Transcript: Funcții trigonometrice- coordonate în plan

Această lecție este rezervată funcților trigonometrice cu pregădere coordonatelor în plan.
Acele indicatoare ale ceasului, în mișcarea lor continuă, indicând la nesfârșit repetarea orelor,
constituie un model foarte simplu pentru toate fenomenele care se repetă periodic.
În această lecție și în cele ce urmează în mod evident specific aceste problematici,
vom studia funcții ale căror valori se repetă în mod periodic.
În mod special vom studia funcțiile trigonometrice.
Atunci când facem referire la funcții trigonometrice și spun sin, cos, tangentă, cotangentă,
discuțiile teoretice și mai apoi practice se fac prin intermediul unui cerc de rază 1, numit cerc trigonometric.
Astfel, pornind de la cunoscutul sistem cartezian XY, se construiește cercul trigonometric de centru O,
coordonate 0,0 și rază 1.
În acest cerc, pe baza unor noțiuni teoretice fundamentale în geometrie și în mod specific trigonometrie,
vom exprima funcțiile trigonometrice.
Astfel, așa cum cunoaștem, sistemul cartezian XY, cu punctele de coordonate 1,0, 0,1,
minus 1,0, respectiv 0, minus 1, delimitează cercul trigonometric de care comentam,
cerc de centru O și rază 1.
În figura prezentată, adică cercul trigonometric așa cum m-am exprimat,
se disting practic patru zone în care este învărțit cercul.
Aceste zone se numesc cadrane.
Fiecare din aceste cadrane sunt caracterizate la acest moment de puncte în plan,
deci coordonate în plan, așa cum spune și titlul lecției,
ce au valori ale căror coordonate sunt pozitive sau negative după caz.
Astfel, așa cum v-am arătat, zonele sunt cadranul 1, cadranul 2, cadranul 3, respectiv cadranul 4.
Mai mult decât atât, cadranul 1 este caracterizat de X pozitiv, respectiv Y pozitiv.
Cadranul 2 este caracterizat de X negativ,
vedeți că sunt în partea negativă a axei OX, respectiv Y pozitiv.
Cadranul 3 este caracterizat de X negativ, respectiv Y negativ.
Observați că de această dată sunt sub axea OX.
Ultimul cadran, cadranul 4, are X-ul pozitiv, respectiv Y-ul negativ.
În continuare, dacă în cercul trigonometric se înscrie un pătrat al cărul diagonale se intersectează în origine,
vor fi determinate punctele M, N, P și Q, puncte în care pătratul intersectează cercul, așa cum se observă în figură.
Punctele sunt dispuse astfel, M în cadranul 1, N în cadranul 2, P în cadranul 3, Q în cadranul 4.
Mai mult decât atât, dacă notăm cu A intersecția axei OX cu NP latura pătratului,
respectiv B intersecția axei OX cu latura MQ,
C intersecția axei OY cu NM,
practic OY cu NM,
respectiv D intersecția axei OY cu PQ,
se obțin triunghiuri conguriente, fiecare din acestea fiind triunghiuri dreptunghice isoscele.
Așa cum am exprimat în figura aceasta, sunt prezentate în mod clar, deci A, B, C, D.
Triunghiurile de care comentăm, congruiente, sunt M, O, B, O, N, C, O, C, N, N, O, A, A, O, P, P, O, D, D, O, Q, respectiv O, Q, B.
Mai mult decât atât, sunt triunghiuri congruiente deoarece
fiecare din figurile obținute în cadranul 1, 2, 3, respectiv 4, sunt pătrate.
Pe fiecare dată M, O, N, O, P, O, respectiv Q, O, vor juca rolul de diagonale.
Afirm aici că sunt congruente pentru că pătratele obținute sunt congruente.
Diagonala în fiecare pătrat împarte în triunghiuri congruente, ba mai mult dreptunghice, pentru că aici avem unghiuri drepte,
dreptunghice, și isoscele pentru că fiind laturi de pătrat, ele sunt congruente.
Astfel, exprim în continuare faptul că unghiurile mai sus comentate sunt dreptunghice,
respectiv laturile notate de mine cu a mic sunt egale.
Astfel, așa cum am afirmat, triunghiurile vor fi dreptunghice, isoscele.
În aceste condiții, M va avea coordonatele, deci M va avea coordonatele A, A,
N-ul va avea coordonatele minus A, A,
P-ul va avea coordonatele minus A, minus A,
iar Q-ul va avea coordonatele A, respectiv minus A.
Coordonate care sunt pentru punctul M,
pozitiv X-ul, pozitiv Y-ul, așa cum am afirmat, aparține a cadranului 1.
La N, X negativ, Y pozitiv, așa cum am afirmat, aparține cadranului 2.
La P, X negativ, Y negativ, deci aparține cadranului 3.
La Q, X pozitiv, Y negativ, aparține cadranului 4.
Deci cadranul 1, cadranul 2, cadranul 3, respectiv cadranul 4.
Ceea ce am comentat dispus în această figură,
în momentul în care, repet, punctul de aici are X-ul A,
deci XM este A, YM este A.
În mod evident, M de coordonate A și A aparține cadranului 1
întrucât atât A cât și A este pozitiv.
Dacă mă refer la punctul N, vorbesc XN este egal cu minusa,
YN este egal cu A.
Asta înseamnă că N aparține cadranului 2,
unde minusa este negativ, A-ul este pozitiv.
Dacă mă refer la punctul P, XP este minusa,
YP este de asemenea minusa.
Înțeleg de aici că P aparține cadranului 3, de această dată,
cu minusa negativ și, în mod evident, minusa negativ.
Când mă refer la Q, XQ este A, YQ este minusa,
vedeți că e sub axă.
Înțeleg de aici că Q aparține cadranului 4,
cu A pozitiv, minusa negativ.
Dacă luăm în discuție pătratul aferent cadranului 1,
pătratul MCOP de la tură A,
putem să determinăm, în continuare,
valorile reale ale coordonatelor punctului M.
Practic, pătratul la tură a mic și, mai cu seamă,
MO diagonală în acest pătrat,
ca și formulă diagonală este calculată cu L radical din 2.
Vă reamintesc că această formulă ați învățat-o în gimnaziu.
Practic, în cazul meu, MO va fi egal cu A radical din 2.
Se cunoaște încă din gimnaziu că, într-un trâng dreptunghic,
avem sinusul unui unghi,
calculat ca raport al catetei opuse cu ipotenuza,
și cosinusul unui unghi este raportul dintre cateta alăturată și ipotenuza.
Astfel, simt de MOB.
Practic, mă interesează acest unghi,
acesta fiind un trâng dreptunghic, așa cum ne-am lămurit.
Va fi cateta opusă, practic MB,
supraipotenuză MO.
MO fiind opusă unghiului de 90 de grade.
În egală măsură, cosinus de MOB
este cateta alăturată, în cazul meu OB,
supraipotenuză.
Deci, sinus de MOB
va fi amic supra A radical din 2,
adică a cu a se reduce.
Astfel, sin de MOB este 1 supra radical din 2.
Prin raționalizare, obținem radical din 2 pe 2.
La fel, cosinus de MOB
va fi același amic supra A radical din 2.
Același calcul, se obține cosinus de MOB
egal cu radical din 2 pe 2.
Dar, sinus de MOB este, de fapt, MB.
MB care este amic.
Cosinus de MOB este, de fapt, OB,
adică tot amic, înțelegând de aici
că A este radical din 2 pe 2.
În acest moment, sunt în măsură să aflim că
M de coordonate AA coincide cu punctul M
de coordonate radical din 2 pe 2,
respectiv radical din 2 pe 2.
În aceste condiții, în cercuriu triconometric,
avem M de coordonate radical din 2 pe 2
și radical din 2 pe 2,
C de coordonate 0 și radical din 2 pe 2,
O de coordonate 0-0,
respectiv B de coordonate radical din 2 pe 2 și 0.
Mai mult decât atât,
C are coordonatele 0 pentru x,
A pentru y,
A-ul determinat radical din 2 pe 2.
A are coordonatele
minus A pentru x și 0 pentru y.
Punctul D are coordonatele
0 pentru x și minus A pentru y.
Punctul B are coordonatele
A pentru x și 0 pentru yB.
Adică, pentru A radical din 2 pe 2,
M de coordonate A,A
are coordonatele radical din 2 pe 2, radical din 2 pe 2.
C sunt coordonatele 0 și radical din 2 pe 2.
D este coordonate 0 și minus radical din 2 pe 2.
A este coordonate minus radical din 2 pe 2 și 0.
B este coordonate radical din 2 pe 2 și 0.
N este coordonate minus A,A,
este acum minus radical din 2 pe 2, radical din 2 pe 2,
iar P, de coordonate minus A, minus A,
este minus radical din 2 pe 2, minus radical din 2 pe 2.
În cele din urmă, Q, care este de coordonate A, minus A,
va avea coordonatele radical din 2 pe 2, minus radical din 2 pe 2.
În concluzie,
coordonatele în plan, determinate în cercul trigonometric,
sunt exprimate în acest moment prin intermediul unui pătrat înscris în cerc.
Astfel, punctele dispuse pe cercul trigonometric, M, N, P, Q,
vor avea coordonatele reprezentate în figura de mai jos.
M, radical din 2 pe 2, radical din 2 pe 2.
N, minus radical din 2 pe 2, radical din 2 pe 2.
P, minus radical din 2 pe 2, minus radical din 2 pe 2.
Respectiv Q, radical din 2 pe 2, minus radical din 2 pe 2.
Practic, ca și final, în acest moment,
pot să aflu că punctele M, N, P, Q,
puncte de intersecție ale cercului trigonometric cu pătratul de la tură 2A,
sunt preambuluri în ieșiri infinite puncte,
practic coordonate în plan.
Aceste puncte se află în mod evident pe cercul trigonometric.
În plus, în cerc se pot înscrie dreptunghiuri
ce vor conduce la alte coordonate în plan
pe exact același principiu,
cum s-a demonstrat și cu pătratul,
și în lecțiile ce urmează, toate aceste coordonate
sunt, în realitate, exprimarea valorică a punctilor trigonometrice.