Transcript: Funcții monotone (teorie)

O categorie importantă de funcții este cea a funcțiilor monotone despre care o să discutăm în acest clip.
Avem o funcție f definită pe a cu valori în b. Vom spune că f este crescătoare dacă oricare ar fi x1 și x2,
două elemente alese arbitrar din domeniul de definiție, între care există relația x1 mai mic decât x2,
să avem că f de x1 mai mic sau egal decât f de x2.
Observăm că o funcție este crescătoare dacă îi păstrează relația de ordine dintre argumente și pentru valorile funcției.
În cazul în care aici avem o inegalitate strictă, atunci funcția se numește strict crescătoare.
Să dăm și un exemplu. Fie f definită pe r cu valori în intervalul 0 infinit, f de x egal cu 2 la x.
Alegem două elemente x1 și x2 din r, astfel încât x1 să fie mai mic decât x2.
În acest caz, observăm că 2 la puterea x1 este mai mic decât 2 la puterea x2.
Prin urmare, f de x1 va fi mai mic decât f de x2.
Așadar, spunem în acest caz că funcția f este strict crescătoare.
O funcție f se numește descrescătoare dacă oricare ar fi x1 și x2 elemente arbitrare din domeniul de definiție,
între care există relația x1 mai mic decât x2, să avem că f de x1 mai mare sau egal decât f de x2.
Așadar, o funcție descrescătoare schimbă relația de ordine dintre argumente pentru valorile funcției.
În cazul în care aici avem inegalitate strictă, vom spune că funcția este strict descrescătoare.
Să dăm și un exemplu.
Fie f definită pe 0 infinit cu valori în intervalul 0 infinit, f de x egal cu 1 pe x.
Dacă alegem doi elemente, x1 și x2, din domeniul de definiție, astfel încât x1 să fie mai mic decât x2,
atunci 1 supra x1 va fi mai mare decât 1 supra x2.
Dintre două fracții cu același numărător, este mai mare cea cu numitorul mai mic.
Prin urmare, f de x1 este mai mare decât f de x2.
În acest caz, funcția este strict descrescătoare.
O funcție se numește monotonă dacă este crescătoare sau descrescătoare.
Să vedem în continuare cum ar arăta graficele acestor funcții.
Considerăm un sistem de axe XY. Întreg.
Alegem pe axe absciselor două elemente, x1, x2, astfel încât x1 să fie mai mic decât x2.
Ne interesează să vedem cum ar arăta graficul unei funcții crescătoare.
În cazul în care f este crescătoare, atunci f de x1 trebuie să fie mai mic decât e de x2.
Pe axe ordonatelor avem valorile funcție pentru argumentele x1 și x2.
Haideți să notăm mai simplu aceste valori cu y1 și cu y2.
Dacă funcția este crescătoare, atunci y2 trebuie să fie mai mare decât y1.
Așadar, pe axe ordonatelor, y2 trebuie să fie situat mai sus decât y1.
Și acum, dacă unim cele două puncte printr-o dreaptă, obținem graficul unei funcții crescătoare.
Dacă citim acest grafic de la stânga spre dreapta, observăm că acesta urcă.
Să vedem cum arată graficul în cazul în care funcția este descrescătoare.
Avem sistemul de axe x o y.
Pe axe absciselor alegem arbitrar două valori, x1 și x2, astfel încât x1 să fie mai mic decât x2.
Dacă funcția este strict descrescătoare, atunci f de x1 este mai mare decât f de x2.
Pe axe ordonatelor avem valorile acestei funcții pentru argumentele x1 și x2.
Undeva aici am avea f de x1 sau mai simplu y1.
Iar f de x2 sau y2 trebuie să fie mai mic decât y1, așadar pe axe ordonatelor y2 este situat mai jos decât y1.
Iar acum, dacă unim aceste două puncte printr-o dreaptă, obținem graficul unei funcții descrescătoare.
Observăm că acest grafic citit de la stânga spre dreapta coboară.
Prin urmare, putem să stabilim monotonia unei funcții și privind graficul acesteia.
Dacă graficul urcă, atunci funcția este crescătoare, iar dacă graficul coboară, atunci funcția este descrescătoare.
Există însă și situații în care graficul unei funcții poate arăta cam așa.
Observăm că pe această porțiune graficul funcției urcă, deci funcția este crescătoare.
Apoi pe această porțiune graficul coboară, apoi graficul urcă, deci funcția este crescătoare.
Și pe ultima porțiune graficul coboară, deci funcția este descrescătoare.
Observăm așadar că este posibil ca o funcție să nu aibă aceeași monotonie pe întreg domeniul de definiție
și atunci vom spune că ea are intervale de monotonie.
Iată, pe acest interval funcția este crescătoare, pe acest interval funcția este descrescătoare,
pe următorul interval funcția este crescătoare, iar pe ultimul interval funcția este descrescătoare.
Așadar să reținem că în cazul în care funcția nu are aceeași monotonie pe întreg domeniul de definiție,
se va studia monotonia acesteia pe intervale.
Să vedem în continuare care sunt modalitățile prin care putem studia monotonia unei funcții în rezolvarea exercițiilor.
Există două procede prin care putem studia monotonia unei funcții,
fie f definită pe a cu valori în b și alegem două elemente x1, x2 arbitrare din domeniul de definiție,
astfel încât x1 să fie mai mic decât x2.
Un prim procedeu prin care putem studia monotonia unei funcții este să calculăm diferența f de x1 minus f de x2.
Și avem două situații posibile.
Dacă f de x1 minus f de x2 este mai mic decât 0,
asta înseamnă că f de x1 este mai mic strict decât f de x2,
în acest caz funcția f este strict crescătoare.
Și a doua posibilitate, dacă f de x1 minus f de x2 este mai mare decât 0,
adică f de x1 este mai mare decât f de x2,
atunci în această situație funcția este strict descrescătoare.
Și un al doilea procedeu prin care putem studia monotonia funcțiilor,
alegem două valori arbitrare x1 și x2 din a,
astfel încât x1 să fie mai mic decât x2.
Calculăm valoarea raportului f de x1 minus f de x2
supra x1 minus x2.
Acest raport se mai numește raportul de variație asociat funcție f.
Avem două cazuri posibile.
Dacă raportul este pozitiv, atunci funcția este strict crescătoare.
Iată și explicația.
Dacă x1 este mai mic decât x2, atunci această diferență este negativă.
Dacă raportul este pozitiv, atunci diferența de la numărătorul fracției
trebuie să fie și aceasta negativă.
Prin urmare, f de x1 este mai mic decât f de x2
și atunci funcția este strict crescătoare.
Și a doua posibilitate, dacă raportul este negativ,
atunci funcția va fi strict descrescătoare.
În această situație, diferența x1 minus x2 rămâne negativă,
dar pentru că raportul este negativ,
diferența de la numărător este pozitivă,
așadar f de x1 este mai mare decât f de x2.
Prin urmare, funcția este strict descrescătoare.
În rezolvarea exercițiilor o să ne alegem una dintre cele două modalități
de a studia monotonia funcțiilor,
iar acest lucru se va întâmpla în clipul următor.