caz se înjumătățește.
Această formulă este valabilă atâta timp cât cosinus de 2x este diferit de 0, deoarece tangenta este raportul dintre sinus și cosinus și cosinus de x diferit de 0.
Iar pentru a doua formulă vom pune condiția cosinus de x pe 2 să fie diferit de 0.
Acestea au fost formulele trigonometrice pentru argumentul dublu.
În continuare ne propunem să calculăm sinus de 3x respectiv cosinus de 3x.
Sinus de 3x se poate scrie sinus de x plus 2x.
Și acum aplicăm formula pentru suma a două unghiuri și avem sinus de x ori cosinus de 2x plus cosinus de x ori sinus de 2x egal cu sinus de x pe lângă.
În loc de cosinus de 2x putem să scriem 1 minus 2 sin pătrat de x.
Am văzut mai devreme că are loc această relație.
Plus cosinus de x.
Iar în loc de sinus de 2x avem 2 sin de x cos de x egal.
Desfacem paranteza.
Sin de x minus 2 sinus la 3a de x plus 2 sinus de x ori cosinus pătrat de x egal cu sinus de x minus 2 sin la 3a de x plus 2 sin de x.
Iar în loc de cos pătrat de x putem să scriem 1 minus sin pătrat de x conform formulae fundamentale a trigonometriei.
Egal cu sin de x minus 2 sin la 3a de x plus 2 sinus de x minus 2 sin la 3a de x egal.
Sin de x cu 2 sin de x este 3 sin de x.
Iar minus 2 sinus la 3a cu minus 2 sinus la 3a este minus 4 sin la 3a de x.
Am găsit așadar formula sinus de 3x egal cu 3 sinus de x minus 4 sin la 3a de x.
În continuare o să deducem formula pentru cosinus de 3x.
Cos de 3x este cosinus de x plus 2x.
Aplicăm formula pentru suma a două unghiuri și obținem cos de x cos de 2x minus sin de x sinus de 2x egal cos de x.
În loc de cosinus de 2x voi scrie 2 cos pătrat de x minus 1.
Vreau să scriem doar în funcție de cosinus această relație minus sinus de x ori în loc de sinus de 2x avem 2 sin de x cos de x egal cu 2 cos la 3a de x minus cos de x minus 2.
Sin pătrat de x ori cos de x.
O să scriu întâi cos de x pe lângă.
Sinus pătrat de x va fi 1 minus cos pătrat de x.
Și avem 2 cos la 3a de x minus cos de x minus 2 cos de x plus 2 cos la 3a de x egal.
2 cos la 3a plus 2 cos la 3a este 4 cos la 3a de x și minus 3 cosinus de x.
Deci am găsit formula cosinus de 3x este egal cu 4 cosinus la 3a de x minus 3 cosinus de x.
În cele ce urmează vom exprima sinus și cosinus în funcție de tangenta jumătății unui unghi.
Iar aceste formule mai poartă denumirea de substituție universală.
Să recapitulăm puțin formulele demonstrate până acum.
Sinusul argumentului dublu este egal cu 2 sin de x cos de x.
Pentru cosinusul argumentului dublu avem 3 formule pe care le putem aplica.
Cos de 2x este cos pătrat de x minus sin pătrat de x sau
1 minus 2 sin pătrat de x sau 2 cos pătrat de x minus 1.
Iar tangenta unghiului dublu, tangentă de 2x, este 2 tangentă de x supra 1 minus tangentă pătrată de x.
Argumentul simplu poate fi văzut ca dublul unghiului pe jumătate,
prin urmare, din această relație obținem următoarea formulă.
Sinus de x este 2 sin de x pe 2 cos de x pe 2.
Iar această relație duce la următoarea formulă.
Cosinus de x este egal cu cos pătrat de x pe 2 minus sin pătrat de x pe 2.
De asemenea, avem tangentă de x egal cu 2 tangentă de x pe 2 supra 1 minus tangentă pătrată de x pe 2.
Am mai văzut și aceste formule.
Sin pătrat de x este egal cu 1 minus cos de 2x pe 2,
iar cos pătrat de x este 1 plus cosinus de 2x supra 2.
Formulele pentru argumentul triplu sunt următoarele.
Sinus de 3x este egal cu 3 sin de x minus 4 sin la 3a de x,
iar cosinus de 3x este egal cu 4 cos la 3a de x minus 3 cos de x.
În continuare, ne propunem să scriem sinus de x în funcție de tangenta jumătății unui unghi.
Sinus de x se poate scrie sinus de x pe 1.
Acum aplicăm această formulă.
În loc de sinus de x, voi scrie 2 sinus de x pe 2 ori cosinus de x pe 2,
iar 1 se poate scrie sinus pătrat de x pe 2 plus cos pătrat de x pe 2.
Suma dintre pătratul sinusului și pătratul cosinusului unui unghi este întotdeauna egală cu 1.
În continuare, o să împărțim atât numărătorul cât și numitorul la cos pătrat de x pe 2,
deoarece dorim ca în această formulă să ne apară tangentă de x pe 2.
Dacă împărțim numărătorul la cos pătrat de x pe 2, se va simplifica acest cosinus de x pe 2
și obținem 2 sinus de x pe 2 supra cosinus de x pe 2,
iar dacă împărțim numitorul la cos pătrat de x pe 2 și scriem apoi ca o sumă de două fracții,
vom avea cos pătrat de x pe 2 supra cos pătrat de x pe 2, se simplifică și ne dă 1 plus,
iar aici vom scrie sinus pătrat de x pe 2 supra cosinus pătrat de x pe 2, egal.
Sin de x pe 2 supra cos de x pe 2 este tangentă de x pe 2,
iar acest raport, sin pătrat supra cos pătrat, este tangentă pătrată de x pe 2.
Așadar obținem 2 tangentă de x pe 2 supra 1 plus tangentă pătrată de x supra 2.
Așadar să reținem formula sinus de x egal cu 2 tangentă de x pe 2 supra 1 plus tangentă pătrată de x pe 2.
În continuare o să demonstrăm formula pentru cosinus de x în funcție de tangenta unghiului pe jumătate.
Cosinus de x este cosinus de x pe 1.
Aplicăm această relație și avem cos pătrat de x pe 2 minus sin pătrat de x pe 2,
iar în loc de 1 o să scriem din nou sin pătrat de x pe 2 plus cos pătrat de x pe 2.
O să împărțim atât numărătorul cât și numitorul la cos pătrat de x pe 2 și vom obține...
Aici se simplifică și ne dă 1 minus sin pătrat de x pe 2 supra cos pătrat de x pe 2 este tangentă pătrată de x pe 2.
Sin pătrat de x pe 2 supra cos pătrat de x pe 2 este tangentă pătrată de x pe 2 plus 1.
Așadar am găsit formula cosinus de x egal 1 minus tangentă pătrată de x pe 2 supra 1 plus tangentă pătrată de x pe 2.
Putem să adăugăm și aceste două formule la cele scrise anterior.
Deci sinus de x este 2 tangentă de x pe 2 supra 1 plus tangentă pătrată de x pe 2,
iar cosinus de x este 1 minus tangentă pătrată de x pe 2 supra 1 plus tangentă pătrată de x pe 2.