Transcript: Funcții mărginite (aplicații)

În acest clip o să facem câteva exerciți în care vom studia mărginirea unor funcții.
Vă reamintesc că o funcție f definită pe a cu valori în R este mărginită dacă există două numere reale a și b,
astfel încât valorile funcției f să fie cuprinse în intervalul închis a, b pentru orice x din a.
Sau o altă definiție echivalentă, f este mărginită dacă există un număr pozitiv m,
astfel încât modul din f de x să fie mai mic sau egal cu m pentru orice x din a.
Primul exercițiu arătați că următoarele funcții sunt mărginite.
Avem patru funcții, o să începem cu punctul a.
Avem funcția f definită pe mulțimea minus 1, 0, 1, 2 cu valori în R, f de x egal cu 2x plus 3.
Pentru a demonstra că f este mărginită vom arăta că există două numere reale a și b,
astfel încât funcția să ia valori cuprinse în intervalul închis a, b.
Pentru aceasta vom calcula valorile acestei funcții.
Avem f de minus 1 egal cu 2 ori minus 1 plus 3 și egal cu 1, f de 0, 2 ori 0 plus 3, 3, f de 1, 2 ori 1 plus 3, 5 și f de 2, 2 ori 2 plus 3, 7.
Observăm că cea mai mică valoare pe care o poate lua funcția este 1 și cea mai mare valoare este 7.
Cu alte cuvinte putem să scriem că f de x aparține intervalului închis 1, 7.
Oricare ar fi x un număr din domeniul de definiție.
Prin urmare, am arătat astfel că f de x este mărginită.
Continuăm cu punctul b.
Avem funcția f definită pe intervalul închis minus 2, 3 cu valori în R, f de x egal cu 3x minus 5.
Vom arăta și de data aceasta că funcția f ia valori cuprinse într-un interval închis.
Dacă domeniul funcției este intervalul închis minus 2, 3, atunci x aparține acestui interval.
Iar acest lucru se mai poate scrie minus 2 mai mic sau egal decât x mai mic sau egal decât 3.
Vom încerca să construim funcția f pornind de la această inegalitate.
Ca să obținem 3x, înmulțim toată inegalitatea cu 3.
Avem minus 6 mai mic sau egal decât 3x, mai mic sau egal decât 9.
Și acum mai trebuie să scădem numărul 5.
Obținem minus 11 mai mic sau egal decât 3x minus 5, mai mic sau egal decât 4.
Am obținut aici funcția f, așadar minus 11 este mai mic sau egal decât f de x, mai mic sau egal decât 4.
Prin urmare, funcția f ia valori cuprinse în intervalul închis minus 11, 4.
Așadar, funcția este mărginită.
Punctul C.
Avem funcția f definită pe intervalul minus 1, 2 cu valori în R, f de x egal cu x la 3a.
x aparține intervalului minus 1, 2.
Așadar, minus 1 este mai mic sau egal decât x, mai mic sau egal decât 2.
Ca să obținem x la a 3a, o să ridicăm această inegalitate la puterea a 3a.
Minus 1 este mai mic sau egal decât x la a 3a, mai mic sau egal decât 8.
Am obținut, astfel, funcția f și avem minus 1 mai mic sau egal decât f de x, mai mic sau egal decât 8.
Putem să scriem așadar că f de x aparține intervalului închis minus 1, 8 pentru orice x din intervalul minus 1, 2.
Așadar, funcția este mărginită.
Punctul D.
f este definită pe intervalul închis 1, 3 cu valori în R, f de x este minus 2x dacă x aparține intervalului închis 1, 2
și f de x este egal cu 3x plus 2 dacă x aparține intervalului 2, 3, deschis la 2 și închis la 3.
Vom analiza pe rând cele două situații.
În primul caz, x aparține intervalului 1, 2.
În această situație, avem 1 mai mic sau egal decât x, mai mic sau egal decât 2.
Dacă x este din intervalul 1, 2, atunci f de x este egal cu minus 2x.
Ca să obținem aici minus 2x, înmulțim inegalitatea cu minus 2.
Atenție, avem o inegalitate pe care o înmulțim cu un număr negativ, va trebui să schimbăm semnul inegalității.
Obținem minus 2, mai mare sau egal decât minus 2x, mai mare sau egal decât minus 4.
Prin urmare, f de x aparține intervalului închis minus 4, minus 2.
Așadar, pentru x din intervalul 1, 2, funcția este mărginită.
Să vedem ce se întâmplă dacă x aparține intervalului 2, 3.
Acest lucru se mai poate scrie astfel, 2 mai mic strict decât x, mai mic sau egal decât 3.
În cazul în care x este din intervalul 2, 3, funcția este egală cu 3x plus 2.
Ca să obținem aici 3x plus 2, înmulțim inegalitatea cu 3.
Avem 6 mai mic decât 3x, mai mic sau egal decât 9.
Mai trebuie să adunăm numărul 2.
Continuăm mai jos.
8 este mai mic decât 3x plus 2, mai mic sau egal decât 11.
Așadar, 8 este mai mic decât f de x, mai mic sau egal decât 11.
În acest caz, funcția f de x aparține intervalului 8, 11, deschis la 8 și închis la 11.
Avem așadar, f de x aparține intervalului minus 4, minus 2 și f de x aparține intervalului 8, 11.
În concluzie, f de x aparține intervalului minus 4, minus 2 reunit cu intervalul 8, 11.
Observăm astfel că cea mai mică valoare pe care o poate lua funcția f este minus 4 și cea mai mare valoare pe care o poate lua f este 11.
Așadar, putem să scriem că f de x aparține intervalului minus 4, 11.
Prin urmare, am arătat că funcția este mărginită.
Și mai facem un exercițiu.
Arătați că funcția f definită pe R cu valori în R, f de x egal cu 3x plus 6, nu este mărginită.
O să presupunem prin absurd că funcția este mărginită.
Presupunem f mărginită.
Mergem pe a doua definiție.
Dacă f este mărginită, înseamnă că există un număr pozitiv m, astfel încât modul din f de x să fie mai mic sau egal decât m, oricare ar fi x din R.
Așadar, există m pozitiv, astfel încât modul din 3x plus 6 să fie mai mic sau egal decât m pentru orice x real.
Iar acest lucru se mai poate scrie astfel, minus m, mai mic sau egal decât 3x plus 6, mai mic sau egal decât m.
Dacă îl scădem pe 6, obținem minus m minus 6, mai mic sau egal decât 3x, mai mic sau egal decât m minus 6.
Iar dacă împărțim inegalitatea la 3, avem minus m minus 6 totul supra 3, mai mic sau egal decât x, mai mic sau egal decât m minus 6 supra 3, oricare ar fi x real.
Însă această relație este falsă deoarece această inegalitate nu are loc pentru orice x număr real.
De exemplu, dacă alegem x ca fiind partea întreagă din m minus 6 pe 3 plus 1, atunci această valoare este mai mare decât m minus 6 pe 3.
Așadar, relația aceasta nu are loc pentru orice x real.
Prin urmare, presupunerea de la care am pornit este falsă, așadar funcția f nu este mărginită.