Transcript: Funcții injective

Știm că o funcție este o relație între două mulțimi care asociază fiecărui element din domeniu un singur element din co-domeniu.
Asta înseamnă că atunci când reprezentăm grafic o funcție, dacă ducem o paralelă la axa OY, aceasta va intersecta graficul funcției într-un singur punct.
În cazul în care paralela intersectează graficul în două puncte, atunci nu avem o funcție, așadar graficul din partea dreaptă nu poate fi graficul unei funcții.
O categorie importantă de funcții este cea a funcțiilor bijective. O funcție se numește bijectivă dacă este injectivă și surjectivă.
Haideți să vedem în continuare ce este o funcție injectivă.
Avem în imagine trei funcții reprezentate prin aceste diagrame.
Pentru prima funcție avem următoarea corespondență.
Lui 1 îi se asociază numărul 4, numărului 4 îi se asociază 7, iar numărului 6 îi corespunde 9.
O expresie analitică ce ar putea descrie prima corespondență este formula f de x egal cu x plus 3.
Pentru a doua funcție avem următoarele corespondențe.
Numărului minus 2 îi corespunde 4, numărului 2 îi corespunde 4, numărului minus 3 îi corespunde 9, iar numărului 3 îi corespunde 9.
Această lege de corespondență s-ar putea exprima analitic folosind formula f de x egal cu x la pătrat.
Iar pentru ultima funcție avem următoarele corespondențe.
Numărului 1 îi se asociază 1, numărului minus 1 îi corespunde 1, lui 3 îi corespunde 3, lui minus 3 îi corespunde 3, numărului 5 îi corespunde 5, iar numărului minus 5 îi corespunde 5.
Formula care poate descrie această corespondență este f de x egal cu modul din x.
Observăm că pentru funcția f de x egal cu x plus 3, argumente distincte generează imagini distincte, aspect ce nu are loc în cazul celorlalte două funcții.
Iată, la a doua funcție avem argumente distincte, minus 2 și 2, care generează aceeași imagine 4, sau 3 și minus 3, care generează aceeași imagine 9.
Și la a treia funcție avem imagini egale, generate de argumente diferite. Iată, numerele 1 și minus 1 au aceeași imagine 1, numerele 3 și minus 3 au aceeași imagine 3, iar 5 și minus 5 au aceeași imagine 5.
O funcție se numește funcție injectivă sau injecție, dacă și numai dacă două elemente diferite din domeniu au imagini diferite în codomeniu.
Astfel, prima funcție este o funcție injectivă, însă celelalte două funcții nu sunt funcții injective, pentru că avem elemente în codomeniu spre care se îndreaptă câte două săgeți.
Așadar, o funcție este injectivă sau injecție, dacă și numai dacă, oricare ar fi x1 și x2 din A cu x1 diferit de x2, să avem că f de x1 este diferit de f de x2.
O altă definiție echivalentă cu aceasta ar fi următoarea, f este injectivă dacă și numai dacă, oricare ar fi x1 și x2 elemente din domeniu cu f de x1 egal cu f de x2, să avem că x1 este egal cu x2.
De cele mai multe ori se recomandă aplicarea acestei definiții, pentru că e mult mai ușor să demonstrăm egalități decât relații ce conțin simbolul diferit.
O funcție nu este injectivă dacă putem pune în evidență două argumente distincte, astfel încât imaginele lor să fie egale.
În exemplele de mai sus, am avut funcții definite pe mulțimi finite.
Haideți acum să extindem aceste funcții la R și să studiem injectivitatea lor pe baza acestor definiții.
Prima funcție este f definită pe R cu valori în R, f de x egal cu x plus 3.
Vom alege două valori, x1 și x2 din R și presupunem că f de x1 este egal cu f de x2.
Va trebui să arătăm că și x1 este egal cu x2.
f de x1 este x1 plus 3, iar f de x2 este x2 plus 3.
Dacă scădem din ambii membrii a egalității numărul 3, obținem că x1 este egal cu x2.
Iată că pornind de la egalitatea f de x1 egal cu f de x2, am arătat că are loc și o relație de egalitate între argumentele funcției.
În consecință, putem trage concluzia că funcția f este injectivă.
Pentru a doua funcție, f de x egal cu x pătrat, pornim de la relația f de x1 este egal cu f de x2
și vrem să verificăm dacă x1 este egal cu x2.
f de x1 este x1 la pătrat, iar f de x2 este egal cu x2 la pătrat.
Trecem totul în primul membru și obținem x1 la pătrat minus x2 la pătrat egal cu 0.
Descompunem un factor și avem x1 minus x2 pe lângă x1 plus x2 este egal cu 0.
Un produs este 0 dacă unul din factori este 0, așadar avem x1 egal cu x2 sau x1 egal cu minus x2.
Deci, iată că nu întotdeauna are loc o egalitate între argumentele funcției.
Așadar, având în vedere că f de x1 este egal cu f de x2 conduce la relația x1 egal cu minus x2,
înseamnă că funcția f nu este o funcție injectivă.
Pentru funcția f de x egal modul din x, procedăm asemănător.
Pornim de la egalitatea f de x1 egal cu f de x2 și vrem să verificăm dacă x1 este egal cu x2.
Avem modul din x1 egal cu modul din x2, dar această egalitate va conduce la relația x1 egal plus minus x2.
În consecință, funcția f nu este funcție injectivă.
Atunci când studiem injectivitatea unei funcții, este important să verificăm și domeniul de definiție.
Iată, funcția f de x egal cu x2 nu este injectivă pe R, însă dacă domeniul de definiție este mulțimea numerelor naturale,
atunci obținem o funcție injectivă.
O altă metodă de a studia injectivitatea unei funcții este metoda grafică.
Haideți să vedem cum arată graficele acestor funcții.
Acestea sunt graficele celor trei funcții, iar pentru a studia injectivitatea ducem paralele la axa OX.
Dacă orice paralelă la axa OX dusă prin elementele codomeniului taie graficul funcției în cel mult un punct,
atunci funcția este injectivă.
Dacă paralela taie graficul în două puncte, atunci acea funcție nu este funcție injectivă.
În continuare, haideți să studiem injectivitatea unei funcții definite pe ramuri.
Avem următorul exercițiu. Arătați că funcția de mai jos este injectivă.
F definită pe R cu valori în R, f de x egal cu 3x pătrat plus 2 dacă x este mai mic sau egal cu 0,
și minus x plus 2 dacă x este mai mare ca 0.
Pentru acest tip de exerciții vom lua în considerare trei cazuri posibile.
Primul caz în care se alege x1 și x2 din primul interval minus infinit 0.
Al doilea caz alegem x1 și x2 din intervalul 0 infinit.
Și al treilea caz în care x1 este mai mic sau egal cu 0 și x2 este mai mare ca 0.
Începem așadar cu primul caz.
Fie x1 și x2 din intervalul minus infinit 0, astfel încât f de x1 să fie egal cu f de x2.
Trebuie să demonstrăm că x1 este egal cu x2.
Și avem 3x1 la pătrat plus 2 egal cu 3x2 la pătrat plus 2.
Scădem 2 din ambii membri și obținem 3x1 la pătrat egal cu 3x2 la pătrat.
Împărțim la 3 și avem x1 la pătrat egal cu x2 la pătrat.
Dar având în vedere că x1 și x2 sunt din intervalul minus infinit 0,
înseamnă că x1 va fi egal cu x2.
Deci am pornit de la egalitatea f de x1 egal cu f de x2 și am arătat că x1 este egal cu x2.
Al doilea caz, fie x1 și x2 din intervalul 0 plus infinit, astfel încât f de x1 este egal cu f de x2.
Trebuie să demonstrăm că x1 este egal cu x2.
F de x1 este minus x1 plus 2, iar f de x2 este minus x2 plus 2.
Scădem numărul 2 din ambii membri și avem minus x1 egal cu minus x2.
Înmulțim cu minus 1 și obținem x1 egal cu x2.
Și al treilea caz, fie x1 din intervalul minus infinit 0 și x2 din intervalul 0 infinit.
Observăm așadar că x1 și x2 fac parte din intervale diferite.
Înseamnă că x1 este diferit de x2.
Și atunci va trebui să arătăm că f de x1 este diferit de f de x2.
Vom presupune prin absurd că f de x1 poate să fie egal cu f de x2.
Înseamnă că f de x1 este 3x1 la pătrat plus 2 egal cu minus x2 plus 2.
Deci 3x1 la pătrat este egal cu minus x2.
x1 face parte din intervalul minus infinit 0.
Înseamnă că x1 la pătrat este mai mare sau egal cu 0.
Deci membrul stâng este un număr mai mare sau egal cu 0.
x2 este număr pozitiv.
Înseamnă că minus x2 este negativ.
Având în vedere că numărul din membrul stâng este mai mare sau egal cu 0,
iar numărul din membrul drept este strict negativ,
înseamnă că această egalitate este imposibilă.
Așadar, presupunerea făcută este falsă.
În consecință, f de x1 este diferit de f de x2.
Am arătat în acest mod că funcția f este injectivă.
O altă modalitate de a studia injectivitatea unei funcții
este verificarea monotoniei acesteia
întrucât are loc următoarea teoremă.
Fie f o funcție definită pe a cu valori în b.
Dacă f este strict monotonă, atunci f este injectivă.