Transcript: Funcţii trigonometrice. Tabelul valorilor uzuale

În această lecție o să deducem valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile uzuale, având măsurile de 30 de grade, 45 și 60 de grade.
Să ne reamintim mai întâi funcțiile trigonometrice.
Sinus de x este, prin definiție, cateta opusă unghiului x supraipotenuză.
Cosinus de x este cateta alăturată supraipotenuză.
Tangenta unghiului x este cateta opusă supra cateta alăturată.
Iar cotangenta de x este cateta alăturată supra cateta opusă.
Vom face și un tabel în care vom trece funcțiile trigonometrice obținute pentru unghiurile de 30, 45 și 60 de grade.
Desenăm un triunghi dreptunghic ABC în care măsura unghiului A este de 90 de grade și măsura unghiului C este de 30 de grade.
Știm că în orice triunghi suma măsurilor unghiurilor este egală cu 180 de grade.
Dacă scădem din 180 de grade măsura unghiului A și măsura unghiului C, obținem astfel că măsura unghiului B va fi egală cu 60 de grade.
Așadar, într-un triunghi dreptunghic în care un unghi ascuțit are măsura de 30 de grade, celălalt unghi va avea măsura de 60 de grade.
Vom nota ipotenuza acestui triunghi cu litera A.
Știm că într-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unghiului cu măsura de 30 de grade este jumătate din ipotenuză.
Înseamnă că AB va fi jumătate din BC, adică a supra 2.
Vom aplica teorema Vipitagora în triunghiul ABC pentru a determina lungimea laturii AC.
AB la pătrat plus AC la pătrat este egal cu BC la pătrat.
A supra 2 totul la a doua plus AC la a doua este egal cu A la a doua.
A la a doua supra 4 plus AC la a doua este egal cu A la a doua.
AC la pătrat va fi egal cu A la a doua minus A la a doua supra 4.
Trebuie să aducem fracțiile la numitor comun și amplificăm prima fracție cu 4.
AC la a doua va fi egal cu 4 A la a doua supra 4 minus A la a doua supra 4.
AC la a doua va fi egal cu 3 A la a doua supra 4.
Va rezulta că AC este egal cu radical din 3 A la a doua supra 4 și egal cu A radical din 3 supra 2.
Am obținut astfel că lungimea laturii AC este A radical din 3 supra 2.
Acum calculăm funcțiile trigonometrice pentru unghiul C.
Sinus de 30 de grade este egal cu raportul dintre cateta opusă unghiului C, adică AB, care are lungimea A supra 2,
supra ipotenuză, care are lungimea egală cu A.
Linia de fracție înseamnă împărțire, astfel vom împărți prima fracție la a doua și obținem A supra 2 împărțit la A.
Dar A este de fapt fracția A supra 1 și pentru a împărți două fracții se înmulțește prima fracție cu inversa celei de-a doua.
Simplificăm pe diagonală și obținem rezultatul 1 supra 2.
Astfel sinus de 30 de grade este egal cu 1 supra 2.
Calculăm acum cosinus de 30 de grade.
Cosinus este raportul dintre cateta alăturată unghiului C, adică AC, supra ipotenuză.
AC este A radical din 3 supra 2, iar ipotenuza este A.
Egal cu A radical din 3 supra 2 împărțit la A.
Egal cu A radical din 3 supra 2 ori 1 supra A.
Se simplifică A și obținem radical din 3 supra 2.
Deci cosinus de 30 de grade este radical din 3 supra 2.
Acum calculăm tangentă de 30 de grade.
Tangenta este cateta opusă unghiului C, adică AB, supra cateta alăturată AC.
AB este A supra 2, iar AC este A radical din 3 supra 2.
Egal, împărțim cele două fracții A supra 2 împărțit la A radical din 3 supra 2.
Egal cu A supra 2 ori 2 supra A radical din 3.
Se simplifică 2 cu 2 și A cu A și obținem 1 supra radical din 3.
Raționalizăm amplificând cu radical din 3 și egal cu radical din 3 supra 3.
Pentru că radical din 3 ori radical din 3 este radical din 9, adică 3.
Astfel, tangentă de 30 de grade este radical din 3 supra 3.
Și mai trebuie să calculăm cotangenta unghiului de 30 de grade.
Cotangenta este cateta alăturată supra cateta opusă.
Cateta alăturată unghiului C este A radical din 3 supra 2.
Iar cateta opusă este A supra 2.
Egal cu A radical din 3 supra 2.
Voi scrie direct ori inversa celei de-a doua fracții, ori 2 supra A.
Se simplifică A cu A și 2 cu 2 și obținem radical din 3.
Deci cotangenta de 30 de grade este radical din 3.
Acum vom calcula în continuare funcțiile trigonometrice pentru unghiul B amând măsura de 60 de grade.
Vă șterge cele scrise până acum pentru a elibera spațiul de lucru.
Calculăm în continuare sinus de 60 de grade.
Acesta este cateta opusă unghiului B, adică AC supra ipotenuza BC.
A radical din 3 supra 2 supra A.
Egal cu A radical din 3 supra 2 înmulțit cu 1 supra A.
Se simplifică A cu A și obținem radical din 3 supra 2.
Sinus de 60 de grade este radical din 3 supra 2.
Cosinus de 60 de grade este cateta alăturată unghiului B, A supra 2.
Supra ipotenuză.
Egal cu A supra 2, ori 1 supra A.
Se simplifică A cu A și obținem 1 pe 2.
Tangenta de 60 de grade este cateta opusă unghiului B, adică AC
supra cateta alăturată unghiului B, A supra 2.
Egal cu A radical din 3 supra 2, ori 2 supra A.
Se simplifică pe diagonală 2 cu 2 și A cu A și rămână radical din 3.
Și cotangentă de 60 de grade este cateta alăturată unghiului B, A supra 2.
Supra cateta opusă, A radical din 3 supra 2.
Egal cu A supra 2, ori 2 supra A radical din 3.
Se simplifică 2 cu 2 și A cu A.
Obținem 1 supra radical din 3.
Raționalizăm amplificând cu radical din 3.
Va fi egal cu radical din 3 supra 3.
Deci cotangentă de 60 de grade este radical din 3 supra 3.
În continuare vom calcula funcțiile trigonometrice pentru un unghi cu măsura de 45 de grade.
Voi șterge acest triunghi și voi construi un alt triunghi ABC având un unghi cu măsura egală cu 45 de grade.
Am desenat un nou triunghi ABC în care măsura unghiului C este egală cu 45 de grade și măsura unghiului A este egală cu 90 de grade.
Pentru a obține măsura unghiului B, scădem din 180 de grade măsura unghiului A și măsura unghiului C.
Obținem astfel că măsura unghiului B este egală cu 45 de grade.
Observăm așadar că triunghiul ABC este un triunghi soscel deoarece are două unghiuri congruente.
Deci catetele acestui triunghi vor fi egale și putem să le notăm cu A.
Vom calcula lungimea laturii BC folosind teorema lui Pitagora.
BC va fi egal cu radical din doi A la a doua.
BC va fi egal cu A radical din doi.
Ipotenuza în acest triunghi este A radical din doi.
Acum vom calcula sinus de 45 de grade.
Să ne uităm de exemplu la unghiul B. Cateta opusă unghiului B este AC, iar ipotenuza este A radical din doi.
Se simplifică A cu A și obținem 1 supra radical din doi.
Raționalizăm și obținem radical din doi supra doi.
Astfel sinus de 45 de grade va fi egal cu radical din doi supra doi.
Acum vom calcula cosinus de 45 de grade.
Cateta alăturată unghiului B este AB, adică A, iar ipotenuza este A radical din doi.
Se simplifică A cu A și obținem 1 supra radical din doi.
Putem să raționalizăm și e egal cu radical din doi supra doi.
Cosinus de 45 de grade este egal cu sinus de 45 de grade și e egal cu radical din doi supra doi.
Tangentă de 45 de grade este raportul dintre cateta opusă unghiului B, adică AC, supra cateta alăturată unghiului B, adică AB.
A supra A este egal cu 1.
Și cotangentă de 45 de grade este cateta alăturată unghiului B, adică AB, supra cateta opusă AC.
Obținem din nou A supra A, se simplifică A cu A și obținem 1.
Am obținut astfel că tangentă de 45 de grade este 1, la fel și cotangentă de 45 de grade.
În cazul în care nu rețineți toate aceste valori, ele se pot deduce folosind teorema lui Pitangora și teorema referitoare la cateta opusă unghiului de 30 de grade într-un triunc dreptunghic.